精品解析：天津市第五十五中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷

天津市第五十五中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷 一、选择题（每小题6分） 1. 经过、两点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 已知，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（ ） A. B. C. D. 4. 设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 直线被圆截得的最短弦长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的离心率为，为坐标原点，右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，的面积为，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. 4 C. D. 2 8. 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，为点坐标原点，若的面积等于，则双曲线的离心率为 A. 3 B. C. D. 4 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限的交点为，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分） 10. 已知抛物线上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则________. 11. 已知双曲线的一条渐近线为，则___________；离心率___________. 12. 经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为_______________________ 13. 已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P，Q在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率e为________. 14. 已知椭圆上两个不同的点关于直线对称，则实数的取值范围是______. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点且斜率为正数的直线分别交双曲线的左、右两支于点，，记四边形的周长为，面积为.若，且，则双曲线的离心率为______. 三、解答题 16. 已知直线 与直线交于点. （1）求过点 且垂直于直线的直线的方程； （2）求过点 并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 17. 已知圆经过点. （1）求圆的方程； （2）若直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 18. 已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为. （1）求点的坐标； （2）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆过点，求直线的方程. 19. 如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 20. 已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-. （1）求椭圆C的离心率 （2）点M（，）在椭圆C上，椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为（1，0），过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q设L的斜率为k，若，求k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第五十五中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷 一、选择题（每小题6分） 1. 经过、两点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则，且，故. 故选：B. 2. 已知，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角公式求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 故选：B 3. 如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，，可得，所以，抛物线的方程为， 当水面上升后，即当时，，可得， 因此，当水面上升后，桥洞内水面宽为. 故选：C. 4. 设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求得正确答案. 【详解】椭圆的焦点在轴上，长半轴为， 由于椭圆的离心率为，所以椭圆的半焦距为，焦距为， 由于曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，， 所以曲线的轨迹是双曲线，且实轴长为，半实轴长为， 所以虚半轴长为， 所以曲线的标准方程为. 故选：C 5. 已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用周长为求得值，得到M，N坐标，再设点，利用直线AM与AN的斜率之积构建关系，结合满足已知方程，解得，即得结果. 【详解】由△AF1B的周长为，可知，解得，则， 设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得，即 ①． 又，所以 ②， 由①②解得，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C． 6. 直线被圆截得的最短弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求圆C的圆心为，半径为4，再计算圆心到定点的距离，最后根据垂径定理可求解. 【详解】将圆化为一般方程为，因此可知圆C的圆心为，半径为4， 因为直线l过定点，所以当圆心到直线l的距离为时， 直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为． 故选：D 7. 已知双曲线的离心率为，为坐标原点，右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，的面积为，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用点到直线的距离计算出，从而得到，再根据面积为得到，最后结合离心率求得，即可得出结果. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，右焦点 不妨令点位于第一象限，则的长度为点到直线的距离， 即，所以， 又的面积为，所以，则， 因为该双曲线的离心率为，即，则，即， 所以，解得， 即双曲线的实轴长为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求双曲线的实轴，涉及双曲线的渐近线以及离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 8. 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，为点坐标原点，若的面积等于，则双曲线的离心率为 A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线和抛物线的几何性质，得出，，及，在根据三角形的面积公式，列出方程即可求解． 【详解】由题意，可得抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为， 故不妨设，，所以． 而点到直线的距离等于2， 故的面积，即．故．故选B． 【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的几何性质的应用，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限的交点为，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，为锐角，依题意可得，，再由，得到，又，利用勾股定理得到方程，即可求出，从而求出，最后求出离心率即可． 【详解】 设，为锐角， 因为，，所以，， ，，又， ， ， ， ， ， ，（负值舍去），， ，， 双曲线的离心率． 故选：D． 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 二、填空题（每小题5分） 10. 已知抛物线上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用焦半径公式即得. 【详解】抛物线的准线方程为： ， ∵抛物线上横坐标为3的点到焦点的距离等于4， ∴根据抛物线的定义可知， ∴. 故答案为：2. 11. 已知双曲线的一条渐近线为，则___________；离心率___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意即可得出，再由离心率，代入即可求出答案. 【详解】双曲线的渐近线为 又一条渐近线为，所以， 所以离心率 . 故答案为：；. 12. 经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为_______________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得；解得. 所以圆的方程为：. 故答案为：. 13. 已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P，Q在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率e为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据，求得，再由，即可得解. 【详解】由，可得，代入椭圆方程，可得， 由，得，又， 可得， 解得：或-1（舍） 故答案为： 14. 已知椭圆上两个不同的点关于直线对称，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】设线段的中点，利用点差法得到，结合得到，联立得，根据点M在椭圆的内部列不等式求解即可. 【详解】设，，是线段的中点， 因为点是椭圆上关于直线对称的两个点， 则，两式相减得. 因为，，所以. 因为，所以，故，联立，解得， 所以. 因为点M应在椭圆的内部，所以，即， 解得或. 所以实数m的取值范围是或. 故答案为：或. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点且斜率为正数的直线分别交双曲线的左、右两支于点，，记四边形的周长为，面积为.若，且，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据得到，设，，根据得到，再根据，即可得到双曲线的离心率. 【详解】由，得点，在以线段为直径的圆上，故， 如图所示： 设，，则，依题意可得，， 又，，，，，. 又， ，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的方法： 1.求出双曲线的，的值，再求离心率即可； 2. 根据题意找到关于，，的齐次式，再转化为关于的方程求解即可. 三、解答题 16. 已知直线 与直线交于点. （1）求过点 且垂直于直线的直线的方程； （2）求过点 并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程求得点的坐标，结合题中条件即可得解； （2）分两种情况考虑，过原点和不过原点，不过原点时，利用待定系数法求解即可. 【小问1详解】 由 得 交点 由题直线 的斜率， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线 过原点时， 直线斜率为，此时直线方程为:，即， 当直线 不过原点时，设直线， 代入点 得，解得， 此时直线方程: 综上， 直线 的方程为:或. 17. 已知圆经过点. （1）求圆的方程； （2）若直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法设出圆的一般方程，根据条件列出方程组，解出即可； （2）设出直线方程，根据题中条件可求得圆心到直线的距离为，建立方程，解出即可，特别要考虑直线的斜率不存在的情况. 【小问1详解】 设圆的方程为， 根据题中条件知， ,解得, 所以圆的方程为， 即. 【小问2详解】 因为直线经过原点， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离 又被圆截得的弦长为2，圆的半径为， 则，故， 即， 解得，则方程为， 又当直线的斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意， 故所求直线的方程为或者. 18. 已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为. （1）求点的坐标； （2）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆过点，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意由点斜式设出直线方程，联立后根据相切可知，再由切点在第一象限可求得P点坐标． （2）设出直线方程，联立抛物线，根据两个交点可得；根据韦达定理用m表示出、、；根据圆是以线段为直径的圆过点，可知，代入坐标可解得或，则直线方程可得． 【详解】（1）由题意知可设过点的直线方程为 联立得：， 又因为直线与抛物线相切，则，即 当时，直线方程为，则联立得点坐标为 （2）设直线的方程为：，， 联立得：，则恒成立， ， 则， 由于圆是以线段为直径的圆过点，则， ，则或 则直线的方程为或 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用，向量与抛物线的综合，属于中档题． 19. 如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，则， 且，∴且， 则四边形为平行四边形，． 又平面平面， 平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明即可； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值； （3）向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：直三棱柱中，． 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，则 即令，则，得到平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 解：，， 点到平面的距离． 20. 已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-. （1）求椭圆C的离心率 （2）点M（，）在椭圆C上，椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为（1，0），过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q设L的斜率为k，若，求k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-，由求解； （2）根据点M（，）在椭圆C上，顶点，再由，求得椭圆方程，由，结合，得到，设直线方程为，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，求得Q的坐标，代入求解. 【小问1详解】 解：设椭圆C：的上顶点为， 左顶点为，右顶点为， 因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-, 所以，即，又 所以，解得； 【小问2详解】 因为点M（，）在椭圆C上， 所以，又， 解得， 所以椭圆方程为，， 则， 因为， 所以， 又， 所以，则， 设，则， 当时，则，不合题意； 当时，设直线方程为， 与题意方程联立，消去y得： 则， 所以，则， 因为，由，得， 因为，所以， 化简得，因为，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $