1.5.1全称量词与存在量词课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.1 全称量词与存在量词 1.理解全称量词、存在的定义，全称量词命题、存在量词命题的定义. 2.会用数学符号语言描述全称量词命题与存在量词命题.（重点） 3.掌握全称量词命题与存在量词命题真假的判断.（重点、难点） 2 通过前面的学习，我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.但有时我们也会遇到一些含有变量的陈述句，如 ，由于不知道 x 代表什么数，无法判断真假，因此它不是命题. 但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为命题，我们把这样的短语称为量词.本节我们就来学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定. 思考1.下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)； (2)是整数； (3)对所有的，； (4)对任意一个，是整数. 全称量词 语句(1)(2)中含有变量 x，由于不知道变量 x 代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题． (3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定，使(3)变成了可以判断真假的语句; (4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定，使(4)变成了可以判断真假的语句. (1)与(3)区别是对所有的，； (2)与(4)区别是对任意一个，是整数. 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词，并用符号“ ”表示 含有全称量词的命题， 叫做全称量词命题. 常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” 等 Administrator (A) - 它们的区别就是(3)和(4)添加了限定词，像所有的，任意一个，这样的限定词，在逻辑学中我们称之为全称量词 全称量词命题举例： 全称量词命题符号记法： 命题：对任意的，是奇数； 所有的正方形都是矩形. 全称量词命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 ”可用符号简记为： 读作“对任意 x 属于 M，有 p(x)成立”. 例1 判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2) ； (3)对每一个无理数 x，x2也是无理数. 解：(1)2是素数，但2不是奇数，所以为假命题. (2)真命题. (3) 是无理数，但 是有理数.所以为假命题. 判断全称量词命题真假 若判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x,使得P(x)不成立即可. 若判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立; 1.判断下列全称量词命题的真假： (1)四边形的内角和都是360°； (2)任何实数都有算术平方根； (3) 是有理数}， 是有理数. 解：(1)真命题； (2)-4没有算术平方根，所以为假命题； (3)真命题. 存在量词 思考2.下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1) ； (2) x 能被2和3整除； (3)存在一个，使； (4)至少有一个 ，x能被2和3整除. 容易判断，语句(1)(2)不是命题． (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句; (4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. 常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示. (1)与(3)区别是存在一个，使； (2)与(4)区别是至少有一个， 能被2和3整除. 含有存在量词的命题， 叫做存在量词命题. 存在量词命题举例： 存在量词命题符号记法： 命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数. 存在量词命题“存在 M 中的一个 x，使p(x)成立 ”可用符号简记为： 读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”. 解：(1)对于，恒成立，所以无解，所以为假命题. (2)由于垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的，因此不存在两个相交直线垂直于同一条直线，所以为假命题. (3)真命题. 例2 判断下列存在量词命题的真假： (1) ； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 判断存在量词命题真假 要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使 p(x)成立即可. 如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,（即集合M中所有的元素x，都使得p(x)不成立），那么这个存在量词命题是假命题. 2.判断下列存在量词命题的真假： (1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2)至少有一个整数n，使得 为奇数； (3) 是无理数}， 是无理数. 解：(1)真命题； (2)假命题； (3)真命题. 1.将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)实数的平方是非负数； (2)方程至少存在一个负根. 2．下列命题中是存在量词命题的是(　 　) A． B． C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 B 3．下列全称量词命题中真命题的个数为(　　) ①末位是0的整数，可以被2整除． ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ③平行四边形的对角线互相垂直． A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．0 B 4.(1)已知命题“任意，”为真命题，求实数 m 的取值范围； (2)已知命题“存在，”为真命题，求实数 m 的取值范围． 全称量词命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”, 符号简记为： x∈M，p(x), 读作：对任意 x 属于M，有 p(x)成立, 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 存在量词命题“存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立”， 符号简记为： x∈M，p(x), 读作：“存在一个 x 属于 M，使 p(x)成立” 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. $$