4.7 相似三角形的性质 闯关练习卷-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

4.7相似三角形的性质闯关练习卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•杨浦区期中）已知△ABC的三边都不相等，如果△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，那么下列等式一定不成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•龙岗区期中）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024秋•珠海校级期中）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝4，A′D′＝1，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（　　） A．16：1 B．4：1 C．4：3 D．4：9 4．（2024秋•昌平区期中）△ABC∽△DEF，若AB＝1，DE＝2，则△ABC与△DEF的周长比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2 5．（2024秋•单县月考）如图，△ABC∽△A1B1C1，若，AB＝4，则A1B1的长度为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（2024•清城区一模）已知△ABC∽△ADE，，则＝（　　） A． B． C． D． 7．（2024秋•鼓楼区校级月考）△ABC∽△DEF，若AB＝1，DE＝2，则△ABC与△DEF的相似比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2 8．（2024秋•鄞州区校级月考）已知△ABC的三边长分别是有一边长是1，若△ABC和△A′B′C′相似，则△A′B′C′的另两边长不可能为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•闵行区期中）如果两个相似三角形对应边之比是2：3，且较小的三角形的周长是6，那么较大三角形的周长是 　 　． 10．（2024秋•屯留区期中）在如图所示的正方形网格中有△ABC和△DEF，已知△ABC∽△DEF，则∠A+∠E＝ 　 　°． 11．（2024秋•裕华区校级期中）已知x轴上有A点（﹣2，0），y轴上有B点（0，4），直线y＝kx+6交x轴的正半轴于点E，交y轴于点F，若△AOB与△EOF相似（点O是坐标原点），则k的值为 　 　． 12．（2024•沂水县一模）如图，将腰长为12cm的等腰三角形纸片，沿与底边平行的方向剪去一个小的等腰三角形纸片，剩下一个等腰梯形纸片，如图所示．若剪去纸片面积是剩下的纸片面积的，则剪去等腰三角形纸片的腰长为 　 　． 13．（2024秋•闵行区期中）已知两个相似三角形的周长之比是2：3，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是 　 　． 14．（2024秋•工业园区校级月考）如图，若，则△BAC∽△DAE．横线上应填入 　 　． 15．（2024秋•浦东新区校级月考）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为（3，2），连接AC，与y轴相交于点D，点E在x轴上，如果△ABD和△ACE相似，则点E的坐标为 　 　． 16．（2024秋•浦东新区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，AC＝10cm，点D是AB的中点，点E以2cm/s的速度沿着C→A的方向运动，运动到点A后停止，当△ADE与△ABC相似时，运动时间是　 　秒． 三．解答题（共6小题） 17．（2024•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点E作ED⊥AB，垂足为D． （1）若AB＝10，AC＝8，AE＝5，求AD的长； （2）连接BE，若△CEB∽△CBA，且CE＝1，AE＝3，求DE的长． 18．（2024秋•昌平区期中）如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2． （1）求EF的长． （2）求证：∠BEF＝90°． 19．（2024•新城区校级开学）如图，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，OD＝7，OB＝5，DC＝12．求AB，OC的长． 20．（2024•响水县二模）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP、BP． （1）求证：BP＝MN； （2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，试证明BM＝MC． 21．（2023秋•和县期末）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”． （1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等； （2）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系． 22．（2024春•烟台期末）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图②，过点C作CE∥AB，CE交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：＝． 应用拓展： （2）如图③，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝1，AB＝2，求DE的长. 4.7相似三角形的性质闯关练习卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•杨浦区期中）已知△ABC的三边都不相等，如果△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，那么下列等式一定不成立的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D， ∴△ABC∽△EDF或△ABC∽△FDE， 当△ABC∽△EDF时， ＝，＝，故A、D正确，不符合题意； 当△ABC∽△FDE时， ＝，故B正确，不符合题意； 两组相似三角形中BC，EF均不是对应边，故C一定不成立． 故选：C． 2．（2024秋•龙岗区期中）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵由题意可知线段平行， ∴可以找到相似三角形，通过三角形相似可以得到相似比的等式， ＝， ， AB＝6． 故选：D． 3．（2024秋•珠海校级期中）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝4，A′D′＝1，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（　　） A．16：1 B．4：1 C．4：3 D．4：9 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，AD＝4，A′D′＝1， ∴两三角形的相似比为：， ∴． 故选：A． 4．（2024秋•昌平区期中）△ABC∽△DEF，若AB＝1，DE＝2，则△ABC与△DEF的周长比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴， 即相似比为1：2； 故选：A． 5．（2024秋•单县月考）如图，△ABC∽△A1B1C1，若，AB＝4，则A1B1的长度为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，， ∴相似比为2：1， ∵AB＝4， ∴， 故选：B． 6．（2024•清城区一模）已知△ABC∽△ADE，，则＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE，＝， ∴＝＝， 故选：D． 7．（2024秋•鼓楼区校级月考）△ABC∽△DEF，若AB＝1，DE＝2，则△ABC与△DEF的相似比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴， 即相似比为1：2； 故选：A． 8．（2024秋•鄞州区校级月考）已知△ABC的三边长分别是有一边长是1，若△ABC和△A′B′C′相似，则△A′B′C′的另两边长不可能为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵ABC的三边长为有一边长是1， 设△A′B′C′另外两边长分别为x，y， 当1和对应时， 则或， ∴或，故A选项正确，不符合题意； 当1和2对应时，则或， ∴或，故B选项正确，不符合题意； 当1和为对应边时，则或， ∴或，故D选项正确，不符合题意； ∵，故C选项，不正确符合题意． ∴另两边长不可能为． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•闵行区期中）如果两个相似三角形对应边之比是2：3，且较小的三角形的周长是6，那么较大三角形的周长是 　9　． 【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，且较小的三角形的周长是6， ∴较大三角形的周长是． 故答案为：9． 10．（2024秋•屯留区期中）在如图所示的正方形网格中有△ABC和△DEF，已知△ABC∽△DEF，则∠A+∠E＝ 　45　°． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴∠A＝∠D， ∵∠D+∠E＝45°， ∴∠A+∠E＝45°． 故答案为：45． 11．（2024秋•裕华区校级期中）已知x轴上有A点（﹣2，0），y轴上有B点（0，4），直线y＝kx+6交x轴的正半轴于点E，交y轴于点F，若△AOB与△EOF相似（点O是坐标原点），则k的值为 　﹣2或　． 【解答】解：由题意可知：OA＝2，OB＝4， 令x＝0，把x＝0代入y＝kx+6中， 可得：y＝6， ∴F（0，6）， ∴OF＝6， ∵△AOB与△EOF相似， ∴或，即或， 解得：OE＝3或OE＝12， 当OE＝3时，E（3，0），代入得3k+6＝0， 解得：k＝﹣2， 当OE＝12时，E（12，0），代入得12k+6＝0， 解得：． ∴k＝﹣2或． 故答案为：﹣2或． 12．（2024•沂水县一模）如图，将腰长为12cm的等腰三角形纸片，沿与底边平行的方向剪去一个小的等腰三角形纸片，剩下一个等腰梯形纸片，如图所示．若剪去纸片面积是剩下的纸片面积的，则剪去等腰三角形纸片的腰长为 　4cm　． 【解答】解：由题可知剪去三角形纸片面积是原三角形面积的， ∴两个三角形的对应边的比为， ∴剪去等腰三角形纸片的腰长为， 故答案为：4cm． 13．（2024秋•闵行区期中）已知两个相似三角形的周长之比是2：3，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是 　40　． 【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是2：3， ∴两个相似三角形的面积之比是4：9， 设较小三角形的面积是4x，则较大三角形的面积是9x， 根据题意得：9x﹣4x＝50， 解得：x＝10， ∴4x＝40， 即较小三角形的面积是40． 故答案为：40． 14．（2024秋•工业园区校级月考）如图，若，则△BAC∽△DAE．横线上应填入 　DE　． 【解答】解：∵△BAC∽△DAE， ∴， 故答案是：DE． 15．（2024秋•浦东新区校级月考）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为（3，2），连接AC，与y轴相交于点D，点E在x轴上，如果△ABD和△ACE相似，则点E的坐标为 　（2，0）或　． 【解答】解：当x＝0时，则y＝2x+2＝2； 当y＝0时，则2x+2＝0，解得x＝﹣1； ∴A点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（0，2）； ∴， ∵点C的坐标为（3，2）， ∴， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵点A，C在直线y＝2x+2上， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为； ∵连接AC，与y轴相交于点D， ∵当x＝0时，则， ∴， ∴，， ∵点E在x轴上， ∴设E（m，0） ∵∠ADB＞90°，∠CAE2＜90°，△ABD和△ACE相似， ∴∠ADB＝∠CE1A或∠ADB＝∠ACE2， ①当△ADB∽△CE1A时，， 则， 解得m＝2， ∴E1（2，0）， ②当△ADB∽△AE1C时，， 则， 此时m无解； ③当△ADB∽△E2CA时，， 则， 此时； ④当△ADB∽△ACE2时，， 则， 此时m无解； 综上：点E的坐标是（2，0）或， 故答案为：（2，0）或． 16．（2024秋•浦东新区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，AC＝10cm，点D是AB的中点，点E以2cm/s的速度沿着C→A的方向运动，运动到点A后停止，当△ADE与△ABC相似时，运动时间是　或　秒． 【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝8cm，AC＝10cm， ∴AB＝＝＝6（cm）． ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD＝AB＝×6＝3（cm）． ∵△ADE与△ABC有一个公共角， ∴△ADE与△ABC相似有2种情况． 当△ADE∽△ABC时， 则， ∴， ∴AE＝5cm， ∴CE＝AC﹣AE＝5cm， ∴运动时间是（秒）； 当△ADE∽△ACB时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴运动时间是秒； 综上所述，运动时间是或． 故答案为：或． 三．解答题（共6小题） 17．（2024•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点E作ED⊥AB，垂足为D． （1）若AB＝10，AC＝8，AE＝5，求AD的长； （2）连接BE，若△CEB∽△CBA，且CE＝1，AE＝3，求DE的长． 【解答】解：（1）∵ED⊥AB， ∴∠ADE＝∠C＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴， ∴AD＝4； （2）∵△CEB∽△CBA， ∴， ∴BC2＝CE•CA＝1×（1+3）＝4， ∴BC＝2， 在Rt△ABC中，， ∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C＝90°， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∴， ∴． 18．（2024秋•昌平区期中）如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2． （1）求EF的长． （2）求证：∠BEF＝90°． 【解答】（1）解：∵△ABE∽△DEF， ∴， ∵AB＝6，AE＝9，DE＝2， ∴， ∴DF＝3， ∵矩形ABCD， ∴∠EDF＝90°， ∴在Rt△DEF中， ； （2）证明：∵△ABE∽△DEF， ∴∠ABE＝∠DEF， ∵在Rt△ABE中，∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝90°． 19．（2024•新城区校级开学）如图，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，OD＝7，OB＝5，DC＝12．求AB，OC的长． 【解答】解：∵OA＝2，AD＝9，OD＝7， ∵△AOB∽△DOC， ∴＝＝， ∵OA＝2，OB＝5，DC＝12， ∴＝＝， 解得OC＝，AB＝． 20．（2024•响水县二模）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP、BP． （1）求证：BP＝MN； （2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，试证明BM＝MC． 【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C， 在△ABM和△BCP中， ， ∴△ABM≌△BCP（SAS）， ∴AM＝BP， ∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN， ∴AM＝MN， ∴BP＝MN； （2）解：∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠AMB+∠CMQ＝90°， ∴∠BAM＝∠CMQ， 又∵∠ABM＝∠C＝90°， ∴△ABM∽△MCQ， ∴， ∵△MCQ∽△AMQ， ∴△AMQ∽△ABM， ∴， ∴， ∴BM＝MC． 21．（2023秋•和县期末）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”． （1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等； （2）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系． 【解答】解：（1）△ABD和△ACE全等，理由： ∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”， ∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）DC和BE的位置及大小关系为：DC＝BE，DC⊥BE，理由： ∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠EBC+∠ACB＝90°， ∴∠EBC+∠DCB＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴DC⊥BE． 22．（2024春•烟台期末）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图②，过点C作CE∥AB，CE交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：＝． 应用拓展： （2）如图③，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝1，AB＝2，求DE的长. 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB， ∴△CED∽△BAD， ∴， ∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD， ∴∠E＝∠CAD， ∴CE＝CA， ∴． （2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE， 由（1）可知，， 又∵AC＝1，AB＝2， ∴， ∴BD＝2CD， ∵∠BAC＝90°， ∴BC＝＝＝， ∴BD+CD＝， ∴3CD＝， ∴CD＝； ∴DE＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$