九年级数学第三次月考卷（湖南长沙专用，主要测试范围：人教版第二十六章至第二十七章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考模拟卷 数学·答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C D D D B C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．且 12．4 13．4 14．/ 15． 16．或 三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分 17.【答案】 【详解】解：原式 ……3分 ． ……6分 18.【答案】 【详解】原式＝ ＝ ＝ ……4分 当x＝﹣4时， 原式＝＝﹣1． ……6分 19. 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例的解析式为 (2)4 (3)或 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， ……1分 将代入，得， ∴反比例的解析式为； ……2分 （2）解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； ……4分 （3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． ……6分 20.【答案】(1)40；30；36 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：（1）获奖的总人数为：(人)， 组所占的百分比为：，即， 所对的圆心角度数是； ……2分 （2）解：组，即“三等奖”人数为：(人)， 补全条形统计图，如图所示    ……5分 （3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． ……8分 21. 【解析】（1）证明：垂直平分 ， ∵ 四边形是菱形．（3分） （2）解：∵， ∴， 垂直平分 ， ，（6分） ∵四边形是菱形 ∴, ∴， 五边形的面积=.（8分） 22. 【解析】（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°， ∴∠ABC=50°， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF， ∴∠BAF=∠BFA=， 故答案为：65°；（4分） （2）∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴BE=BC=6，EF=AC=8， ∴AE=AB-BE=10-6=4， ∴AF=．（9分） 23. 【解析】（1）如图1所示，连接OE， ∵EF是切线，∴∠OEF=90°， ∵AB=AC，OE=OC，∴∠OEC=∠OCE=∠B=α， ∴∠AEF=180°-∠OEF-∠OEC=90°-α；（4分） （2）∵⊙O与AB相切于点D，∴∠ODB=90°， 在Rt△BOD中，由勾股定理得， ∵EF是切线，∴∠OEF=90°，∴∠1+∠2=90°， 由（1）得∠1=∠B=∠C， 又∵∠B+∠3=90°，∴∠3=∠2，（6分） 如图2所示，过点F作FG⊥AC于G，则∠EGF=∠ODB=90°， ∴△BOD∽△FEG，∴即， ∴,，∴， 在Rt△AGF中，由勾股定理得．（9分） 24.【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）解：∵点是反比例函数（为常数，）的图象上的“正气点” ∴，则， 当时，，代入， 得， 当时，，代入， 得 ∴或 ……3分 （2）解：∵函数（为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，设这两个点的横坐标分别为 ∴，即有2个实数根， ∴， 解得：， ∵这两点都在第一象限， ∴即 解得： ∴ ……6分 （3）解： 设二次函数的图象上的“正气点”为 ∵二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“正气点”， ∴有两个相等的实数根， 即， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴一次函数的函数图象经过一、二、三象限， 当时， 当时， 设一次函数与轴，轴所围成的三角形面积为 ∴， ∴， ∵， ∴当即时，取得最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，取得最大值，最大值为, ∴取得最小值为． ∴ ……10分 25. （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAF=45°， ∴∠BAF=∠EBF=45°， ∵∠AFB=∠BFE（同角）， ∴△ABF∽△BEF．（3分） （2）解：∵△ABF∽△BEF， ∴，则BF2=AF•EF， 同理可证△BCE∽△FBE， ∴，则BE2=CE•EF， ∴．（6分） （3）解：∵∠BAF=∠ECB=45°， ∠CEB=∠BAF+∠ABE=45°+∠ABE， ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE， ∴∠ABF=∠CEB， ∴△ABF∽△CEB，则， ∴AF•CE=AB•BC=9， ∵OM∥BC， ∴， ∵正方形ABCD的边长为3， ∴AB=3，BC=3， ∴， ∴， ∵ON∥AB， ∴， ∴， 已知过点E，F分别作AB，BC的垂线， ∴∠MBC=∠MON=∠BNO=90°， ∴四边形MBNO是矩形， ∴OM=BN，ON=BM， ∴．（10分） 数学 答案及评分标准 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第 1 页 第 2 页 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 九年级数学上学期第三次月考模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答） 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15.______________ 16．______________ 17. （6 分） 18．（6 分） 19．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9 分） 23．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 九年级数学上学期第三次月考模拟卷 数学·答题卡 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答） 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15.______________ 16．______________ 17. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （6分） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21． （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： ____________ ___ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围及分值占比：第二十六章约35%，第二十七章约25%，第二十一至第二十五章约40%。 5．难度系数：0.75。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．3：2 4．如图，是的直径，点为上一点，连接，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定 B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查 D．是不等式的解，这是一个必然事件 6．已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 7．如图，在中，，．若以点C为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点D，则的半径为（    ） A． B．8 C．6 D．5 8．二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 9．《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 10．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球．现在模拟器中有型小球12个，型小球9个，型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法： ①最后剩下的小球可能是型小球； ②最后剩下的小球一定是型小球； ③最后剩下的小球一定不是型小球． 其中正确的说法是：（    ） A．① B．②③ C．③ D．①③ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 12．圆锥的侧面积为，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为__________． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为__________． 14．掷一枚正方形骰子，掷的结果比3大的概率是__________． 15．如图，边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是__________． 16．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为__________． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分） 17．计算：． 18．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣4． 19．如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 20．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部办公厅印发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，长沙某校团委组织了“如何合理健康使用手机”为主题的知识竞赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，＝__________，A所对的圆心角度数是__________．； (2)请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 21．如图，在中，的垂直平分线交于点、交于点，在的延长线上截取，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长及五边形的面积． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC=40°．则∠BAF的度数为__________； （2）若AC=8，BC=6，求AF的长． 23．如图，△ABC中，AB=AC，O为BC上一点，以O为圆心，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，交AC于点E，过E作⊙O的切线，交AB于点F． （1）若∠B=α，用含α的代数式表示∠AEF； （2）若BO=3，BD=1，EF=6，，求AF的长． 24．《正气歌》是南宋诗人文天祥写的一首五言古诗，“天地有正气，杂然赋流形．”诗的开头即点出浩然正气存乎天地之间，全诗感情深沉、气壮山河．我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点为“正气点”． (1)若点是反比例函数（为常数，）的图象上的“正气点”求这个反比例函数的解析式； (2)若函数（为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，且这两点都在第一象限，求的取值范围； (3)若二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“正气点”，当常数满足时，求一次函数与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 25．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F为线段AC上两动点（不与A，C点重合），且∠EBF=45°． （1）求证：△ABF∽△BEF； （2）试说明无论点E，F在线段AC上怎样运动，总有； （3）如图2，过点E，F分别作AB，BC的垂线相交于点O，垂足分别为M，N，求OM•ON的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围及分值占比：第二十六章约35%，第二十七章约25%，第二十一至第二十五章约40%。 5．难度系数：0.75。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．3：2 4．如图，是的直径，点为上一点，连接，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定 B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查 D．是不等式的解，这是一个必然事件 6．已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 7．如图，在中，，．若以点C为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点D，则的半径为（    ） A． B．8 C．6 D．5 8．二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 9．《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 10．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球．现在模拟器中有型小球12个，型小球9个，型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法： ①最后剩下的小球可能是型小球； ②最后剩下的小球一定是型小球； ③最后剩下的小球一定不是型小球． 其中正确的说法是：（    ） A．① B．②③ C．③ D．①③ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 12．圆锥的侧面积为，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为__________． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为__________． 14．掷一枚正方形骰子，掷的结果比3大的概率是__________． 15．如图，边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是__________． 16．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为__________． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分） 17．计算：． 18．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣4． 19．如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 20．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部办公厅印发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，长沙某校团委组织了“如何合理健康使用手机”为主题的知识竞赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，＝__________，A所对的圆心角度数是__________．； (2)请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 21．如图，在中，的垂直平分线交于点、交于点，在的延长线上截取，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长及五边形的面积． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC=40°．则∠BAF的度数为__________； （2）若AC=8，BC=6，求AF的长． 23．如图，△ABC中，AB=AC，O为BC上一点，以O为圆心，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，交AC于点E，过E作⊙O的切线，交AB于点F． （1）若∠B=α，用含α的代数式表示∠AEF； （2）若BO=3，BD=1，EF=6，，求AF的长． 24．《正气歌》是南宋诗人文天祥写的一首五言古诗，“天地有正气，杂然赋流形．”诗的开头即点出浩然正气存乎天地之间，全诗感情深沉、气壮山河．我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点为“正气点”． (1)若点是反比例函数（为常数，）的图象上的“正气点”求这个反比例函数的解析式； (2)若函数（为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，且这两点都在第一象限，求的取值范围； (3)若二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“正气点”，当常数满足时，求一次函数与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 25．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F为线段AC上两动点（不与A，C点重合），且∠EBF=45°． （1）求证：△ABF∽△BEF； （2）试说明无论点E，F在线段AC上怎样运动，总有； （3）如图2，过点E，F分别作AB，BC的垂线相交于点O，垂足分别为M，N，求OM•ON的值． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围及分值占比：第二十六章约35%，第二十七章约25%，第二十一至第二十五章约40%。 5．难度系数：0.75。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选C． 2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点关于原点对称的点的坐标是． 故选D． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ）    A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．3：2 【答案】C 【解析】和是以点为位似中心的位似图形， ， ， 两个三角形的相似比为， 与的周长比是， 故选C． 4．如图，是的直径，点为上一点，连接，，，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵且， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故选B． 5．下列说法正确的是（    ） A．甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定 B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查 D．是不等式的解，这是一个必然事件 【答案】D 【解析】A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意； B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意； C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查 D.解：， ， 解得：， ∴是不等式的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意； 故选D． 6．已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】已知是的外接圆，那么点O一定是的三边的垂直平分线的交点， 故选D． 7．如图，在中，，．若以点C为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点D，则的半径为（    ）    A． B．8 C．6 D．5 【答案】D 【解析】连接， ∵，，为的中点， ∴， ∴的半径为：5； 故选D． 8．二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴a.b同号， ， ∵抛物线与y轴交在正半轴， ， ， 则函数的图象分布在第二、四象限， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选B． 9．《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设用6210文能买x株椽， 由题意得：， 故选C． 10．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球．现在模拟器中有型小球12个，型小球9个，型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法： ①最后剩下的小球可能是型小球； ②最后剩下的小球一定是型小球； ③最后剩下的小球一定不是型小球． 其中正确的说法是：（    ） A．① B．②③ C．③ D．①③ 【答案】D 【分析】假设剩下的是A、B、C型小球，分别讨论，列举结果，进行排除即得． 【解析】（1）最后剩下的小球可能是型小球．理由如下：12个A型小球两两碰撞，形成6个C型小球；9个B型小球中8个两两碰撞，形成4个C型小球；所有的20个C型小球两两碰撞剩下一个C型小球；这个C型小球和剩下的B型小球碰撞形成A型小球，故①正确； （2）最后剩下的小球可能是型小球．理由如下：12个A型小球中的9个与9个B型小球两两碰撞，形成9个C型小球；剩下的3个A型小球中的2个碰撞形成1个C型小球，所有的20个C型小球两两碰撞，最后剩下一个C型小球；这个C型小球与剩下的1个A型小球碰撞形成B型小球，故②错误； （3）最后剩下的小球一定不是型小球．理由如下：A、B、C三种小球每一次碰撞有以下6种可能的情况：A与A碰撞，会产生一个C型小球，减少两个A型小球（C多一个，A、B共减少两个）； B与B碰撞，会产生一个C型小球，减少两个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）； C与C碰撞，会产生一个C型小球，减少一个C型小球（C减少一个，A、B总数不变）； A与B碰撞，会产生一个C型小球，减少一个A型小球和一个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）； A与C碰撞，会产生一个B型小球，减少一个A型小球和一个C型小球（C少一个，A、B总数不变）； B与C碰撞，会产生一个A型小球，减少一个B型小球和一个C型小球（C少一个，A、B总数不变）； 如上可得出规律：1.从C型小球的角度看：每碰撞一次，C型小球的数量增多一个或少一个，题目中共有31个小球，经过30次碰撞剩下一个小球，整个过程变化了偶数次，C的变化即为偶数次，因为最初C型小球有10个，则剩余的C型小球必定是偶数个，不可能为1个，所以最后剩下的不可能是C型． 2.从A、B型小球的角度看：每次碰撞后，A、B型小球总数或者不变、或者减少两个、题目中A、B型小球之和为21个，无论碰撞多少次，A、B型小球都没了是不可能的．故③正确． 故选D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】∵代数式有意义， ∴， 解得：且 故答案为：且 12．圆锥的侧面积为，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】4 【解析】设底面半径为， 则底面周长， 圆锥的侧面积， ∴． 故答案为：4． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ． 【答案】4 【解析】∵OD⊥BC， ∴BD=CD=BC=3， ∵OB=AB=5， ∴在Rt△OBD中，OD==4． 故答案为4． 14．掷一枚正方形骰子，掷的结果比3大的概率是 ； 【答案】/ 【解析】由题意可得， ∵掷一枚正方形骰子由6种可能，结果比3大的情况有：4，5，6， ∴结果比3大的概率是：， 故答案为：； 15．如图，边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是__________． 【解析】如图，连接MA、MD，则MA=MD， ∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB=2， ∵正方形ABCD内接于⊙M， ∴， ∴，∴MA=， ∴⊙M的半径是，故答案为：． 16．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【解析】作轴，连结，如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与轴相切， ∴或． 故答案为或． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分） 17．计算：． 【解析】原式． 18．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣4． 【解析】原式＝ ＝ ＝ 当x＝﹣4时， 原式＝＝﹣1． 19．如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【解析】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； （2）解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 20．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部办公厅印发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，长沙某校团委组织了“如何合理健康使用手机”为主题的知识竞赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为 　人，＝ 　，A所对的圆心角度数是 　； (2)请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【解析】（1）解：（1）获奖的总人数为：(人)， 组所占的百分比为：，即， 所对的圆心角度数是； （2）解：组，即“三等奖”人数为：(人)， 补全条形统计图，如图所示    （3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 21．如图，在中，的垂直平分线交于点、交于点，在的延长线上截取，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长及五边形的面积． 【解析】（1）证明：垂直平分 ， ∵ 四边形是菱形． （2）解：∵， ∴， 垂直平分 ， ， ∵四边形是菱形 ∴, ∴， 五边形的面积=. 22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC=40°．则∠BAF的度数为__________； （2）若AC=8，BC=6，求AF的长． 【解析】（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°， ∴∠ABC=50°， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF， ∴∠BAF=∠BFA=， 故答案为：65°； （2）∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴BE=BC=6，EF=AC=8， ∴AE=AB-BE=10-6=4， ∴AF=． 23．如图，△ABC中，AB=AC，O为BC上一点，以O为圆心，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，交AC于点E，过E作⊙O的切线，交AB于点F． （1）若∠B=α，用含α的代数式表示∠AEF； （2）若BO=3，BD=1，EF=6，，求AF的长． 【解析】（1）如图1所示，连接OE， ∵EF是切线，∴∠OEF=90°， ∵AB=AC，OE=OC，∴∠OEC=∠OCE=∠B=α， ∴∠AEF=180°-∠OEF-∠OEC=90°-α； （2）∵⊙O与AB相切于点D，∴∠ODB=90°， 在Rt△BOD中，由勾股定理得， ∵EF是切线，∴∠OEF=90°，∴∠1+∠2=90°， 由（1）得∠1=∠B=∠C， 又∵∠B+∠3=90°，∴∠3=∠2， 如图2所示，过点F作FG⊥AC于G，则∠EGF=∠ODB=90°， ∴△BOD∽△FEG，∴即， ∴,，∴， 在Rt△AGF中，由勾股定理得． 24．《正气歌》是南宋诗人文天祥写的一首五言古诗，“天地有正气，杂然赋流形．”诗的开头即点出浩然正气存乎天地之间，全诗感情深沉、气壮山河．我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点为“正气点”． (1)若点是反比例函数（为常数，）的图象上的“正气点”求这个反比例函数的解析式； (2)若函数（为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，且这两点都在第一象限，求的取值范围； (3)若二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“正气点”，当常数满足时，求一次函数与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 【解析】（1）解：∵点是反比例函数（为常数，）的图象上的“正气点” ∴，则， 当时，，代入， 得， 当时，，代入， 得 ∴或 （2）解：∵函数（为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，设这两个点的横坐标分别为 ∴，即有2个实数根， ∴， 解得：， ∵这两点都在第一象限， ∴即 解得： ∴ （3）解： 设二次函数的图象上的“正气点”为 ∵二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“正气点”， ∴有两个相等的实数根， 即， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴一次函数的函数图象经过一、二、三象限， 当时， 当时， 设一次函数与轴，轴所围成的三角形面积为 ∴， ∴， ∵， ∴当即时，取得最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，取得最大值，最大值为, ∴取得最小值为． ∴ 25．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F为线段AC上两动点（不与A，C点重合），且∠EBF=45°． （1）求证：△ABF∽△BEF； （2）试说明无论点E，F在线段AC上怎样运动，总有； （3）如图2，过点E，F分别作AB，BC的垂线相交于点O，垂足分别为M，N，求OM•ON的值． （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAF=45°， ∴∠BAF=∠EBF=45°， ∵∠AFB=∠BFE（同角）， ∴△ABF∽△BEF． （2）解：∵△ABF∽△BEF， ∴，则BF2=AF•EF， 同理可证△BCE∽△FBE， ∴，则BE2=CE•EF， ∴． （3）解：∵∠BAF=∠ECB=45°， ∠CEB=∠BAF+∠ABE=45°+∠ABE， ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE， ∴∠ABF=∠CEB， ∴△ABF∽△CEB，则， ∴AF•CE=AB•BC=9， ∵OM∥BC， ∴， ∵正方形ABCD的边长为3， ∴AB=3，BC=3， ∴， ∴， ∵ON∥AB， ∴， ∴， 已知过点E，F分别作AB，BC的垂线， ∴∠MBC=∠MON=∠BNO=90°， ∴四边形MBNO是矩形， ∴OM=BN，ON=BM， ∴． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$