第2章二次函数 优生辅导练习题 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》优生辅导练习题（附答案） 一、单选题 1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．图象与轴没有交点 D．顶点坐标为 2．已知，是二次函数图象上的点．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 3．以初速度竖直上抛的物体的高度和时间满足关系式（为重力加速度，），爆竹在地面点燃后以初速度米/秒上升，经过（   ）秒爆竹离地面米? A． B． C． D．或 4．如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知正数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，若a，b为菱形对角线的长，菱形的面积存在最大值，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．不存在 D．任何实数 8．如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点D、E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形AECD为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．若函数的图象经过点，则 ，抛物线的开口方向是 ，顶点坐标 ，它的对称轴是 ． 10．若二次函数的图象与x轴交于，则的值是 ． 11．已知抛物线，P为x轴上方抛物线上一点．若点P到对称轴的距离与点P到x轴的距离相等，则点P的坐标为 ． 12．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是 ．    13．如图，某工厂有一块形如四边形的铁皮，其中，，，．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮（阴影部分）备用，点分别在上，设矩形铁皮的边，矩形的面积为，要使矩形面积的最大．则的取值为 ． 14．如图，已知二次函数的图象经过，两点，设二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接，，则的面积为 ． 15．已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是 ． 16．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④不等式的解集为，，其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点； (2)若该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且的面积为9，求m的值． 18．如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为秒， (1)为何值时的面积为？ (2)为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 19．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴为直线，D为上方抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 21． 某网络经销商购进了一批以亚运会为主题的文化衫进行销售， 文化衫进价为 40元/件． 当售价为50元/件时， 销售量为500件． 在销售过程中发现： 售价每上涨1元销售量就减少10件． 设销售单价为元/件， 销售量为件． （1） 写出与的函数表达式 （不要求写出自变量的取值范围）． （2） 当销售单价为多少元时， 销售总利润为8000元? （3） 若每件文化衫的利润不超过， 要想获得总利润最大， 每件文化衫售价为多少元? 并求出最大利润． 22．如图，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，，求证：； (3)点在抛物线上，当时，求点的坐标． 23．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C D B B C 1．解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故A选项和D选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点坐标为， ∴图象与轴有交点，故C选项符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故B选项不符合题意． 故选：C． 2．解：∵二次函数， ∴对称轴为，图象开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越小函数值越小， ∵点，在上，且， ∴， 即， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，此时， ∴， 故选：A． 3．解：把已知数据代入得，， 整理得，， 解得，， 故选：． 4．解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 5．解：A、由图象可知，抛物线开口向下，则正确，不符合题意； B、由图象可知，抛物线与轴交于正半轴上，则正确，不符合题意； C、由图象可知，抛物线对称轴在轴右侧，则，再结合，可知正确，不符合题意； D、由图象可知，抛物线对称轴在左侧，则，再结合，可知，即，则错误，符合题意； 故选：D． 6．解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的一个交点坐标为， 即或时，函数值， ∴关于的方程的解为，， 故选：． 7．解：∵正数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵a，b为菱形对角线的长， ∴菱形的面积为：， ∴当时，有最大值； 故选B． 8．解：①∵， ∴， ∴， ∴无论x取何值，总是负数；故①正确； ②向右平移3个单位，再向下平移3个单位后的解析式为， ∴可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到，故②正确； ③∵， ∴随着x的增大，的值减小；故③错误； ④设与交于点， ∵当时，， 解得：或， ∴点， 当时，， 解得：或， ∴点， ∴，， 当时，， ， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形．故④正确． 综上所述：正确的是①②④．共3个； 故选：C． 9．解：将点代入可得：，解得：， ∴函数解析式为， ∴抛物线的开口方向是向上，顶点坐标为，它的对称轴是直线． 故答案为：1，向上，，直线． 10．解：根据题意，将代入得：， 则， ， 故答案为：2029． 11．解：设点， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 则， 当时，， 解得，（舍去）， ； 当时，， 解得，（舍去）， ； 终上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 12．解：由题意，得 ， 解得（舍去）， 又∵， ∴， 故答案为：． 13．解：过点作于点，交于点，则，，， ∴，， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大，最大值为． 故答案为：15． 14．解：分别把点，代入得，， 解得， 二次函数的解析式为， 二次函数的对称轴为直线， 点C的坐标为， ，， 的面积为． 故答案为：6． 15．解：把代入，则， 解得：， 二次函数解析式为：， 令，则， 故， ∵抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 16．解：由抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，抛物线与轴交点为可得，，， ，①正确． 抛物线与轴有2个不同交点， ，②错误． 抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线经过， ， ， ，③正确． 由整理得， ， ， ， ， 抛物线开口向下，与轴交点坐标为，， 时，， 即不等式的解集为，④错误． 故答案为：①③． 17．（1）解：令，则， ∵， ∴无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点； （2）解：解方程，得，， 令，则， ∵该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C， ∴， ∵的面积为9， ∴，即， 解得． 18．解：（1）根据题意得：，， ， 解得：或4， ，， ． 或4都符合题意， 即当秒或4秒时，的面积是； （2）由（1）可知， ，， 当为3时的面积最大，最大面积是． 19．（1）解：∵，抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； （2）解：存在点，使得，理由如下： ∵抛物线的解析式为：，令，得，令，得，， ∴点，点， ∴， 如图：过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：，   ∴直线的解析式为：， 设，则，则， ， ∵点D是上方抛物线上的一个动点， ， ，， ， ， ， 整理得：， 解得，(不合题意，舍去) ， ∴点D的坐标为． 20．（1）解：∵二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴的根为，； （2）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，且二次函数的图象的顶点 C 的坐标为， ∴方程有实数根， 则； （4）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴当 时，则 21．解：（1）设销售单价为元/件，上涨了元，此时销售量下降了件 则销售量 故答案为 （2）由题意可得： 化简得： 解得， 答：当销售单价为或元时， 销售总利润为8000元 （3）设总利润为元，则由题意可得：，解得 ∵，开口向下，对称轴， ∴时，随的增大而增大 又∵ ∴当时，最大，为元 答：售价为元时，利润最大，为元 22．（1）解：把和代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， （2）解：如图， ∵， ∴ 点的坐标为， 令，则，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵， 即，，， ∴， ∴； （3）解：如图，当点F在下方时，设与交于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵ 则 ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组 得或， ∵， ∴点的坐标为； 当点F在上方时，如图， 则直线， 设直线的解析式为， 代入和得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组 得或， ∵ ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 23．（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则，， 将，代入抛物线解析式可得： ， 解得， 即； （2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，∴当时，有最小值，最小值为3； 此时点E的坐标为； （3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即， 当为边时，点到点的水平距离是4， ∴点到点的水平距离也是4， ∴点的横坐标是5或， 代入抛物线解析式可得，，， 即点的坐标为或， 当为对角线时，点到点的水平距离是3， ∴点到点的水平距离也是4， ∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去）， 则，即点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$