第十章第三节随机事件的概率与古典概型学案-2025届高三数学一轮专题复习

新高考数学一轮复习 第十章 　排列、组合与二项式定理、概率 第三节　随机事件的概率与古典概型 一、课标要求 1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能进行随机事件的并、交运算． 3.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 4.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则． 二、 命题规律及备考策略 以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率及古典概型为主，常与事件的频率交汇考查．本讲内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择题、填空题的形式出现． 三、知识梳理 知识点一　事件的关系与运算 1.样本空间与随机事件 （1）样本点：随机试验中每个可能出现的基本结果. （2）样本空间：由所有样本点组成的集合，一般用Ω表示. （3）随机事件：样本空间Ω的一个非空真子集. （4）基本事件：只包含一个样本点的事件. 2.事件的分类 确定事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 不可能事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下，　可能发生也可能不发生　的事件叫做相对于条件S的随机事件 3.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B　包含　事件A（或称事件A包含于事件B） 　B⊇A　 （或A⊆B） 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B 　A＝B　 并事件 （和事件） 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的　并事件　（或和事件） A∪B （或A＋B） 交事件 （积事件） 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） A∩B （或AB） 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥（或互不相容） A∩B＝⌀ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝⌀； P（A∪B）＝ P（A）＋P（B）＝1 知识点二　频率与概率 1.频率与概率 （1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝　　为事件A出现的频率. （2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的　频率fn（A）　稳定在某个常数上，把这个　常数　记作P（A），称为事件A的概率，简称为A的概率. 2.概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围：　0≤P（A）≤1　. （2）必然事件的概率：P（Ω）＝　1　. （3）不可能事件的概率：P（⌀）＝　0　. （4）互斥事件概率的加法公式 ①若事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝　P（A）＋P（B）　. ②若事件B与事件A互为对立事件，则P（A）＝　1－P（B）　. 常用结论 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 四、课堂考点突破 考点一　随机事件与样本空间 [例1]　已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（　　） A.事件“都是红色卡片”是随机事件 B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 变式训练 1.（多选）（2024·重庆模拟）将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝“向上的一面出现奇数点”，事件B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有（　　） A.B＝⌀ B.C＝“向上的一面出现的点数大于3” C.A＋C＝“向上的一面出现的点数不小于3” D.　　＝“向上的一面出现的点数为2” 考点二　互斥事件、对立事件的判断 [例2]　2020年起，山东省高考实行新方案.新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目.某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为（　　） A.相互独立事件 B.对立事件 C.不是互斥事件 D.互斥事件但不是对立事件 变式训练 2.（多选）（2024·山东泰安模拟）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（　　） A.是互斥事件　　B.不是互斥事件 C.是对立事件　　D.不是对立事件 考点三　互斥事件、对立事件的概率计算 [例3]　某超市有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求： （1）P（A），P（B），P（C）； （2）1张奖券的中奖概率； （3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 变式训练 3.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？ 考点四　随机事件的频率与概率 [例4]　某校高二年级（1），（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？ 变式训练 4.根据统计，某篮球运动员在5 000次投篮中，命中的次数为2 348次. （1）求这名运动员的投篮命中率. （2）若这名运动员要想投篮命中10 000次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100） （3）根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确. 五、课后作业 一、单项选择题 1．从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率是(　　) A. B. C. D. 2．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为(　　) A. B. C. D. 3．在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A∪发生的概率为(　　) A. B. C. D. 4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，则下列关系不正确的是(　　) A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 5．四位爸爸A，B，C，D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是(　　) A. B. C. D. 6．(2023·南通调研)将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则(　　) A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C．P(B∪C)＝P(C) D．P(BC)＝P(C) 8．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示： 所需时间/分钟 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B．线路一所需的平均时间比线路二少 C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一 D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 三、填空题 9．(2023·景德镇质检)由于夏季炎热，某小区用电量过大，据统计，一天停电的概率为0.3，现在用数据0,1,2表示当天停电；用3,4,5,6,7,8,9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据． 28　21　79　14　56　74　06　89　53　90 14　57　62　30　93　78　63　44　71　28 67　03　53　82　47　23　10　94　02　43 根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为________． 10．(2023·益阳质检)甲、乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲、乙中间有空位的概率为________． 11．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如果某人收到的验证码a1a2a3a4满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为________． 12．男生3人、女生3人任意排列，则他们站成一圈，且甲、乙之间恰好有1个人的概率为________． 四、解答题 13．(2023·深圳模拟)某食品公司在中秋节来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个月饼，其中有4个五仁月饼和3个枣泥月饼． (1)一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率； (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次、第2次取到的都是五仁月饼的概率； (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率． 14．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到如下试验结果： A配方的频数分布表 质量指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 质量指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品中每件产品的平均利润． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第十章 　排列、组合与二项式定理、概率 第三节　随机事件的概率与古典概型 一、课标要求 1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能进行随机事件的并、交运算． 3.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 4.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则． 二、 命题规律及备考策略 以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率及古典概型为主，常与事件的频率交汇考查．本讲内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择题、填空题的形式出现． 三、知识梳理 知识点一　事件的关系与运算 1.样本空间与随机事件 （1）样本点：随机试验中每个可能出现的基本结果. （2）样本空间：由所有样本点组成的集合，一般用Ω表示. （3）随机事件：样本空间Ω的一个非空真子集. （4）基本事件：只包含一个样本点的事件. 2.事件的分类 确定事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 不可能事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下，　可能发生也可能不发生　的事件叫做相对于条件S的随机事件 3.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B　包含　事件A（或称事件A包含于事件B） 　B⊇A　 （或A⊆B） 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B 　A＝B　 并事件 （和事件） 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的　并事件　（或和事件） A∪B （或A＋B） 交事件 （积事件） 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） A∩B （或AB） 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥（或互不相容） A∩B＝⌀ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝⌀； P（A∪B）＝ P（A）＋P（B）＝1 知识点二　频率与概率 1.频率与概率 （1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝　　为事件A出现的频率. （2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的　频率fn（A）　稳定在某个常数上，把这个　常数　记作P（A），称为事件A的概率，简称为A的概率. 2.概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围：　0≤P（A）≤1　. （2）必然事件的概率：P（Ω）＝　1　. （3）不可能事件的概率：P（⌀）＝　0　. （4）互斥事件概率的加法公式 ①若事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝　P（A）＋P（B）　. ②若事件B与事件A互为对立事件，则P（A）＝　1－P（B）　. 常用结论 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 四、课堂考点突破 考点一　随机事件与样本空间 [例1]　已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（　　） A.事件“都是红色卡片”是随机事件 B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 [答案]　C [解析]　事件空间为{红，红，红}，{红，红，蓝}，{红，蓝，蓝}. 变式训练 1.（多选）（2024·重庆模拟）将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝“向上的一面出现奇数点”，事件B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有（　　） A.B＝⌀ B.C＝“向上的一面出现的点数大于3” C.A＋C＝“向上的一面出现的点数不小于3” D.　　＝“向上的一面出现的点数为2” 答案：BC 解析：由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5； 事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2； 事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6. 所以B＝“向上的一面出现的点数为2”，故A错误； C＝“向上的一面出现的点数为4或5或6”，故B正确； A＋C＝“向上的一面出现的点数为3或4或5或6”，故C正确； 　　＝Ω，故D错误. 考点二　互斥事件、对立事件的判断 [例2]　（2024·山东济南模拟）2020年起，山东省高考实行新方案.新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目.某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为（　　） A.相互独立事件 B.对立事件 C.不是互斥事件 D.互斥事件但不是对立事件 [答案]　D [解析]　该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，但能同时不发生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立事件.故选D. 变式训练 2.（多选）（2024·山东泰安模拟）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（　　） A.是互斥事件　　B.不是互斥事件 C.是对立事件　　D.不是对立事件 答案：AC 解析：从3男2女中任选2名同学，一共会出现的抽取情况为：2男，或者2女，或者1男1女， 至少一名女生包括一名或两名女生，全是男生相当于女生数为零，两者间是互斥事件也是对立事件. 考点三　互斥事件、对立事件的概率计算 [例3]　某超市有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求： （1）P（A），P（B），P（C）； （2）1张奖券的中奖概率； （3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. [解]　（1）由题意得P（A）＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝. 故事件A，B，C发生的概率分别为，，. （2）1张奖券中奖可能是中特等奖、一等奖或二等奖. 设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C. 因为事件A，B，C两两互斥， 所以P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＝. 故1张奖券中奖的概率为. （3）抽1张奖券的结果共有4种可能：中特等奖，中一等奖，中二等奖，不中奖.其中，事件“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”包含2种可能：中二等奖和不中奖. 法一：（直接法）　设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，设“1张奖券不中奖”为事件D. 由（2）得，P（D）＝1－P（M）＝1－＝， 所以P（N）＝P（C）＋P（D）＝＋＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 法二：（间接法）　设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P（N）＝1－P（A∪B）＝1－＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 变式训练 3.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？ 解：法一：从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有P（A）＝，P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝， P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝， P（B∪C∪D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－＝， 解得P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝， 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，. 法二：设红球有n个，则＝，所以n＝4，即红球有4个.又得到黑球或黄球的概率是，所以黑球和黄球共5个.又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3（个）.又得到黄球或绿球的概率也是，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2（个），所以黑球有12－4－3－2＝3（个）. 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是＝，＝，＝. 考点四　随机事件的频率与概率 [例4]　某校高二年级（1），（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？ [解]　该方案是公平的，理由如下： 各种情况如表所示： 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以（1）班代表获胜的概率P1＝＝，（2）班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的. 变式训练 4.根据统计，某篮球运动员在5 000次投篮中，命中的次数为2 348次. （1）求这名运动员的投篮命中率. （2）若这名运动员要想投篮命中10 000次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100） （3）根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确. 解：（1）根据题意，某篮球运动员在5 000次投篮中，命中的次数为2 348次， 则这名运动员的投篮命中率P＝＝0.469 6. （2）若这名运动员要想投篮命中10 000次，则有10 000÷≈21 300. （3）虽然这名运动员的投篮命中率P＝＞，但由概率的定义，“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”说法不正确. 五、课后作业 一、单项选择题 1．从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2个球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况， 其中这2个球的编号之和为偶数的情况有(1,3)，(2,4)，共2种情况， 故这2个球的编号之和为偶数的概率为＝. 2．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　从这6个古镇中挑选2个去旅游有C＝15(种)选法，至少选一个苏州古镇的概率为P＝1－＝. 3．在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A∪发生的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知P(A)＝＝，P(B)＝＝， 所以P()＝1－P(B)＝1－＝， 因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝. 4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，则下列关系不正确的是(　　) A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 答案　D 解析　“至少有1名男生”包含“2名全是男生”“1名男生1名女生”2种情况， 故A⊆D，A∪C＝D，故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确， A∪B表示的是“2名全是男生或2名全是女生”，B∪D表示“2名全是女生或至少有一名男生”， 故A∪B≠B∪D，故D错误． 5．四位爸爸A，B，C，D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　A的小孩等可能地与B，C，D其中一位爸爸交谈，所以A的小孩与D交谈的概率P＝. 方法二　设A，B，C，D四位爸爸的小孩分别是a，b，c，d， 则交谈组合有9种情况，分别为(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)， A的小孩与D交谈包含的不同组合有3种，分别为(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Bc，Cb，Da)， ∴A的小孩与D交谈的概率P＝＝. 6．(2023·南通调研)将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况， 则共有63＝216(种)情况， 它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论： ①若落地时向上的点数不同， 则为1,2,3或1,3,5或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6，共有6种可能， 每种可能的点数顺序可以颠倒，即有A＝6(种)情况，共有6×6＝36(种)情况； ②若落地时向上的点数全相同，有6种情况， 所以共有36＋6＝42(种)情况，则落地时向上的点数能组成等差数列的概率为＝. 二、多项选择题 7．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则(　　) A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C．P(B∪C)＝P(C) D．P(BC)＝P(C) 答案　BC 解析　因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，故A错误；事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥事件且和事件为必然事件，则事件A和事件C是对立事件，故B正确；又因为B⊆C，所以P(B∪C)＝P(C)，故C正确；P(BC)＝P(B)，故D错误． 8．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示： 所需时间/分钟 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B．线路一所需的平均时间比线路二少 C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一 D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 答案　BD 解析　“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所需时间不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确． 三、填空题 9．(2023·景德镇质检)由于夏季炎热，某小区用电量过大，据统计，一天停电的概率为0.3，现在用数据0,1,2表示当天停电；用3,4,5,6,7,8,9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据． 28　21　79　14　56　74　06　89　53　90 14　57　62　30　93　78　63　44　71　28 67　03　53　82　47　23　10　94　02　43 根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为________． 答案　0.4 解析　由题意可知连续两天中恰有一天停电的情况有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23，共12种， 所以连续两天中恰好有一天停电的概率为＝0.4. 10．(2023·益阳质检)甲、乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲、乙中间有空位的概率为________． 答案　 解析　甲、乙两人要在一排六个空座上就坐，则有A＝30(种)坐法，而甲、乙相邻的坐法有5A＝10(种)坐法，则甲、乙中间有空位的概率P＝＝. 11．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如果某人收到的验证码a1a2a3a4满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为________． 答案　 解析　由题意设该验证码为a1a2a3a4，则a1＝2,2<a2<a3<a4， ∴a2，a3，a4从3,4,5,6,7,8,9中选， 选出3个数，让其按照从小到大的顺序有C＝35(种)排法， 又四位验证码共有10×10×10×10＝10 000(种)排法， ∴它是首位为2的递增型验证码的概率为＝. 12．男生3人、女生3人任意排列，则他们站成一圈，且甲、乙之间恰好有1个人的概率为________． 答案　 解析　将6人排成一圈，共有A＝120(种)排法，选1人放在甲、乙中间，有A种排法，然后将3人看成一个整体进行全排列有AA种排法，由分步乘法计数原理可得甲、乙之间恰好有1个人共有A·AA＝48(种)排法，所以甲、乙之间恰好有1个人的概率为＝. 四、解答题 13．(2023·深圳模拟)某食品公司在中秋节来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个月饼，其中有4个五仁月饼和3个枣泥月饼． (1)一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率； (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次、第2次取到的都是五仁月饼的概率； (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率． 解　(1)一次取出2个月饼，共有C＝21(种)方法，其中两个都是五仁的有C＝6(种)方法，两个都是枣泥的有C＝3(种)方法，则两个月饼为同一种口味的概率为＝. (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有A＝42(种)方法，其中第1次、第2次取到的都是五仁月饼有4×3＝12(种)方法，所以第1次、第2次取到的都是五仁月饼的概率是＝. (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有A＝42(种)方法，第1次取到五仁、第2次取到枣泥月饼的方法有4×3＝12(种)，第1次取到枣泥、第2次也取到枣泥月饼的方法有3×2＝6(种)，所以第2次取到枣泥月饼的概率为＝. 14．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到如下试验结果： A配方的频数分布表 质量指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 质量指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品中每件产品的平均利润． 解　(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42. (2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为＝0.96， 所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96. 用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$