福建省厦门市第十一中学2024-2025学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

2024-2025学年第一学期厦门市第十一中学九年级数学期中检测卷 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，均在上，，则的度数（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 6. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 7. 某校开展课外阅读活动，经过两年，2021级的学生人均阅读量从七年级的每年36万字增长到九年级时的每年49万字，设2021级的学生人均阅读量年平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的半径是，点到同一平面内直线的距离为一元二次方程的根，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 9. 如图，二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 二次函数的图象的对称轴是直线________． 12. 若的半径为2，M为平面内一点，，则点M在_________．（填“上”、“内部”或“外部”） 13. 已知是方程的解，则m的值为____________． 14. 我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图2所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：________________． 15. 如图，在和中，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是______． 16. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 19. 先化简、再求值：，其中． 20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月来进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率． 21. 按照下列要求作出图形（不写作法，保留作图痕迹）． （1）尺规作图：将图1中的破轮子复原 （2）如图2，矩形的顶点在圆上，顶点，，在圆内，请仅用无刻度的直尺画出图2中的圆心． 22. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 24. 在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：； （2）当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形． ②猜想的大小，并证明． 25. 【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 2024-2025学年第一学期厦门市第十一中学九年级数学期中检测卷 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（每小题4分，共24分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】外部 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合 【15题答案】 【答案】或 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（共86分） 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】 证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【19题答案】 【答案】， 【20题答案】 【答案】 【21题答案】 【答案】（1） 解：图1中的破轮子复原后图形如图： （2） 解：圆心O如图： 【22题答案】 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【23题答案】 【答案】（1） （2） 【24题答案】 【答案】（1） 证明：，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形． ， ， 则； （2） 选择图2：①补全图形如图所示： ②猜想． 如图，过点作于点，连接， 则， ，， ，， ， 为线段中点， ， ． 由（1）可知是等边三角形， ，， ， 在利中， ， ． 【25题答案】 【答案】（1）； （2）不能，理由： 对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）；当取得最小值时； （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $