第二章 5．实验：用单摆测量重力加速度-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二物理选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教版2019）

　　　　 第二章　机械振动 5．实验：用单摆测量重力加速度 1．掌握用单摆测量重力加速度的思路和科学探究方法。 2．会制作单摆，并能正确进行实验，提高动手操作能力。 3．会利用平均值法和图像法处理实验数据，提高分析问题、解决问 题的能力。 素养目标 探究过程 梳理要点 1 合作交流　应用拓展 2 课时测评 3 内容索引 2 3 4 5 1 探究过程 梳理要点 返回 一、实验目的 1．理解用单摆测量重力加速度的原理和方法。 2．学会用单摆测量当地的重力加速度。 二、实验原理 单摆在偏角很小(小于5°)时，可看成简谐运动，其周期T＝2π ，可得g＝ 。据此，通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。 三、实验器材 铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、停表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺。 四、实验步骤 1．做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一个比孔大的结。然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记。 2．测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出摆球的直径d，则单摆的摆长l＝l线＋ 。 3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过最低位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝ 。 4．变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。 五、数据处理 1．公式法：根据公式g＝ ，将每次实验的l、N、t数值 代入，计算重力加速度g，然后取平均值。 2．图像法：作出T2 -l图像，由T2＝ 可知T2-l图线是一条 过原点的直线，如图所示，其斜率k＝ ，求出k，可得 g＝ 。 六、误差分析 1．系统误差主要来源 (1)单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，球、线是否符合要求。 (2)小球做圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等。 2．偶然误差主要来源 (1)测定摆长l时引起的误差 ①在未悬挂摆球前测定摆长或漏加摆球半径。 ②测摆长时摆线拉得过紧或以摆球的直径与摆线长之和作为摆长。 ③悬点未固定好，摆球摆动时出现松动，使实际的摆长不断变长。 (2)测定周期时引起的误差 ①开始计时和停止计时时，停表过早或过迟按下。 ②测定N次全振动的时间为t时，次数N数错。 ③计算单摆的全振动次数时，未从摆球通过最低位置时开始计时。 七、注意事项 1．摆线要选1 m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数。 2．摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发生形变。 3．计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长。 4．摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响。 5．摆角要小于5°(具体实验时可以小于10°)，不要过大，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动，公式T＝2π 将不再适用。 6．单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆。 7．要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时。 8．要准确记好摆动次数，不要多记或少记。 返回 合作交流　应用拓展 返回 一　教材原型实验 (2023·安徽黄山市高二月考)某同学用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。 (1)对测量原理的理解正确的是________。 A．由g＝ 可知，T一定时，g与l成正比 B．由g＝ 可知，l一定时，g与T2成反比 C．单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，由g＝ 可算出当地的重力加速度 例1 由单摆周期公式T＝2π ，解得g＝ ，测出单摆的摆长l与周期T，可以求出当地的重力加速度，但是重力加速度与单摆的摆长和周期无关，C正确，A、B错误。 √ (2)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，应当选用的器材有________。 A．长度为10 cm左右的细绳 B．长度为100 cm左右的细绳 C．直径为1.8 cm的钢球 D．直径为1.8 cm的木球 E．最小刻度为1 mm的刻度尺 F．停表、铁架台 √ √ √ 为减小实验误差，应选择适当长些的细绳作摆线，摆线应选择B；为减小空气阻力对实验的影响，应选择质量大而体积小的球作摆球，因此摆球应选择C；实验需要测量摆长，需要用到刻度尺；实验需要测量单摆的周期，测周期需要停表，应把单摆固定在铁架台上。因此，应当选用的实验器材是BCEF。 √ (3)进行以下必要的实验操作，请将横线部分内容补充完整。 ①测量单摆的摆长，即测量从摆线的悬点到____________的距离； ②把此单摆从平衡位置拉开一个小角度后释放，使摆球在竖 直面内摆动，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一 次全振动的时间，即单摆振动的周期； ③适当改变摆长，测量几次，并记录相应的摆长和周期； ④根据测量数据画出图像，并根据单摆的周期公式，由图像计算重力加速度。 摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长，测量单摆的摆长，应测量从摆线的悬点到摆球球心的距离。 摆球球心 (4)该同学分别在北京和厦门两地做了此实验，比较准确 地探究了单摆的周期T与摆长l的关系，然后将这两组实 验数据绘制成T2 -l图像，如图乙所示，在北京测得的实 验结果对应的图线是____ (选填“A”或“B”)。 根据T＝ 2π ，图像的斜率越小，重力加速度越大，由于北京的重力加速度大于厦门的重力加速度，则在北京所做实验作出的T2 -l图像的斜率小于在厦门所做实验作出的T2 -l图像的斜率，在北京测得的实验结果对应的图线是B。 B 某同学在“用单摆测量重力加速度” 的实验中进行了如下的操作： (1)用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球 直径，如图甲所示，摆球直径d＝_____cm， 把摆球用细线悬挂在铁架台上，测得摆线长为l0，得到摆长表达式为L＝ _____； 游标卡尺是10分度的卡尺，则摆球直径为d＝20 mm＋7×0.1 mm＝20.7 mm＝2.07 cm 摆长表达式为L＝l0＋ 。 例2 2.07 (2)用停表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定 且到达最低点时开始计时并记为n＝0，单摆 每经过最低点记一次数，当数到n＝60时停 表的示数如图乙所示，该单摆的周期T＝ _____s(结果保留3位有效数字)； 数到60次时，表的读数为1 min 7.4 s，则周期为T＝ ≈2.25 s。 2.25 (3)①测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2-L图像如图丙所示，造成图线不过坐标原点的原因可能是___； A．摆球的振幅过小 B．将l0计为摆长 C．将(l0＋d)计为摆长 D．摆球质量过大 ②这样将使根据图像得出的g测量值________(选填“偏大”、“偏小”或“不受影响”)。 ①由T＝2π 可得T2＝ L，周期与质量和振幅都无关，不过原点的原因可能是测得的摆长偏小，即把摆线长当成了摆长，故A、C、D错误，B正确。 ②根据以上分析可知，图像的斜率不受影响，即g测量值不受影响。 B 不受影响 (4)某同学通过实验测得：悬点O到小球球心的距 离为L；计时开始后，从小球第一次通过平衡位置 到第n次通过平衡位置所用的时间为t，则重力加速 度g＝____________(用L、n、t及常数表示)。 (5)本实验测得的重力加速度一般略微偏小，这 是由于以下哪个系统误差造成的________。 A．小球经过平衡位置时计时，很难看准，造成 较大的周期测量误差 B．小球球心位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差 C．单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小 小球经过平衡位置时计时，很难看准，造成较大的周期测量误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故A错误；小球球心位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故B错误；单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小，根据T＝2π 可知，重力加速度的测量值偏小，故C正确。 √ 针对练．用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。 (1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项 前的字母)。 A．长度为1 m左右的细线 B．长度为30 cm左右的细线 C．直径为2 cm左右的塑料球 D．直径为2 cm左右的铁球 √ √ 长度选择1 m左右的细线，方便公式中的l取成1 m，用体积小密度大的铁球以减弱空气阻力的影响，故选AD。 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图2中____ (选填“甲”或者“乙”)所示的固定方式。 乙方便测量线长，并且悬挂点固定，半径不易改变，故选乙。 乙 (3)将单摆正确组装后进行如下操作，其中正确的是________。 A．测出摆线长作为单摆的摆长 B．把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动 C．在摆球经过平衡位置时开始计时 D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用的时间并作为单摆的周期 √ √ 摆长为摆线长加小球半径，故A错误； 单摆在小角度摆动时可看成简谐运动，此时周期公式才成立，故B正确；摆球经过平衡位置时开始计时误差小，故C正确；测量单摆的周期测量单摆完成多次全振动的时间，再取平均值以减小误差。故D错误。 (4)甲同学用游标卡尺测得摆球的直径为d，用秒表测得摆球完成N次全振动所用的时间为t，用米尺测得摆线长为l0，根据以上数据，可得到当地的 重力加速度g为_____________。 (5)乙同学多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T，他根据测量数据画出了如图3所示的图像。你认为横坐标所代表的物理量应为___(选填“l2”、“l”或“ ”)。 二　拓展创新实验 将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且 开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲 所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放， 设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的 长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出T2-L函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。 (1)实验中所得到的T2-L关系图像应为图乙中的___ (选填“a”、“b”或“c”)。 例3 a 由单摆周期公式有T＝2π 纵轴截距大于0，图线应为题图乙中的图线a。 (2)由图可知，小筒的深度h＝____m，当地的重力 加速度g＝_____m/s2(π取3.14，g的计算结果保留3 位有效数字)。 由图线a得k＝ s2/m＝4 s2/m，h＝ ＝0.3 m，g＝ ＝π2 m/s2≈9.86 m/s2。 0.3 9.86 某小组在做“用单摆测定重力加速度”实验后， 为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通 过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周 期 T＝2π ，式中Ic为由该摆决定的常量， m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图甲所示，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50 kg。 例4 由T＝ 所以题图乙纵轴表示T2r。 r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64 (1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示_____。 T2r (2)Ic的国际单位为________，由拟合直线得到Ic的 值为____________(保留到小数点后2位)。 Ic单位与mr2单位一致，因为mr2的国际单位为kg·m2，所以Ic的国际单位为kg·m2； 结合T2r＝ 和题图乙中的截距和斜率，解得Ic的值约为0.17 kg·m2。 (3)若摆的质量测量值偏大，则重力加速度g的测量值________(选填“偏大”、“偏小”或“不变”)。 重力加速度g的测量值是通过求斜率 得到的，与质量无关，所以若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值不变。 kg·m2 0.17 kg·m2 不变 针对练．在探究单摆运动的实验中： (1)图甲是用力传感器对单摆振动过程进行测量的 装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所 显示的F-t图像，根据图乙的信息可得，从t＝0时刻 开始摆球第二次摆到最低点的时刻为______，摆长 为______(取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2) 。 摆球在最低点时摆线拉力最大，从t＝0时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻对应图像的第二个峰值，该时刻为1.3 s； 根据题图可知，单摆的周期为T＝2×(0.9－0.1) s＝1.6 s 根据T＝2π 解得l＝0.64 m。 1.3 s 0.64 m (2)单摆振动的回复力是______。 A．摆球所受的重力 B．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力 C．摆线对摆球的拉力 D．摆球重力在垂直摆线方向上的分力 √ 单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力。故选D。 (3)某同学的操作步骤如下，其中正确的是______。 A．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上 端固定在铁架台上 B．用米尺量得细线长度L，摆长为L再加上摆球半径 C．在摆线偏离竖直方向15°位置释放小球 D．让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度 √ √ 取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，A正确；用米尺量得细线长度L，摆长为L再加上摆球半径，B正确；在摆线偏离竖直方向小于5°位置释放小球，C错误；让小球在同一个竖直面内摆动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度，D错误。 返回 课 时 测 评 返回 1．(10分)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中： (1)该实验中用于测量时间的工具是___； 该实验中由于需要测量准确的时间，则选用秒表，故选B。 (2)如图甲所示，小明用游标卡尺测量小球的直径为_____mm； 游标卡尺的读数为：主尺读数＋游标尺的读数×精度值＝14 mm＋4×0.1 mm＝14.4 mm。 B 14.4 2 3 4 5 1 (3)为了减小测量误差，下列操作正确的是________； A．摆线的长度应适当长些 B．单摆的摆角应尽量大些 C．测量周期时，取小球运动的最高点作为计时的起点和终点位置 D．测量周期时，测摆球30～50次全振动的时间算出周期 摆线的长度应适当长些，测量长度时误差减小，所以A正确；单摆的摆角不能过大，需要满足摆角θ<5°，所以B错误；测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，所以C错误；测量周期时，测摆球30～50次全振动的时间算出周期，多次测量求平均值可以减小误差，所以D正确。 √ √ 2 3 4 5 1 (4)手机中集成了许多传感器，如光传感器、加 速度传感器等，如图乙所示，小明在家尝试用 单摆结合手机测量当地的重力加速度，当小球 摆动时会引起手机光传感器的曝光值改变。如 图丙所示，某次实验测得单摆4次全振动的时间为7.203 s，已知单摆摆长为0.8 m，可以计算出当地的重力加速度为_____m/s2。(结果保留3位有效数字) 9.74 2 3 4 5 1 2．(10分)在“用单摆测量重力加速度”的实 验中。 (1)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm， 用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，为 ______cm，则单摆的摆长为______cm；然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间，如图乙所示，为_____s，则单摆的周期为____s；当地的重力加速度为g＝_____m/s2； 2.125 98.49 99.8 2.0 9.71 2 3 4 5 1 游标卡尺的读数为主尺读数＋游标尺读数，故摆球直径为 21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm＝2.125 cm 单摆的摆长为 L＝l＋ ＝97.43 cm＋ cm≈98.49 cm 秒表的读数为t＝90 s＋9.8 s＝99.8 s 单摆的周期为 根据单摆的周期公式T＝2π 解得g＝ ≈9.71 m/s2。 2 3 4 5 1 (2)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心 位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计摆球 的半径，具体做法如下：第一次量得悬线长为L1，测得振动周期为T1；第二次量得悬线长为L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝ ______________。 由题可知T1 联立以上两式可解得g＝ 。 2 3 4 5 1 3．(10分)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单 摆做简谐运动的周期公式得到g＝ ，只要测出多组单 摆的摆长l和运动周期T，作出T2 -l图像，就可以求出当地 的重力加速度。理论上T2-l图线是一条过坐标原点的直 线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示： (1)造成图线不过坐标原点的原因可能是____________________________。 T2-l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1 cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。 测量摆长时漏掉了摆球的半径 2 3 4 5 1 (2)由图像求出的重力加速度g＝______m/s2(取π2＝9.87)。 由单摆周期公式T＝2π 可得T2＝ ·l，则T2 -l图像的斜率为k＝ ；由图像得k＝ s2·m－1，解得g＝9.87 m/s2。 9.87 2 3 4 5 1 (3)如果测得的g值偏小，可能的原因是________。 A．测摆长时摆线拉得过紧 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线 长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 D．实验时误将49次全振动记为50次 √ 测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，可知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意。 2 3 4 5 1 4．(10分)如图甲所示，某同学利用双线摆和光电计数 器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬 点间相距s，金属小球半径为r，A、B为光电计数器。 现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向 一个较小的角度并由静止释放，同时启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线(光束)位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，由此可知： (1)双线摆的振动周期T＝______，双线摆的等效摆长L＝_____________。 2 3 4 5 1 由题意可知，时间t内，单摆完成全振动的次数为 ， 单摆的周期T＝ 2 3 4 5 1 (2)依据公式g＝_______代入周期T和等效摆长L的值， 即可求出重力加速度。 由单摆周期公式T＝2π 可得g＝ 。 2 3 4 5 1 (3)该同学在实验中，测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录数据见表。 以L为横坐标，T2为纵坐标，在图乙中作出T2-L图像，并利用此图像求得重力加速度g＝______m/s2(保留3位有效数字)。 实验次数 1 2 3 4 5 L/m 0.50 0.80 0.90 1.00 1.20 T/s 1.41 1.79 1.90 2.00 2.19 T2/s2 1.99 3.20 3.61 4.00 4.80 9.86 2 3 4 5 1 由单摆周期公式T＝2π 得T2＝ L 则T2与L成正比，T2 -L图像是一条直线， 作出T2 -L图像如图所示 由图可得图线的斜率k＝ ＝4 s2/m 解得g≈9.86 m/s2。 2 3 4 5 1 5．(10分)某探究小组探究单摆的装置如图甲所示，细线端拴一个球，另一端连接拉力传感器，固定在天花板上，将球拉开一个很小的角度静止释放，传感器可绘制出球在摆动过程中细线拉力周期性变化的图像，如图乙所示。 (1)用游标卡尺测出小球直径d如图丙所示，读数为______mm； 由题图丙所示游标卡尺可知，游标尺是20分度的，游标尺的精度是0.05 mm，游标卡尺示数为18 mm＋10×0.05 mm＝18.50 mm。 18.50 2 3 4 5 1 (2)现求得该单摆的摆长为l，则当地的重力加 速度为_____(用题中的字母表示，包括图 乙中)； 摆球经过平衡位置时细线的拉力最大，在一个周期内摆球两次经过平衡位置，由题图乙所示图像求出单摆的周期T＝t2 由单摆周期公式T＝2π 可知，重力加速度g＝ 。 2 3 4 5 1 (3)若科学探险队员在珠穆朗玛峰山脚与山顶利 用该装置分别做了实验。在山脚处，他作出了 单摆T2 -l图像如图丁中直线c所示，当他成功攀 登到山顶后，他又重复了在山脚做的实验，则利用山顶实验数据作出的图线可能是图丁中的直线___。 由单摆周期公式T＝2π 可得T2＝ l T2 -l图像的斜率k＝ 珠穆朗玛峰山顶的重力加速度小于山脚的重力加速度，因此在山顶做实验时图像斜率较大，则在山顶做实验作出的图线可能是直线a。 a 返回 2 3 4 5 1 谢 谢 观 看 ！ 第二章　 　机械振动 2 3 4 5 1 可得T2＝l，图像的斜率k＝，则g＝ l0＋ ＝ 则由T＝2π 可得g＝L＝L。 L 由＝2π得g＝。 ，得T2＝＋ 可得T2r＝＋r2 ＋r2 T＝＝ s≈2.0 s ，T2＝2π r＋ ＝ $$