精品解析：广西南宁市第二中学2024-2025学年高二上学期11月段考考试数学试卷

广西南宁市第二中学2024-2025学年高二上学期11月段考考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足点在直线上，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入直线方程可得通项，即可求解. 【详解】点在直线上，所以， 故， 故选：A 2. 平行线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式计算． 【详解】由已知所求距离为. 故选：A． 3. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列下标和的性质求得，进而可得的值. 【详解】由已知，， 所以，故． 故选：D 4. 已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可. 【详解】设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B 5. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ） A. 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系, 则，，圆方程， 直线方程：，即， 设到距离为，则， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 设监测时间为，则（小时）， 外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时. 故选：C. 6. 如图，椭圆与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，利用两点的坐标求出直线BA、PO的斜率、，根据可得，化简计算即可. 【详解】由题意知，，则点， 所以直线BA的斜率为，直线PO的斜率为， 由，得，所以，即， 又，所以，所以焦距为. 故选：D 7. 已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线方程得出,再根据焦点得出,结合,可求出双曲线的标准方程,然后根据点斜式得出直线方程,联立方程组求出，,最后由弦长公式即可求出截得的弦长. 【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程是， ∴，即，∵左焦点，∴ ∴，∴，， ∴双曲线方程为，直线的方程为， 设，由， 消可得，∴，， ∴． 故选:C 【点睛】本题考查了双曲线方程的求解过程,考查了直线截得曲线的弦长的求解,属于中档题. 8. 已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的离心率，得，，求得直线的方程，与椭圆方程联立，求得点坐标，由解方程可得c，再由椭圆的定义，可得. 【详解】由椭圆的离心率，得，， 由，，，可得， 直线的斜率为，方程为， 椭圆方程，即， 联立直线和椭圆方程，可得，由，解得， 则，即 由，解得， . 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且垂直于直线的直线方程为 B. 过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C. 曲线过点的最短弦长为； D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程判断；B注意截距不为0的情况；C判断已知点为抛物线的焦点，结合通项性质求最短弦长；D根据给定直线和曲线的形状，数形结合求参数范围. 【详解】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为， 即，对； B：若截距不为0时，令直线为，则， 此时直线方程为，错； C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对； D：由过定点，是圆上半部分，如下图， 当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得， 当动直线过半圆左侧端点时，即， 结合图知，，D错. 故选：AC 10. 设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 的最大值为5 D. 以线段MF为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD 11. 已知，定义方程表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记表示“方圆系”曲线所围成的面积，则（ ） A. “方圆系”曲线所围成的面积为1 B. C. 是单调递增的数列 D. “方圆系”曲线上任意一点到原点的最大距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：根据曲线方程表示的是单位圆作出判断；B：根据曲线方程中的取值范围判断出的范围；C：分析与对应的的关系即可作出判断；D：先得到曲线方程，然后利用三角换元求解出的最大值，则最大值可知. 【详解】A：对应曲线方程为，为单位圆，所以面积为，故错误； B：当时，对应曲线方程为，则， 且不同时取，所以，故正确； C：对应的曲线方程为， 令，则，， 对应的曲线方程为， 令，则，， 又因为，所以，且等号不能同时取到， 所以，所以是单调递增的数列，故正确； D：对应曲线方程为，设曲线上任意一点， 所以，令， 则， 所以，当且仅当时取等号，故正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是的计算与单调性分析，分析时，需从方程中的范围入手，对比对应正方形面积；另一方面是D选项中利用三角换元的方法求解距离最值，将距离表示为三角函数形式，利用三角函数的有界性完成求解. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上. 12. 已知圆，圆，则两圆公切线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 13. 已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列定义得，结合关系求通项公式. 【详解】由题设，数列的首项为，故， 由，即. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据正弦定理结合双曲线定义求得，然后根据相切对应的垂直关系结合勾股定理得到关于的方程，则离心率可求. 【详解】由正弦定理可知且， 又因为，可解得， 又因为，所以为的中点，所以， 又因为以为圆心的圆与的延长线相切于点，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前n项和及下标和性质得，进而写通项公式； （2）由，结合的公差，分组求和即可得结果. 【小问1详解】 由题设，而， 所以，的公差，故其通项公式为. 【小问2详解】 由，则 . 16. 已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直. （1）求点的轨迹方程； （2）设位于第一象限，以OC为直径的圆与轴相交于点，且，求的值. 【答案】（1）且； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用及向量数量积的坐标表示求轨迹方程； （2）根据题设有轴，即，且求出坐标，进而求. 【小问1详解】 由题意，设，则， 由，即且. 【小问2详解】 由题意，易知，即轴， 又，则，故， 又位于第一象限，则， 所以，故， 则. 17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 （1）求角的大小； （2）若，求外接圆的面积的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及差角正弦公式得到，结合三角形内角性质求得，即可得的大小； （2）由，再应用余弦定理、基本不等式求最小值，即可得结果. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系，有， 所以， 即，则， 由且，则或（舍）， 所以，即. 【小问2详解】 由外接圆半径，要使外接圆的面积最小，只需最小， 而， 当且仅当时取等号，此时，则， 所以外接圆的面积的最小值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【答案】（1）证明：在中，． 所以，即； 又因为， 在平面中，面，面，， 所以平面； （2） （3）不存在，理由如下： 设是线段上一点，则存在使得， 因为， 所以， 因为平面， 所以平面当且仅当， 即， 即，解得， 因为，所以线段上不存在使得平面． 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明即可. （2）向量法求解平面与平面夹角的余弦值即可. （3）设是线段上一点，则存在使得，利用线面平行的向量证法证明线面平行即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面，所以， 由（1）已证，且已知， 故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 所以，， ， 因为为中点， 所以， 由知， ， 设平面的法向量为， 则即，令，则， 于是， 又因为由（1）已证平面， 所以平面的法向量为， 所以， 平面与平面夹角的余弦值； 【小问3详解】 线段上不存在使得平面，理由略. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，，周长为. （1）求椭圆的方程； （2）设不经过点A的直线与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标； （3）记第（2）问所求的定点为E，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由. 【答案】（1）； （2）证明:设，，联立椭圆， 则，整理得， 显然，则，， 又， 所以，则， 又，整理得， 则， 所以直线过定点，得证； （3）时，为0个；时，为1个； 时，为2个；时，为3个； 时，为4个； 【解析】 【分析】（1）由题意列关于的方程组，从而得到椭圆方程； （2）设直线方程，联立方程得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及，进而确定直线所过的定点. （3）设直线与椭圆相切得，两切线到的距离分别为，根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数. 【小问1详解】 由，则，所以， 由周长为，所以， 综上，可得，即椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，，且，则， 设直线，与椭圆相切，联立有， 整理得，则，可得， 所以两切线到的距离分别为， 当，则， 当，则， 所以时，为0个；时，为1个； 时，为2个；时，为3个； 时，为4个； 【点睛】关键点点睛：通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西南宁市第二中学2024-2025学年高二上学期11月段考考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足点在直线上，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 平行线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5 3. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ） A. 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时 6. 如图，椭圆与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ） A. B. C. 10 D. 8. 已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且垂直于直线的直线方程为 B. 过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C. 曲线过点的最短弦长为； D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 10. 设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 的最大值为5 D. 以线段MF为直径的圆与轴相切 11. 已知，定义方程表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记表示“方圆系”曲线所围成的面积，则（ ） A. “方圆系”曲线所围成的面积为1 B. C. 是单调递增的数列 D. “方圆系”曲线上任意一点到原点的最大距离为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上. 12. 已知圆，圆，则两圆公切线的方程为______. 13. 已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共6小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求 16. 已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直. （1）求点的轨迹方程； （2）设位于第一象限，以OC为直径的圆与轴相交于点，且，求的值. 17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 （1）求角的大小； （2）若，求外接圆的面积的最小值. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，，周长为. （1）求椭圆的方程； （2）设不经过点A的直线与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标； （3）记第（2）问所求的定点为E，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $