3.1.2 椭圆的几何性质（教学设计）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一上册）

3.1.2 椭圆的几何性质教学目标 1. 掌握椭圆的性质，会求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标； 2. 能根据椭圆的几何性质，对椭圆方程进行讨论，会画椭圆的图形过程与方法. 教学重点：根据条件求椭圆的标准方程.教学重难点 教学难点：圆的离心率对图像的影响．教材分析 本节课是通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质，是本单元的重点内容之一，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同进也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫. 教学工具 教学课件 （一）情境导入教学过程 (x-a)2+(y-b)2=r2. 方程称为以C(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程. 在基础模块，我们利用圆的标准方程得到了圆的性质，是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？ 【设计意图】复习知识并为今天的学习内容做铺垫. （二）探索新知 下面以 + =1 (a>b>0)为例，探究椭圆的几何性质． 1.范围 从椭圆的标准方程可知， 1- = ≥0，因此1，从而可得， -axa． 同理可得， 1，于是有 -byb． 这说明，椭圆位于四条直线x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形框内，如图所示． 2.对称性 在椭圆的标准方程中，将y换成-y，方程不变．这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于x轴的对称点 P1(x,-y)也在椭圆上．因此,椭圆关于x轴对称． 同理，将x换成-x，方程不变.这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上．因此，椭圆关于y轴对称．  进一步，将x换成-x，同时y换成-y，方程不变．这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上．因此，椭圆关于原点对称． 综上所述，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，也关于坐标原点对称． x轴与y轴都称为椭圆的对称轴，坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心) ． 3.顶点 在椭圆的标准方程 + =1中，令y = 0，得x =±a，这说明椭圆与x轴有两个交点A1(-a,0)和A2(a,0)．同理，令x = 0，得y =±b. 这说明椭圆与y轴有两个交点B1(0,-b)和B2(0,b)，如图所示． 椭圆与它的对称轴的四个交点A1、 A2、 B1、B2，称为椭圆的顶点．线段A1A2和B1B2分别称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长．显然，椭圆的焦点在它的长轴上． 值得注意的是，由于a、b、c满足关系式b²+c²=a²，故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形．观察上图，可知 |OB1|=|OB2|=b，|OF1|=|OF2|=c，|B2F1|=|B2F2|=a， 故有 |OB2|²+|OF2|²=|B2F2|² ． 因此，Rt△F2OB2(或Rt△ F1OB1)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系． 4.离心率 把椭圆的焦距与长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e．即 e= ． 因为a>c>0，所以0<e<1．容易看出，e越接近于1，c越接近于a，从而b=越小，椭圆就越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，椭圆就越接近于圆．因此，离心率e的大小反映了椭圆的扁平程度． 同样，可以得到椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴及离心率等基本性质． 同样，可以得到椭圆）的范围、对称性、顶点、长轴、短轴及离心率等基本性质. 为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？ 可以降低分散液体对罐壁的压力，在装载相同体积下，同强度，椭圆型设计上可以缩小壁厚，减少材料。同时，也提高行车平衡能力，而且也便于清洗。如果是方型，就没办法把低下的油放干净，而且行车时油对壁的冲击很大. 【设计意图】借助信息技术手段突破难点，也更加直观.. （三）典例剖析 例1. 求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率，焦点和顶点的坐标． 解：将原方程化为标准方程，得 + =1 ． 容易看出，椭圆的焦点在x轴，并且a=5，b=4，所以 c= ==3 ． 从而，椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8，离心率e= = ， 焦点坐标分别为(-3,0)、(3,0)，顶点坐标分别为(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)． 例2. 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）经过点M(4,0)、N(0,-3)； （2）短轴长为6，离心率为． 解：（1）因为椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以，点M、N就是椭圆的顶点,并且长半轴长a=4,短半轴长b=3 ． 由于椭圆的长轴在x轴上，故其焦点在x轴上．于是，所求椭圆的标准方程为 + =1 ． （2）因为2b=6，所以b=3 ．由e= = = 可得a²=25 ． 若椭圆的焦点在x轴上，则所求椭圆的标准方程为 + =1 ； 若椭圆的焦点在x轴上，则所求椭圆的标准方程为 + =1 ． 求椭圆的标准方程时,如果椭圆的交点位置不明确,应分别就焦点在x轴和y 轴上两种情形进行讨论． 例3. 用“描点法”画出椭圆 + =1的图形． 分析 由于椭圆具有对称性，一般只需先画出椭圆在第一象限内的图形,然后利用对称性，画出全部图形． 解 当y≥0时,椭圆的方程可以变形为y= 在[0,5]内，选取几个整数作为x的值，计算出对应的y值，列表． 以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点，得到椭圆在第一象限内的图形．然后利用椭圆的对称性，画出全部图形． 我们可以利用椭圆的顶点和对称性画出大致图像．具体步骤如下： （1）由a²=25，得a=5，则得到椭圆的两个顶点A1(-5,0)、 A2(5,0)； （2）由b²=9，得b=3，则得到椭圆的另外两个顶点B1(0,-3)、B2(0,3) ；   （3）依据椭圆的图形特征，用光滑的曲线连接四个点，则椭圆的大致图像就画好了． 【设计意图】例1让学生掌握椭圆的性质，例2是求椭圆的标准方程，例3掌握描点法画图. （四）巩固练习 1.求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解：　把已知方程化成标准方程＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝， 两个焦点坐标分别是(－，0)、(，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)、(4,0)、(0，－3)、(0,3)． 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)一个焦点坐标为，短轴长为2； (3)离心率为，短轴长为4． 解：（1）∵椭圆的焦点在轴上， ∴设椭圆的方程为， 长轴长为4，焦距为2，，∴a＝2，c＝1， ，椭圆的方程为； 解：（2）焦点坐标为，短轴长为2， ∴设椭圆的方程为， ，， 椭圆的方程为； 解：（3）由题意有：，解得， 椭圆的方程为或. 3．如图，求直线与椭圆的公共点坐标． 解：联立直线l与椭圆C的方程， 得到，即， 解得， 当时，，当时，， 所以直线l与椭圆C的公共点的坐标为． 4. 飞船的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点A距地面200千米，远地点B距地面350千米，已知地球半径千米, 求飞船飞行的椭圆轨道方程. 解：设椭圆的方程为由题设条件得： 解得， 所以， 所以椭圆的方程为 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. （五）归纳总结 【设计意图】培养学生反思学习过程的能力 （六）布置作业 练习3.1.1；习题3.1-A组2,3，6题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$