直线与方程考点分类练习题-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与方程考点分类练习题 一 直线的倾斜角与斜率 单选题 1．直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 3．若直线的倾斜角是，则（   ） A． B． C． D． 4．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 5．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 6．过，两点的直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 多选题 9．经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 10．如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 11．下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C．若，，则直线的倾斜角为90° D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 12．已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 13．已知，，，则下列说法正确的是（    ） A．直线AB的斜率为7 B．直线BC的倾斜角为钝角 C．若，则是直线CA的一个方向向量 D．中，边AB上中线的斜率为－5 填空题 14．已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 . 15．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值可以为 ． 16．过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 二 直线的方程 单选题 1．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 2．若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 4．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为 B．三点共线 C．过两点的直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 6．如图所示，直线与的图象可能是（   ） A．B．C． D． 7．已知直线：和直线：，下列说法错误的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或-3 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 多选题 8．直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点，且在轴，轴上截距互为相反数的直线方程为 C．直线：恒过点 D．已知直线：，：，则“”的充要条件是“或” 10．已知直线：，：，则下列结论正确的是（   ） A．在轴上的截距为 B．若，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 11．已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线的斜率为0 D．当时，直线与直线AB垂直 填空题 12．经过点，且在 x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般方程是 . 13．过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 14．过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 15．已知直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当三角形面积取最小值时直线的斜率为 ． 解答题 16．已知，，．求： (1)BC边上的中线所在的直线方程； (2)AB边垂直平分线方程； 17．已知直线过点， (1)若直线过，求直线的方程. (2)若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程. 18．三角形的三个顶点是． (1)求直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程． 19．过点作直线分别交的正半轴于两点. (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 三 直线的交点坐标与距离公式 单选题 1．已知点，到直线的距离相等，则（    ） A．3 B．或5 C．3或 D．或 2．已知直线，，，且与间的距离为3，则（   ） A．26 B．46 C．或46 D．或26 3．无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 4．直线关于y轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 6．已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 7．若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 8．，分别为直线与上任意一点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 9．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（    ） A． B． C．8 D． 多选题 10．已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 11．已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知点和，是直线上的动点，则（   ） A．存在，使最小 B．存在，使最小 C．存在，使最大 D．存在，使最小 13．已知直线，，以下结论正确的是（    ） A． 在y轴上的截距为 B．当变化时，与分别经过定点和 C．无论为何值，与都关于直线对称 D．无论为何值，与都互相垂直 填空题 14．已知，，，则的面积为 ． 15．直线与之间的距离的最大值为 . 16．在中，已知，，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线方程为：，则的面积为 ． 解答题 17．已知的顶点，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求的面积. 18．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)若点满足，求动点的轨迹方程. 19．已知直线的方程为，直线经过点和. (1)若，求的值； (2)若当变化时，总过定点，求. 20．求满足下列条件的直线方程. (1)过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)已知，，两直线，交点为，求过点且与距离相等的直线方程. 21．已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 22．已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 23．已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为，求： (1)B点和C点的坐标： (2)入射光线经过点，被AB上的中线CM反射，反射光线过，求反射光线所在的直线方程． 24．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线的方程． (3)在线段上是否存在一点F，使得？若存在，写出点F的坐标；不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与方程考点分类练习题 一 直线的倾斜角与斜率 单选题 1．直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 故选：A. 2．已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 【详解】设直线的斜率为，所以，则4. 故选：C 3．若直线的倾斜角是，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得直线的斜率，故为钝角，则，， 由，解得． 故选：C． 4．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【详解】设倾斜角为， 因为直线的方向向量是，则直线的斜率， 故倾斜角的正切值为， 且，所以的倾斜角为. 故选：A. 5．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【详解】设直线的斜率为，则， 故，而，故， 故选：C. 6．过，两点的直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】设该直线的倾斜角为，则， 因为，， 所以， 因为，所以，则， 所以. 故选：C. 7．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，，， 因为过点的直线与线段相交， 结合图象可知，该直线的斜率的取值范围为. 故选：B. 8．设，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】如图：    问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围. 因为，， 且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大； 当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大. 所以斜率的取值范围是：或. 故选：C 多选题 9．经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 【详解】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 10．如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】由图可得， ， ，且， 故ABC正确，D错误. 故选：ABC． 11．下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C．若，，则直线的倾斜角为90° D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误； B：直线的斜率时，因为可以是不为的任意实数，而直线倾斜角的范围为，故B错误； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，故C正确； D：过，两点的斜率为：，故D正确. 故选：CD. 12．已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 【详解】分别设直线，，的倾斜角为，，，则，，直线的斜率为， 将直线，平移至原点位置，设直线l与直线，分别交于点，， 当时，如图所示： 由题意知， 因为为等腰三角形，且顶角为钝角， 所以为钝角或为钝角， 若为钝角，则， 所以 ， 所以直线的斜率为，故A选项正确； 若为钝角，则，    所以， ， ， 所以， 所以直线的斜率为，故C选项正确； 当时，如图所示：    因为为等腰三角形，则， 所以 ， 所以由，解得或（舍）， 所以， 所以直线的斜率为，故D选项正确； 故选：ACD. 13．已知，，，则下列说法正确的是（    ） A．直线AB的斜率为7 B．直线BC的倾斜角为钝角 C．若，则是直线CA的一个方向向量 D．中，边AB上中线的斜率为－5 【详解】对于A，直线的斜率为，故A错误； 对于B，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为钝角，故B正确； 对于C，直线的斜率为，所以直线CA的一个方向向量为,即，故C正确； 对于D，设边的中点为，则，，即点，则，故D正确. 故选：BCD. 填空题 14．已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 . 【详解】因为在上为增函数,所以, 因为在上为增函数,所以, 又时,直线的斜率不存在, 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 15．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值可以为 ． 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得，则实数a的取值可以为2. 故答案为：2 16．过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：. 故答案为: 二 直线的方程 单选题 1．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【详解】设直线在轴上的截距为， 当时，所求直线的方程可设为， 因为直线过点， 所以，故，即直线方程为， 当时，可设直线方程为， 由直线过点可得，， 所以，故直线方程为. 所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数 的直线方程是或. 故选：C. 2．若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，即． 故选：A． 3．对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 4．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设与垂直于直线的直线方程为， 若直线过原点，则， 所以所求直线方程为. 故选：B. 5．下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为 B．三点共线 C．过两点的直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【详解】对A，当时，的斜率不存在，当时，的斜率为，A错误； 对B，因为 且共点，所以三点共线，B正确； 对C，当或时，不能用两点式方程表示，C错误； 对D，当在轴和轴上截距都相等且不为零时，设方程为， 因为直线经过点，所以，解得，则直线方程为， 当在轴和轴上截距都相等且为零时，设方程为， 因为直线经过点，所以，直线方程为， 所以满足条件的直线方程为或，D错误； 故选：B. 6．如图所示，直线与的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【详解】直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为， 直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为， 对于A选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得， A不满足条件； 对于B选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得，即，B不满足条件； 对于C选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得， C满足条件； 对于D选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得，D不满足条件. 故选：C 7．已知直线：和直线：，下列说法错误的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或-3 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【详解】：,令且，解得，故直线过点，A正确； 当时，：和直线：，故，重合，故B错误； 由，得或2，故C正确； ：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：B 多选题 8．直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为时，直线方程为，即， 当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为， 由题有或， 由，得到，此时直线方程为，即， 由，得到，此时直线方程为，即， 故选：ACD. 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点，且在轴，轴上截距互为相反数的直线方程为 C．直线：恒过点 D．已知直线：，：，则“”的充要条件是“或” 【详解】对于A，易知直线的斜率为，所以倾斜角为，即A正确； 对于B，当在轴，轴上截距互为相反数且都为0时，此时直线方程为，可得B错误； 对于C，直线可化为，由点斜式方程可知其恒过点，即C正确； 对于D，当时，直线的方程不存在，当时，直线的斜率不存在，此时两直线不垂直； 当且时，若可得，解得； 当时，经检验可得此时， 因此“”的充要条件是“”，可得D错误. 故选：AC 10．已知直线：，：，则下列结论正确的是（   ） A．在轴上的截距为 B．若，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 【详解】对AD，直线：，即， 所以在轴上的截距为，故A正确； 若不经过第二象限，则，解得，故D正确； 对B，当时，此时直线， 两条直线重合，故B错误； 对C，若，则，解得，故C错误； 故选：AD. 11．已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线的斜率为0 D．当时，直线与直线AB垂直 【详解】直线， 当时，，所以直线恒过定点，A选项正确. 时，，斜率为，倾斜角为，B选项错误. 时，，直线的斜率为，C选项正确. 时，，斜率为， 直线的斜率为，， 所以直线与直线不垂直，D选项错误. 故选：AC 填空题 12．经过点，且在 x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般方程是 . 【详解】当截距为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故，即； 当截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得， 故直线方程为，即. 故答案为：或 13．过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 【详解】因为直线将的面积分为相等的两部分， 所以该直线过圆心，由两点式知该直线方程为. 故答案为： 14．过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 15．已知直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当三角形面积取最小值时直线的斜率为 ． 【详解】设，，其中，设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为16，此时的面积取最小值8， 直线的斜率为. 故答案为：. 解答题 16．已知，，．求： (1)BC边上的中线所在的直线方程； (2)AB边垂直平分线方程； 【详解】（1）由于，，则中点坐标为，直线的斜率， 所以BC边上的中线所在的直线方程为，整理得； （2）由于，，所以直线的斜率，中点坐标为 所以，AB边垂直平分线的斜率且过， 故AB边垂直平分线方程为整理得． 17．已知直线过点， (1)若直线过，求直线的方程. (2)若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率， 此时直线方程为，即， 所以直线的方程为 （2）设直线的方程为，由题意可得， 令，则；令，则， 即，， 从而， 当且仅当，即时取到最小值， 所以直线方程为，即. 18．三角形的三个顶点是． (1)求直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程． 【详解】（1）根据题意可知， 则根据直线两点式方程可得，即； （2）设高BD所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由（1）知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由直线点斜式方程可得， 即，这就是所求的直线方程； （3）由，得线段的中点的坐标为， 则根据两点式可得直线方程为， 即. 19．过点作直线分别交的正半轴于两点. (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 【详解】（1）依题意设， 设直线的方程为，代入得， 所以，则，当且仅当，即时取等号， 从而，当且仅当，即时取等号， 此时直线的方程为，即， 所以，此时直线的方程为. （2）依题意直线的斜率存在且，设直线， 令，解得，令，解得，所以， 则， 当且仅当，即， 即时取最小值， 此时直线的方程为. 三 直线的交点坐标与距离公式 单选题 1．已知点，到直线的距离相等，则（    ） A．3 B．或5 C．3或 D．或 【详解】有题意得，解得或. 故选：C 2．已知直线，，，且与间的距离为3，则（   ） A．26 B．46 C．或46 D．或26 【详解】由，可得：，解得：， 则直线， 又，解得：或， 所以或46， 故选：C 3．无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 4．直线关于y轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】直线与两坐标轴的交点分别为和， 因为这两点关于y轴的对称点分别为和， 所以直线关于y轴对称的直线方程为 故选：A 5．已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【详解】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B. 6．已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为直线与平行，设直线的方程为， 因为、之间的距离与点到的距离均为， 则，解得， 所以，直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 7．若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 8．，分别为直线与上任意一点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 9．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（    ） A． B． C．8 D． 【详解】设直线与直线的两个交点为，且设， 则由题意可知，点关于点的对称点在上， 所以，解得， 所以，， 所以, 因为直线过点，，所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即， 联立：，解得的交点坐标为， 所以到直线的距离为， 所以这三条直线围成的三角形面积为. 故选：A. 二、多选题 10．已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 【详解】因为直线，所以，解得或，经检验都成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误. 因为直线，所以，解得， 所以“”的充要条件是“”，故B正确. 因为，即，所以过定点，故C正确. 因为过定点，所以点到直线距离的最大值， 是到定点的距离，即为，故D正确. 故选：BCD 11．已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，联立，解得，即， 直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为， ①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. 故选：BD. 12．已知点和，是直线上的动点，则（   ） A．存在，使最小 B．存在，使最小 C．存在，使最大 D．存在，使最小 【详解】在平面直角坐标系中作出点和直线， 由图可知，点和在直线同侧， 设点关于直线的对称点为， 则有，解得，得， ，当且仅当为直线与直线的交点时有最小值， 直线的斜率为，方程为， 由，解得，存在，使最小，A选项正确； 最小值为0，当且仅当，即为线段的垂直平分线与直线的交点， 的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为，即， ，解得，存在，使最小，B选项错误；   ，当且仅当为直线与直线的交点时有最大值， 直线的方程为，即， ，解得，存在，使最大，C选项正确； 设， ， 当时有最小值，此时， 所以存在，使最小，D选项正确. 故选：ACD. 13．已知直线，，以下结论正确的是（    ） A． 在y轴上的截距为 B．当变化时，与分别经过定点和 C．无论为何值，与都关于直线对称 D．无论为何值，与都互相垂直 【详解】对于选项A，由得当时，，即 在y轴上的截距为，正确； 对于选项B，由得当时， 所以无论为何值，经过定点， 由得当时，所以无论为何值，经过定点，正确； 对于选项C，设直线上一任意点， 则点关于直线的对称点为， 将代入，得，即， 与点在直线上矛盾，错误； 对于选项D，因为，所以无论为何值，与都互相垂直正确. 故选：ABD. 填空题 14．已知，，，则的面积为 ． 【详解】由条件可得：， 直线方程为：，即， 点到的距离为：， 又， 所以的面积为， 故答案为：3 15．直线与之间的距离的最大值为 . 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 且与平行， 故当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 16．在中，已知，，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线方程为：，则的面积为 ． 【详解】不妨设的中点，则，易知直线存在斜率， 所以， 而边上的高所在的直线方程为：， 所以有， 所以， 由点到直线的距离公式知A到的距离为， 由两点距离公式得，则的面积为. 故答案为： 解答题 17．已知的顶点，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求的面积. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以， 则边上的高所在直线的方程为，即； （2）由题意可知是的中点，所以， 从而边上的中线所在直线的方程为，即； （3）由题意知，边所在直线的方程为，即， 所以点A到直线的距离， 又， 所以的面积为. 18．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)若点满足，求动点的轨迹方程. 【详解】（1） 由点在，设， 则的中点在直线上， 所以，解得，所以， 设点关于直线对称的点， 则有，解得，即， 显然在上，直线的斜率为， 由点斜式，整理得，即为直线的方程. （2）点到直线的距离的距离为， 因为点满足， 所以点到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为与直线平行，且距离等于点到直线的距离的直线， 设轨迹方程为为， 则有,解得或4， 所以动点的轨迹方程为或. 19．已知直线的方程为，直线经过点和. (1)若，求的值； (2)若当变化时，总过定点，求. 【详解】（1）直线经过点和,所以， 所以直线的斜率为，因为直线的斜率为，, 所以,解得或. （2）直线的方程为可以改写为, 由，解得， 所以总过定点, 根据两点间的距离公式, 20．求满足下列条件的直线方程. (1)过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)已知，，两直线，交点为，求过点且与距离相等的直线方程. 【详解】（1）当直线过原点时，可得所求直线为，即，满足题意； 当直线不过原点时，依题意可设直线的方程为，其中， 代入，可得，解得， 所以所求直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. （2）由题意，联立方程组，解得，即得， 当直线过点且与平行，可得，即直线的斜率， 故直线的方程，即； 当直线过点和的中点时，因为，，可得，则， 所以直线的方程，即， 综上，满足条件的直线方程为或. 21．已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得 所以. （2）在直线上取一点，则关于直线l的对称点必在直线上. 设对称点，则故. 设直线与直线的交点为，则由即. 又因为经过点，所以由两点式得， 整理直线的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 22．已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 【详解】假设直线l上存在一点，使得取得最小值，如图，    则， 因为，所以当，即点P的坐标为时， 取得最小值，且最小值为. 23．已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为，求： (1)B点和C点的坐标： (2)入射光线经过点，被AB上的中线CM反射，反射光线过，求反射光线所在的直线方程． 【详解】（1）直线和直线垂直，故设直线方程为， 将代入得，，解得， 故直线方程为， 联立，解得，故， 设，则， 将代入中得， 又在直线上，故， 联立与，解得， 故； （2）设关于中线CM对称点坐标为，则反射光线即为所在直线， 其中，解得，故， 故反射光线方程为，即. 24．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线的方程． (3)在线段上是否存在一点F，使得？若存在，写出点F的坐标；不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为边上的高所在的直线方程为， 所以， 又直线经过点， 所以直线的方程为：， 即：． 联立解得： 即点. （2）设，由为上的中线，且， 所以的中点坐标为：． 又点在直线上， 所以有，① 又点在直线上， 所以，② 联立①②解得：，即点， 又，所以 所以的方程为：， 即：． （3）假设在线段上是存在一点， 使得， 则有，③ 由得：，④ 又，⑤ 联立③④⑤解得：， 所以存在点满足题意，此时点. 学科网（北京）股份有限公司 $$