精品解析：辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

大连24中学 2024—2025学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷 命题人：王辉 校对人：赵焱 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，可求出结果. 【详解】由，，得， 解得， 故选：C 2. 已知直线与直线之间的距离为，则（ ） A. 23 B. 23或 C. 17 D. 或17 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：或. 故选：B 3. 已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设向量在基底下的坐标为，然后分别以和为基底表示出向量，根据空间向量相等的条件建立方程组，解之可得答案. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 整理得：， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：B 4. 在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 5. 已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的公切线条数确定两圆相交，由圆心距计算即可. 【详解】由，， 则可得，且两圆的半径分别为， 又两圆只有两条公切线，故该两圆相交， 即，显然， 则，解之得. 故选：A 6. 萤石是非常漂亮的一种矿物，其原石往往呈现正八面体形状.在如图所示的正八面体EABCDF中，EA与平面ABCD所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征和线面角的定义求解即可 【详解】设正八面体的棱长为a， 由题意得四棱锥和均为正四棱锥， 连接AC与EF的交点为正方形的中心， 则平面，即为直线EA与平面ABCD所成的角， 又，， 即，则， 所以， 故选：A 7. N为圆上的一个动点，平面内动点满足且，则动点M运动的区域面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，，即点在以半径为直径的圆上，由此可得动点运动的区域面积为两个弓形，利用扇形面积公式可求得最后结果. 【详解】因为点在圆上，，即， 所以点在以半径为直径的圆上， 所以点在圆内部，又，所以动点运动的区域面积为如图的两个弓形， 易知，则， 所以动点运动的区域面积为. 故选：D. 8. 某工厂生产的一种零件是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体，如图所示.棱PB和平面PAC都与圆柱侧面相切，G是棱PB与圆柱侧面的切点.平面.已知，，圆柱的底面圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为，连接，确定圆柱被平面所截的截面圆为，在截面中求出，再由向量积的定义即可求解. 【详解】设的中点为，连接，过作， 由正三棱锥的性质可知：面， 因为 可判断正三棱锥侧面为等腰直角三角形， 可得：, 设圆柱被平面所截的截面圆为， 在截面中，连接交于点,作垂足为，如图， 因为,所以, 因为圆与都相切，所以是的平分线， 所以, 因为 所以 因为，， ，所以为等腰直角三角形， 所以, 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，其中，则以下命题正确的有（ ） A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l的斜率为 C. 若是直线l上的任意一点，则 D. 当时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可. 【详解】对于A，直线的倾斜角的取值范围为，与角的范围不同，故A错误； 对于B，当或时，，此时直线不存在斜率，故B错误； 对于C，易知原点到直线的距离为， 则无论为何值，直线总与相切，则，故C正确； 对于D，若直线与两坐标轴都相交，则截距分别为，， 则与两坐标轴围成的三角形的面积为，故D正确. 综上所述，DC正确。 故选：CD 10. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M，N分别是线段的中点，Q是线段上的一个动点（含端点D，C），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得异面直线与所成的角的余弦值为 C. 当点Q自D向C处运动时，直线与平面所成的角不变 D. 三棱锥体积的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A；利用异面直线的向量夹角公式计算判断B，利用向量的坐标运算表示线面角的可判断C，连接，结合锥体体积公式，利用等体积法判断D. 【详解】以A为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，，， ，； 对于A，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得， 即点与重合时，，A正确； 对于B，假设存点， 使得异面直线与所成的角余弦值为， 因为，， 所以， 易得时符合题意；所以存在点，B正确；    对于C，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 显然点自向处运动时，的值由到变化，线面夹角的正弦值变化， 所以线面夹角不是定值，故C错误； 对于D，连接，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值； 又点到平面的距离， 所以，D正确； 故选：ABD 11. 已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标满足关系式，若这样的点P恰有三个，则实数t的值可以是（ ） A B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】化简得到，然后利用点到直线的距离公式对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，整理得， 问题可看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等， 又， ①当，此时易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及与直线平行的且距离为2.5的两条直线，符合题意，故A正确； ②当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等， 注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到l的距离为d， （i）作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合，即D正确； （ii）作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，不符合，即C错误； ③当，只有两条直线使得点和到它们的距离相等， 不符合题意； 综上，AD正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：本题关键是化简得到，将问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线 (不过原点)的距离t相等，然后分类讨论即得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二面角，，，，，，，若，，，，则二面角的余弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】过点在平面内作且，连接，证明即二面角的平面角，利用平行四边形和求出相关边长，即可求得答案. 【详解】如图，过点在平面内作且，连接，则得平行四边形， ，，又，则即二面角的平面角， 又，故平面，因平面，则，又，故得. 在中，由，，可得， 在中，，， ， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 13. 已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可. 【详解】 易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点是圆上的一个动点，直线OP与圆M交于另一点Q，过点O作直线OP的一条垂线，与圆交于点E，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线OP的倾斜角为，此时用含的三角函数式进行表示，进而表示出，再利用求出和代入求解即可 【详解】由图可知，点在第一象限， 设直线OP的倾斜角为，则为锐角， 在中，, 所以，由正弦定理可知， 化简得， 所以， 设PQ的中点为B，连接MB，在中，，所以， 在中，，，所以， 而已知， 所以，解得，又为锐角，所以， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，O是AD中点，平面ABCD，E为线段AB上的动点（含端点），若. （1）求平面PAD与平面PEC的夹角的余弦值的取值范围； （2）设四棱锥的外接球球心为M，当E为线段AB中点时，求M到平面PEC的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设点E的坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得平面PAD与平面PEC的夹角的取值范围. （2）先确定球心坐标，然后利用公式求出球心到截面的距离即可 【小问1详解】 因为平面ABCD，底面ABCD为正方形， 所以以O为原点，以过O且与直线CD平行的直线为y轴，建立如图空间直角坐标系. 则， 所以， 设平面的法向量为，则， ， 令，则， 取平面的法向量， 又平面PAD与平面PEC的夹角为， 所以， 因为 ， 所以在单调递减，在单调递增， ，所以， 即， 【小问2详解】 设，则，即， 解得，则，， 此时平面的法向量， M到平面PEC的距离为 16. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点分别为，，，直线l经过点. （1）求的欧拉线方程； （2）已知直线l与的外接圆M相离，点P为直线l上的动点，过点P作圆M的两条切线PR，PS，切点分别为R，S，当四边形的面积的最小值为时，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据点的位置判定形状，根据欧拉线定义计算即可； （2）由直线过定点设其方程，根据直线与圆的位置关系结合对称性确定四边形的面积取最小值时直线的参数即可. 【小问1详解】 易知， 即显然为等腰直角三角形，其外心为斜边中点，垂心为直角顶点， 即其欧拉线过，所以该欧拉线方程为：； 【小问2详解】 易知，外接圆的半径为2，， 根据题意不妨设直线方程为， 四边形的面积， 显然时，而，亦即此时， 即时取最小值， 则M到l的距离为，显然或， 即直线l的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. （1）取的中点N，求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. （3）在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角平面角为?如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】取的中点，连接，则，以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系. （1）计算，利用向量法求证即可； （2）利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角； （3）假设存在点M符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，则，， 所以四边形为矩形，所以， 以A为原点，所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，， 取中点，则，， 所以，故，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，， . 故直线AC与PD所成角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在，且， 则点为，所以， 设平面的法向量是， ， 令，，（易知t=1不合题意） 又是平面的一个法向量， ， 解得(舍去)，则． 此时平面的一个法向量可取，， 设与平面所成的角为， 则， 由知，. 与平面所成角的大小为． 18. 已知圆，点关于直线的对称点为. （1）求的方程； （2）讨论与圆的位置关系； （3）若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）两个点关于直线对称，则线段中点在直线上且两直线垂直，建立方程组，解出答案即可； （2）通过圆的方程解出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得到直线与圆的位置关系； （3）由点到线的距离得出参数的值，从而得到圆的方程，通过内切圆的关系得到半径的范围，由此得出最大值. 【小问1详解】 点关于直线的对称点为，且线段的中点坐标为， 解得 的方程为. 【小问2详解】 圆的方程可变形为， 则圆心的坐标为，且，解得或， 圆的半径. 设圆心到的距离为，则. 若，则，解得， 又或或， 此时与圆相离； 若，则或，此时与圆相切； 若，则或，此时与圆相交. 【小问3详解】 由题可知，解得或（舍去）. 当时，圆，圆心，半径. 由题可知圆的圆心在圆内且两圆内切，记圆的半径为， 由切点在劣弧上，知，. 点在线段上，. 当且仅当圆心与线段的中点重合时，最大，且. 圆的半径的最大值为. 19. 过点作斜率分别为，直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线. （1）已知直线，，试问是否存在点Q，使得直线，是定积直线？请说明理由. （2）若O为坐标原点，点P与点M均在第二象限，且点在二次函数的图象上.若直线OP与直线OM是定积直线，直线OP与直线PM是定积直线，直线OM与直线PM是定积直线，求点P的坐标. （3）已知点，直线m与n是定积直线，若m与x轴交于，n与x轴交于点B，直线将分割成面积相等的两个部分，求b的取值范围. 【答案】（1）存在，，理由见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线交点结合定义即可解决问题； （2）根据两点斜率公式设点P坐标，结合定义计算解方程组即可； （3）根据条件先求得坐标，从而计算直线方程，利用两直线交点的求法结合三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 显然两直线斜率之积是定值， 根据定义可知Q为两直线交点，由，，可得， 即存在Q使得，是定积直线； 【小问2详解】 设， 则可知， 根据题意有， 即， 所以由， 则，即； 【小问3详解】 因为直线m与n是定积直线，m过，，则， 而，易知为等腰直角三角形，即， 三角形ABC的面积为， 由于直线与x轴的交点为， 由直线将分割为面积相等的两部分，可得， 故，故点M在射线OA上． 设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为． ①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故， 把A、N两点的坐标代入直线，求得． ②若点M在点O和点A之间，此时，点N在点B和点C之间， 由题意可得三角形NMB的面积等于， 故，即 ，可得，求得 ， 故有． ③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得． 设直线和AC的交点为P， 则由求得点P的坐标为， 此时由题意可得，的面积等于，即， 即，化简可得． 由于此时，，． 两边开方可得，，化简可得 ， 故有． 综上的取值范围应是 ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连24中学 2024—2025学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷 命题人：王辉 校对人：赵焱 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知直线与直线之间的距离为，则（ ） A. 23 B. 23或 C. 17 D. 或17 3. 已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（ ） A B. C. 1 D. 5. 已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 萤石是非常漂亮的一种矿物，其原石往往呈现正八面体形状.在如图所示的正八面体EABCDF中，EA与平面ABCD所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. N为圆上的一个动点，平面内动点满足且，则动点M运动的区域面积为（ ） A. B. C. D. 8. 某工厂生产的一种零件是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体，如图所示.棱PB和平面PAC都与圆柱侧面相切，G是棱PB与圆柱侧面的切点.平面.已知，，圆柱的底面圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，其中，则以下命题正确的有（ ） A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l斜率为 C. 若是直线l上的任意一点，则 D. 当时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1 10. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M，N分别是线段的中点，Q是线段上的一个动点（含端点D，C），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得异面直线与所成的角的余弦值为 C. 当点Q自D向C处运动时，直线与平面所成的角不变 D. 三棱锥体积的最大值是 11. 已知平面内点P异于原点，且点P的坐标满足关系式，若这样的点P恰有三个，则实数t的值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二面角，，，，，，，若，，，，则二面角的余弦值为__________. 13. 已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为__________. 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点是圆上的一个动点，直线OP与圆M交于另一点Q，过点O作直线OP的一条垂线，与圆交于点E，若，则__________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，O是AD中点，平面ABCD，E为线段AB上的动点（含端点），若. （1）求平面PAD与平面PEC夹角的余弦值的取值范围； （2）设四棱锥的外接球球心为M，当E为线段AB中点时，求M到平面PEC的距离. 16. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点分别为，，，直线l经过点. （1）求的欧拉线方程； （2）已知直线l与的外接圆M相离，点P为直线l上的动点，过点P作圆M的两条切线PR，PS，切点分别为R，S，当四边形的面积的最小值为时，求直线l的方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. （1）取的中点N，求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. （3）在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为?如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由. 18. 已知圆，点关于直线的对称点为. （1）求的方程； （2）讨论与圆的位置关系； （3）若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值. 19. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线. （1）已知直线，，试问是否存在点Q，使得直线，是定积直线？请说明理由. （2）若O为坐标原点，点P与点M均在第二象限，且点在二次函数图象上.若直线OP与直线OM是定积直线，直线OP与直线PM是定积直线，直线OM与直线PM是定积直线，求点P的坐标. （3）已知点，直线m与n是定积直线，若m与x轴交于，n与x轴交于点B，直线将分割成面积相等的两个部分，求b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $