精品解析：北京市北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中练习数学试题

2024—2025学年度第一学期高二年级数学期中练习 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线的一般式得到其斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线可化为， 则其斜率为，设其倾斜角为， 则，所以. 故选：B. 2. 正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（ ） A. B. a C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，它们交于点，证明平面，得的长即为棱到面的距离， 【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 所以的长即为棱到面的距离，而， 所以所求距离为． 故选：C． 3. 如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过所给平行六面体，并结合相等向量、向量的加减运算，即可求解. 【详解】由题中所给平行六面体可知，，， 故． 故选：B 4. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 5. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可. 【详解】A，若，则或异面，故该选项错误； B，若，则或相交，故该选项错误； C，若，则α，β不一定垂直，故该选项错误； D，若，则利用面面垂直的性质可得，故该选项正确. 故选：D. 6. 如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该组合体可视作一个正方体和个球体的组合体，进而求出体积. 【详解】由题意，该组合体是一个正方体和个球体的组合体，其体积为. 故选：A. 7. 已知直线，，则“”是“直线与相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果. 【详解】由题意可得直线与相交， 则 当时，满足，即“”是“直线与相交”的充分条件； 当直线与相交时，不一定有，比如也满足，所以“”是“直线与相交”的充分不必要条件. 故选:A. 8. 已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件作图并求出直线的定点，然后分别求出直线和直线的斜率，结合图像求解即可. 【详解】由直线：可知直线必过定点，且直线的斜率为，如下图所示： 由斜率公式可知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 若与线段相交，只需要或， 故实数a的取值范围是或. 故选：D. 9. 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像计算直线过时和相切时的斜率，计算得到答案. 【详解】如图所示： ∵曲线，直线， ∴，，， 圆心，直线过定点， 直线过时，有两个交点，此时，， 直线与下半圆相切时，，， ∴. 故答案选D． 【点睛】本题考查了直线的半圆的交点问题，忽略掉的取值范围是容易犯的错误. 10. 设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.若点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设，则，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知， 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题,在新环境下研究“旧”性，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分. 11. 两平行直线：与：之间的距离是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】借助两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 12. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故和BN的夹角的余弦值为. 故答案为： 13. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 14. 已知直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当三角形面积取最小值时直线的斜率为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设出直线的截距式方程，由基本不等式得到三角形面积取最小值时的直线方程，从而得到直线的斜率. 【详解】设，，其中，设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为16，此时的面积取最小值8， 直线的斜率为. 故答案为：. 15. 如图，在正方体中，P为的中点，，，则下列说法正确的________（请把正确的序号写在横线上） ① ②当时，平面 ③当时，PQ与CD所成角的余弦值为 ④当时，平面 【答案】①②③ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对A，验证两向量的数量积是否为0；对B，证明与平行即可得；对C，借助向量求出夹角的余弦值即可得；对D，证明与不垂直即可得. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则， 所以，， 所以，所以，①正确； 当时，，所以， 又平面，平面， 从而平面，②正确； 当时，，， 所以与所成角的余弦值为，③正确； 当时，，， ， 所以不垂直于，所以不垂直于平面，④错误． 故答案为：①②③. 三、解答题，共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知的顶点，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线垂直的性质求得高的斜率，再利用直线的点斜式即可得解； （2）利用中位坐标公式求得点的坐标，再利用直线的两点式即可得解； （3）利用直线的两点式求得直线的方程，再利用点线距离公式与两点距离公式即可得解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以， 则边上的高所在直线的方程为，即； 【小问2详解】 由题意可知是的中点，所以， 从而边上的中线所在直线的方程为，即； 【小问3详解】 由题意知，边所在直线的方程为，即， 所以点A到直线的距离， 又， 所以的面积为. 17. 已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥. （1）求证：平面平面； （2）棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，， 所以折起后，，， 由于折起前有，且折起后， 所以折起后有，即， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据折叠前后的几何性质可得，结合线线垂直可得，根据面面垂直判定定理即可证得结论； （2）以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算，设，分别求平面与平面的法向量，根据面面夹角余弦值公式列方程求解即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，理由如下： 由（1）知，，， 所以以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，， 假设存在满足题意的点，设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，即， 易知平面的一个法向量为， 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以， 整理得 解得或（舍）， 所以在棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，且. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求： （i）直线与平面所成角的正弦值； （ii）点到平面的距离． 条件①：二面角的大小为； 条件②： 条件③：． 【答案】（1） 连接，交于，连接， 底面是正方形，故是的中点， 又因为为棱的中点， 所以，在中， 而平面平面， 所以平面． （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）连接，交于，连接，由证明平面； （2）选择①②或①③或②③或①②③都能得到平面，建立空间直角坐标系，求出法向量，求解与平面所成角的正弦值，计算点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选①②： 因为四边形是正方形， 所以， 又因为，所以， 因为二面角的大小为，平面平面，所以， 在中，， 所以， 故， 又因为平面， 所以平面， 选①③： 因为四边形是正方形， 所以， 又因为，所以， 因为二面角的大小为，平面平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为为中点，所以， 所以， 所以，即， 因为平面， 所以平面， 选②③： 因为四边形是正方形， 所以， 因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为为中点，所以， 在中，， 故， 因为平面， 所以平面， 选①②③同上． 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 故， 令为面的一个法向量，则 令，则， （i）因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， （ii）由（i）知点到平面的距离． 19. 设二次函数的图象与两坐标轴的交点分别记为，，，曲线是经过这三点的圆． （1）求圆的方程； （2）过作直线与圆相交于，两点． （i）是否是定值？如果是，请求出这个定值； （ii）设，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）是定值，定值为2；（ii） 【解析】 【分析】（1）分别求出，，的坐标，假设圆的一般方程，代入求解即可； （2）（i）当直线的斜率不存在时，求出的坐标，进而可求的值，当直线斜率存在时，假设直线方程，与圆联立得到韦达定理，运用两点间的距离公式分别求出并化简，然后计算即可；（ii）同（i）分直线斜率存在和直线斜率不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，易求得，当直线斜率不存在时，运用两点间距离公式及韦达定理求出关于的表达式，结合函数性质即可求最大值. 【小问1详解】 设二次函数与x轴分别交于，与y轴交于点，令，则， 即，令，则，则， 设圆C的方程为， 将点M、N、G的坐标代入可得，解得， 则，化为标准式为. 【小问2详解】 是定值. （i）当直线的斜率不存在时，则方程为， 联立，可得或， 即，则，，则； 当直线的斜率存在时，设方程为，设， 联立直线与圆的方程，消去y可得， 由韦达定理可得， 且， ， 则 ； 综上所述，是定值. （ii）由（i）可知，当直线的斜率不存在时，， 且，则，，则； 当直线的斜率存在时，设方程为， 则 令，则 令 当，即时，； 当，即时，； 当，即，时， 取最大值.所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高二年级数学期中练习 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（ ） A. B. a C. D. 3. 如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A. B. C. D. 4. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，，则“”是“直线与相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是 A. B. C. D. 10. 设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.若点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分. 11. 两平行直线：与：之间的距离是_____． 12. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______ 13. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________. 14. 已知直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当三角形面积取最小值时直线的斜率为_____． 15. 如图，在正方体中，P为的中点，，，则下列说法正确的________（请把正确的序号写在横线上） ① ②当时，平面 ③当时，PQ与CD所成角的余弦值为 ④当时，平面 三、解答题，共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知的顶点，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求的面积. 17. 已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥. （1）求证：平面平面； （2）棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求： （i）直线与平面所成角的正弦值； （ii）点到平面的距离． 条件①：二面角的大小为； 条件②： 条件③：． 19. 设二次函数的图象与两坐标轴的交点分别记为，，，曲线是经过这三点的圆． （1）求圆的方程； （2）过作直线与圆相交于，两点． （i）是否是定值？如果是，请求出这个定值； （ii）设，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $