精品解析：甘肃省嘉峪关市第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年高一数学上学期期中 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章. 5.难度系数：0.55. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的非空子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知：，：，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 6. 记实数的最小数为若则函数的最大值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 5 7. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数为偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 10. 集合有且仅有两个子集，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 11. 是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. C. 的最大值为4 D. 的解集为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题：，，则命题的否定为______. 13. 若函数，且，则实数a的值为_________. 14. 函数在区间的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值； （2）若集合A中含有两个元素，求实数a的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）用定义证明在上为增函数. 17. 设函数.已知关于x的不等式的解集为 （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在区间内有解，求实数m的取值范围. 18. 定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． （1）求、； （2）试判断函数的单调性： （3）如果，试求的取值范围． 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一数学上学期期中 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章. 5.难度系数：0.55. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的非空子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先依次求出集合和，再由子集公式结合非空子集定义即可得解. 【详解】因为， 又，所以， 所以的元素个数为3，其非空子集有个. 故选：A. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，即， 解得或，则不等式的解集为或. 故选：B. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由函数的定义为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同， 所以两个函数是同一函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误. 故选：C. 4. 已知：，：，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将的充分不必要条件是转化为两集合的真包含关系，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 5. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D 6. 记实数的最小数为若则函数的最大值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故选：B． 7. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各段函数的单调性和分段点处的高低可得关于的不等式组，故可得其取值范围. 【详解】因为在上单调递减，故， 故. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数为偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，确定时的单调性，利用单调性求出时的解，从而得出时，的解，然后结合已知，利用偶函数性质得结论． 【详解】设， ，，， 即，所以在上是减函数， ，， 时，， 又是偶函数，所以时，的解为， 又因为，所以的解集为， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式. 【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 10. 集合有且仅有两个子集，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意集合有且仅有一个元素，分和两种情况讨论，当时，分别计算可得. 【详解】集合表示关于的方程的解集， 又集合有且仅有两个子集，所以集合有且仅有一个元素， 当，即时，由，解得，即，符合题意； 当，即时，则，解得，此时，符合题意； 综上可得，或. 故选：AD 11. 是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. C. 的最大值为4 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由两个单调区间不能合并判断；B.由是定义在R上的偶函数和二次函数的性质判断；C.由时，结合是偶函数判断；D.利用函数图象判断. 【详解】A.两个单调区间中间要用和分开，故A错误； B. 因为是定义在R上的偶函数，所以， 又在上单调递减，则，故B错误； C.当时，，最大值为4， 又因为是偶函数，所以的最大值为4，故C正确； D. 如图所示：的解集为，故D错误． 故选：ABD． 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题：，，则命题的否定为______. 【答案】，， 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题：，的否定为，. 故答案为：， 13. 若函数，且，则实数a的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数解析式，进而求解结论. 【详解】函数，又的值域为， ， ，可得，解得. 故答案为：. 14. 函数在区间的最大值为______. 【答案】##3.5 【解析】 【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值； （2）若集合A中含有两个元素，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）且． 【解析】 【分析】（1）分和两种情况求解， （2）根据题意可得，且，从而可求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 当时，，符合题意； 当时，，得． 综上，或． 【小问2详解】 集合A中含有两个元素，即关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且，解得且， 所以实数a的取值范围为且． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）用定义证明在上为增函数. 【答案】（1） （2） 设， 则 ， 因为，所以，，，则， 故，所以，即， 所以在上为增函数. 【解析】 【分析】（1）依据奇函数性质得和，由结合条件时求出时的解析式即可得解. （2）根据判断函数单调性的定义法步骤先取值，接着作差并变形判断差值正负即可下结论得解. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 又当时， 所以当时，，， 所以当时，， 故. 【小问2详解】 略 17. 设函数.已知关于x的不等式的解集为 （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在区间内有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据的解集是，由和1是方程的两个根求解. （2）将问题转化在区间内有解求解. 【详解】（1）因为的解集是， 所以和1是方程的两个根. 由韦达定理可得， ∴. （2）因为关于x的方程在区间内有解， 所以在区间内有解， 令，函数在上递减，在上递增， 又， 所以. 18. 定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． （1）求、； （2）试判断函数的单调性： （3）如果，试求的取值范围． 【答案】（1）；； （2）在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可求； （2）由已知可得，设；可得，结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【小问1详解】 取得，； ；； 【小问2详解】 令，可得， 设，则，所以，即， 在上单调递增； 【小问3详解】 根据满足的条件②及，由得，； 根据为增函数得：； 再由的定义域，便得到不等式组； 解得，的取值范围为． 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】（1）①是在上的“美好函数”；②不是在上的“美好函数”；③不是在上的“美好函数”. （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）直接利用“美好函数”定义判断即可； （2）①先提公因式，判断的范围，然后再讨论的范围，计算即可；②先讨论最大值和最小值，后建立等式计算即可. 【小问1详解】 ①因为，所以，所以，， 得，故是在上的“美好函数”； ②因为，所以，所以，， 得，故不是在上的“美好函数”； ③因为，所以，所以，， 得，故不是在上的“美好函数” 【小问2详解】 ①由题得， 当，可知 所以，当时，，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 当时，，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 故 ②由题可知此时，函数，可知此时，函数的对称轴为且开口向上； 当时，此时函数在上单调递减，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有，解得； 当时，此时函数在上单调递减，在单调递增，所以当时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 令，解得或 所以此时（舍去），（舍去） 当时，此时函数在上单调递增，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有，解得； 综上所述：或 【点睛】关键点点睛：函数新概念题型，需要去分析新概念的定义与性质等，然后结合新概念性质与已学知识相结合解答即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $