上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

徐汇中学2024学年高二年级第一学期 期中考试数学试卷 出卷人：刘燃 审卷人：龚亮 一、填空题（1-8每题3分，9-12每题4分） 1. 若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 2. 如图，若平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，则二面角的大小为______. 3. 在数列中，，对任意，有，则______． 4. 正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为______． 5. 已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为________． 6. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为______． 7. 湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则这球的半径为______cm. 8. 棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为________． 9. 已知正三棱柱中，，点D、E分别为棱、的中点．则三棱锥的体积为________． 10. 已知正三角形的边长，则到三个顶点的距离都为2的平面有___个； 11. 已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为________． 12. 关于正方体有如下四个说法，则下列说法正确的有_______． （1）若点P在直线上运动，则三棱锥的体积不变 （2）若点P是平面上到点D和距离相等的点，则P点的轨迹是直线． （3）若点P在线段（含端点）上运动，则直线与所成角的范围为． （4）若点P在线段（含端点）上运动，则直线与可以垂直 二、选择题（3*2+4*2=14） 13. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ） A. B. C. D. 15. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 16. 已知菱形中，，AC与BD相交于点E，将沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，对于下面两个命题： ①存在一个位置，使为等边三角形； ②DM与BC不可能垂直，成立的是（ ） A. ①为假命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①②均为真命题； D. ①②均为假命题 三、解答题（8+8+8+10+12=46） 17. 正方体，E，F分别是棱，的中点． （1）直线平面； （2）求异面直线与所成角的大小； 18. 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式： （2）求其前n项和取最大值时n的值． 19. 如图，已知点在圆柱的底面圆O上，圆O的直径，圆柱的表面积为，． （1）求四面体全面积； （2）求二面角的大小； 20. （1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？ （2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示． “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1； 假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上； 假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直； 假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上． ①求“十字”捆扎中彩带的总长度； ②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议． 21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点．已知，是等边三角形． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点．问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出这个最大角，并说明点此时所在的位置． 徐汇中学2024学年高二年级第一学期 期中考试数学试卷 出卷人：刘燃 审卷人：龚亮 一、填空题（1-8每题3分，9-12每题4分） 【1题答案】 【答案】平行或异面 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】8 【7题答案】 【答案】13； 【8题答案】 【答案】## 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】8 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】（1）（2）（4） 二、选择题（3*2+4*2=14） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（8+8+8+10+12=46） 【17题答案】 【答案】（1）证明：取中点，连接， 则, 由于平面，平面，故平面, 由于,故四边形为平行四边形， 则， 平面，平面，故平面, 平面， 故平面平面， 平面,故直线平面 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）7 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）应选择圆柱体礼盒更经济实惠； （2）①16；②，在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带 【21题答案】 【答案】（1）证明：点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2）； （3）在线段上与点相距处 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $