圆重难点真题特训之易错必刷题型（60题20个考点）专练-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版)

圆重难点真题特训之易错必刷题型（60题20个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、旋转中的规律性问题 1．（22-23七年级下·广西贵港·期末）下列说法中正确的是（    ） A．旋转一定会改变图形的形状和大小 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，A不正确；根据平行线的性质，B不正确；根据垂直公理判断C正确，根据平行公理，D不正确． 【详解】A选项中，旋转只改变图形的位置，不改变形状和大小，所以A不正确； B选项中，两条直线被第三条直线所截，若两直线平行，则同位角相等；所以B不正确； C选项正确； D选项中，在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D不正确； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质、平行线的性质、垂直公理、平行公理，熟练掌握相关性质和公理是解题的关键． 2．（22-23七年级上·福建三明·阶段练习）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2019次后骰子朝下一面的点数是 ．    【答案】5 【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案． 【详解】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环， ∵2019÷4=504…3， ∴滚动第2019次后与第三次相同， ∴朝下的数字是2的对面5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律． 3．（22-23七年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（      ) 【答案】B 【分析】根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可. 【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次，用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为，故该轨迹对应的车轮为正方形的. 故答案为B 【点睛】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键. 易错必刷题二、根据旋转的性质求解 4．（24-25九年级上·全国·期中）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ， ， 故选：B． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到（即），连接．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等及等边三角形的性质和判定． 根据旋转的性质得，然后证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到， 即，， 是等边三角形， ， ． 故答案为：3． 6．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图， 将 逆时针旋转一定角度后得到 点D为的中点． (1)若 则旋转中心为点 ，旋转角度为 ； (2)若在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)C， (2)4 【分析】（1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点为的中点得出，由旋转的性质得． 本题主要考查旋转的概念和性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 【详解】（1）解：∵将 逆时针旋转一定角度后得到 ∴点为旋转中心， 由旋转得，， ， ， ， 旋转角度为， 故答案为：；； （2）解：，且点为的中点， ， 由旋转得，． 易错必刷题三、坐标与旋转规律问题 7．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】此题考查了点的坐标变化规律．每旋转4次则回到原位置，根据点C的坐标为，可得图形旋转次，即可求解． 【详解】解：如图， 由题可知，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵点C的坐标为， ∴旋转后点C在第二象限内， ∴图形旋转次点C的坐标为， ∵，，，， ∴最后点C的坐标为，则旋转次数可以是2025． 故选：C 8．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的知识，点坐标规律问题，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 根据矩形的性质作出旋转后的图形，找到C点的坐标规律即可． 【详解】解：将矩形绕点A逆时针旋转，如图    可知：，，，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ∵， 即：第2026次旋转结束时，完成了506次循环，又旋转了2次， ∴当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是． 故答案为：． 9．（22-23九年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(﹣1，1)、B(0，﹣2)、C(1,0)，点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3， （1）在图中画出点P1、P2、P3； （2）继续将点P3绕点A旋转180°得到点P4，点P4绕点B旋转180°得到点P5，…，按此作法进行下去，则点P2020的坐标为　　． 【答案】（1）见解析；（2） (﹣2，﹣2) 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点P1、P2、P3即可； （2）画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题． 【详解】解：（1）点P1、P2、P3如图所示， （2）（﹣2，﹣2） 解析： 如图所示：P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2）P5（2，﹣2），P6（0，2） ∵6次一个循环 ∴2020 ÷ 6 = 336... 4 ∴P2020（﹣2，﹣2） 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型． 易错必刷题四、求圆中弦的条数 10．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合，根据弦的定义进行判断即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键 【详解】 解：弦为，共有3条， 故选：B． 11．（22-23九年级下·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 【答案】 1 3 4 4 【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为1，3，4，4． 12．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）. 【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求. 【详解】如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答. 易错必刷题五、求过圆内一点的最长弦 13．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 14．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 【详解】解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 15．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 易错必刷题六、求三角形外心坐标 16．（22-23九年级上·河南驻马店·期中）如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可． 【详解】方法一、如图，连接，    ∵点是的外心， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 方法二、如图，    ∵点是的外心， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应用． 17．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后根据坐标系直接写出的外接圆的圆心坐标． 【详解】解：如图所示：点P即为外接圆的圆心；      所以点的坐标为． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，根据外心的性质可知垂直平分，可知为直角三角形，，，由勾股定理可求半径． 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 易错必刷题七、圆周角定理 19．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，由同弧所对圆周角等于圆心角一半得到代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 20．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，是直径，点C，D是圆上两点，若，则 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查圆周角定理，先求出的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是直径，， ∴， ∵点C，D是圆上两点， ∴； 故答案为：． 21．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在以为直径的半圆中，M是的中点，C是上的点，的延长线相交于点D，连接．    (1)求证：平分； (2)若平分，则的大小为________度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握“直径所对的圆周角为直角”，“同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等”． （1）连接，根据点M半圆的中点，易得，再计算得出即可求解； （2）由（1）可知，利用直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：连接，    ∵为直径， ∴， ∴， ∵点M半圆的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴故答案为：． 易错必刷题八、同弧或等弧所对的圆周角相等 22．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 23．（24-25九年级上·全国·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了等弧所对圆周角相等，掌握相关概念是解题的关键． 由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【详解】解：的度数为， ∴， ， 为中点， ． 故答案为：． 24．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查同圆中，等弧对等角，圆周角定理，平行线的判定． 由得到，由圆周角定理得到，从而，根据平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 易错必刷题九、半圆(直径)所对的圆周角是直角 25．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ）度． A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 26．（24-25九年级上·全国·期末）如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了圆周角定理，由是直径可得，由可知，再根据圆周角定理可得的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是的弦，延长到点C， 使，连接交于点 F．与有何数量关系？ 请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查圆周角定理，中垂线的判定和性质，连接，易得，根据，得到垂直平分，进而得到，即可． 【详解】解：，理由如下： 连接， ∵是的直径，是的弦， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴． 易错必刷题十、切线的性质定理 28．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，与相切于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理．连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 与圆相切于点， ， ， ， ， 故选：C． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度． 【答案】55 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，掌握切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质可得，进而求出的度数，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：55． 30．（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）已知：如图，直线切于点，为的弦．．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理的推论，平行线的判定等等，先由切线的性质得到，再由垂径定理的推论得到，据此可证明． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵直线切于点， ∴， ∵为的弦．， ∴， ∴． 易错必刷题十一、切线的性质和判定的综合应用 31．（21-22九年级下·安徽滁州·开学考试）圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知直线L是圆O的切线，据此即可解答． 【详解】解：直线L与圆O有唯一公共点， ∴直线L是圆O的切线， ∵圆O的圆心到直线L的距离是5厘米， ∴圆O的半径是， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，掌握切线的性质是解题的关键． 32．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】在RT△POC中，根据∠P＝30°，PC＝3，求出OC、OP即可解决问题． 【详解】连接、，如解图所示， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三边形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是利用切线的性质，在RT△POC解三角形是突破口，属于中考常考题型． 33．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，平分与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．求证：是的切线． 【答案】证明见解析． 【详解】证明：与相切于点，且是的半径，， 平分， ， 点在上， ， 是的切线． 易错必刷题十二、应用切线长定理求解 34．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 35．（2023九年级下·江苏南京·专题练习）圆外切四边形中，，，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了切线长定理，根据切线长定理可以得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形是圆的切线． ，，， 即： 即 故答案为：． 36．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，⊙O是的内切圆，点D，E，F为切点．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线长定理可得，进而可得,，据此即可求解； （2）由切线长定理即可求解． 【详解】（1）解：由切线长定理可得： ∴, ∵ ∴ ∴ （2）解：解：由切线长定理可得： ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．熟记相关结论即可． 易错必刷题十三、三角形内心有关应用 37．（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，三角形内心的定义，连接，由圆周角定理得到，则，再由内心的定义得到，则，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，O是的外心， ∴， ∴， ∵O是的内心， ∴分别平分， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 38．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，点O是的内心，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的性质得，根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：， ， 点O是的内心，， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 39．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，用直尺和圆规作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内心的作图、角平分线的性质，掌握内心的定义是解答本题的关键．分别作和的平分线，交点即为点． 【详解】解：由题意知，点为三个内角的平分线的交点． 如图，点即为所求． 易错必刷题十四、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 40．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 41．（22-23九年级上·贵州黔东南·阶段练习）的周长为，面积为，则内切圆半径为 ． 【答案】/0.8 【分析】如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得，即可根据三角形的面积和周长即可计算出半径． 【详解】解：如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵的周长为，面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的相关知识． 42．（21-22九年级上·全国·课后作业）的内切圆半径为r，的周长为．求的面积．（提示：设的内心为O，连接．） 【答案】rl 【分析】利用三角形内切圆的性质结合三角形面积求法得出即可. 【详解】解：如图所示：设△ABC的内切圆O与AB、BC、AC的切点分别为D、E、F， S＝＋＋＝r（）＝rl 【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与圆心，正确表示出S的值是解题关键. 易错必刷题十五、三角形内切圆与外接圆综合 43．（21-22九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列命题：①等弧就是长度相等的弧；②圆的对称轴是圆的直径；③三点确定一个圆；④三角形的外心到三角形三个顶点距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等；⑥一个三角形只有一个外接圆． 这些命题中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用圆的有关知识逐项分析即可． 【详解】解：①等弧就是能够重合的弧，故①错误； ②圆的对称轴是圆的直径所在的直线，故②错误； ③不共线的三点确定一个圆，故③错误； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故④正确； ⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故⑤错误； ⑥一个三角形只有一个外接圆，故⑥正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，对称性，三角形的外接圆与外心等知识，掌握这些性质是解题的关键． 44．（23-24九年级上·山东滨州·期中）是直角三角形，，，，则的内切圆半径 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内接圆的半径的计算，掌握内接圆的性质，切线的性质，勾股定理的运用的综合是解题的关键． 根据题意作图，再根据圆的切线的性质可得，四边形是正方形，设，可用含的式子表示出，在直角三角形中根据勾股定理可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，是直角三角形，，，，是的内切圆，分别于切于点，连接，    ∴，，， ∵，， ∴四边形是正方形， 设， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的内切圆半径为， 故答案为：． 45．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）在正方形的网格中，网线的交点称为格点，如图，点A、B、C都是格点．已知每个小正方形的边长为1个单位长度，已知A、B的坐标分别为（－1，2）、（1，2）． （1）建立平面直角坐标系，写出点C的坐标． （2）画出过A、B、C三点的圆． （3）在这8×8的网格中找一格点P，使得△PAB的面积与△ABC 的面积相等，并且点P在（2）中所作的圆外，写出点P的坐标．（写出一个即可） 【答案】（1）图详见解析，（2，－1）；（2） 详见解析；（3）（－4，－1）、（－3，－1）（写出一个即可） 【分析】（1）根据A、B的坐标即可找到坐标原点，建立直角坐标系，故可得到C点坐标； （2）作AB,AC的垂直平分线，交点即为圆心； （3）根据△PAB与△ABC的底相同，故高相等即符合题意，在图上即可找到P点． 【详解】（1）坐标系如图，点C的坐标为（2，-1）； （2）如图，圆O为所求． （3）如图，点P为所求，坐标为（-4，-1）、（-3，-1）等． 【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知三角形外接圆的画法． 易错必刷题十六、求正多边形的中心角 46．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 47．（2024九年级上·江苏·专题练习）正五边形的一个中心角等于 度． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可． 【详解】解：正十边形的中心角为：． 故答案为： 48．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 易错必刷题十七、已知正多边形的中心角求边数 49．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：连接、、， 五边形是的内接正五边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ． 故选：． 50．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了多边形内角：n边形的外角和为．一个正多边形的每个内角都相等，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以中心角为就可以求出多边形的边数，即可得到结论． 【详解】解：∵多边形的边数为：， 则这个多边形是八边形， ∴这个多边形的周长， 故答案为：16． 51．（2023·江西九江·一模）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点即为所求；利用正六边形的性质及含30度角的直角三角形的性质证明即可； （2）连接交BC于点即为所求，连接交于点H，利用相似三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点即为所求； ∵正六边形， ∴四边形与四边形关于成轴对称， ∴，，， ∵正六边形每个内角的度数为：， ∴， ∴； （2）如图，连接交BC于点即为所求．证明如下： 连接交于点H， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应图形是解题关键． 易错必刷题十八、求弧长 52．（24-25九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 【答案】C 【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该，乙虫走的路程为，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到点．本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式． 【详解】解：甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行， ∴甲虫走的路程为， 乙虫走的路程为， 甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， ∵两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点， 因此甲虫和乙虫同时到点． 故选：C． 53．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， 扇形的弧长为． 故答案为：． 54．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，，求得，推出是等边三角形，得到，，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， 为直径， ∴； （2）解：由（1）知， ∴ ∵ ∴，， 是等边三角形， 的长为， 易错必刷题十九、求圆心角 55．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：A． 56．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度． 【答案】90 【分析】本题考查弧长公式，利用弧长公式列方程求解即可．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：90． 57．（21-22六年级上·上海静安·单元测试）将一个圆沿着半径将其剪为①、②、③三个扇形．已知①的面积比②的面积小，②的面积比③的面积小，则面积最大的扇形的圆心角为多少度． 【答案】 【分析】根据题意③的面积最大，设③对应的圆心角为度，圆的半径为，根据扇形面积公式可得③的面积，由题意可得，，再根据①、②、③三个扇形可拼成一个圆可得方程，求解即可． 【详解】解：设③对应的圆心角为度，圆的半径为， ∴③的面积，，， ∴， ∴， ∴（度）． ∴面积最大的扇形的圆心角为度． 【点睛】本题考查扇形面积公式及应用，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 易错必刷题二十、求弓形面积 58．（22-23九年级下·广东江门·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据，计算即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 59．（2023·江西新余·一模）如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    【答案】/ 【分析】连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点，     由题意可知：， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 60．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图所示， 以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，， 延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）要证明，则要证明，由平行四边形的性质以及半径相等能够证明之； （2）先证明是等边三角形，利用，即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接． ∵A为圆心，∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过点A作于点H， 则， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆周角定理，扇形面积公式等知识点的应用，关键是求出． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆重难点真题特训之易错必刷题型（60题20个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、旋转中的规律性问题 1．（22-23七年级下·广西贵港·期末）下列说法中正确的是（    ） A．旋转一定会改变图形的形状和大小 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（22-23七年级上·福建三明·阶段练习）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2019次后骰子朝下一面的点数是 ．    3．（22-23七年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（      ) 易错必刷题二、根据旋转的性质求解 4．（24-25九年级上·全国·期中）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到（即），连接．若，则 ． 6．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图， 将 逆时针旋转一定角度后得到 点D为的中点． (1)若 则旋转中心为点 ，旋转角度为 ； (2)若在（1）的条件下，求的长． 易错必刷题三、坐标与旋转规律问题 7．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 9．（22-23九年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(﹣1，1)、B(0，﹣2)、C(1,0)，点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3， （1）在图中画出点P1、P2、P3； （2）继续将点P3绕点A旋转180°得到点P4，点P4绕点B旋转180°得到点P5，…，按此作法进行下去，则点P2020的坐标为　　． 易错必刷题四、求圆中弦的条数 10．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 11．（22-23九年级下·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 12．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 易错必刷题五、求过圆内一点的最长弦 13．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 14．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 15．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 易错必刷题六、求三角形外心坐标 16．（22-23九年级上·河南驻马店·期中）如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .    18．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 易错必刷题七、圆周角定理 19．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，是直径，点C，D是圆上两点，若，则 ． 21．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在以为直径的半圆中，M是的中点，C是上的点，的延长线相交于点D，连接．    (1)求证：平分； (2)若平分，则的大小为________度． 易错必刷题八、同弧或等弧所对的圆周角相等 22．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·全国·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为 ． 24．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 易错必刷题九、半圆(直径)所对的圆周角是直角 25．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ）度． A．15 B．25 C．35 D．45 26．（24-25九年级上·全国·期末）如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则 ． 27．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是的弦，延长到点C， 使，连接交于点 F．与有何数量关系？ 请说明理由． 易错必刷题十、切线的性质定理 28．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，与相切于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度． 30．（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）已知：如图，直线切于点，为的弦．．求证：． 易错必刷题十一、切线的性质和判定的综合应用 31．（21-22九年级下·安徽滁州·开学考试）圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 32．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，连接，若，，则的长为 ． 33．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，平分与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．求证：是的切线． 易错必刷题十二、应用切线长定理求解 34．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 35．（2023九年级下·江苏南京·专题练习）圆外切四边形中，，，，则 ． 36．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，⊙O是的内切圆，点D，E，F为切点．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 易错必刷题十三、三角形内心有关应用 37．（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，点O是的内心，，则 ． 39．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，用直尺和圆规作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 易错必刷题十四、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 40．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 41．（22-23九年级上·贵州黔东南·阶段练习）的周长为，面积为，则内切圆半径为 ． 42．（21-22九年级上·全国·课后作业）的内切圆半径为r，的周长为．求的面积．（提示：设的内心为O，连接．） 易错必刷题十五、三角形内切圆与外接圆综合 43．（21-22九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列命题：①等弧就是长度相等的弧；②圆的对称轴是圆的直径；③三点确定一个圆；④三角形的外心到三角形三个顶点距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等；⑥一个三角形只有一个外接圆． 这些命题中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．（23-24九年级上·山东滨州·期中）是直角三角形，，，，则的内切圆半径 ． 45．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）在正方形的网格中，网线的交点称为格点，如图，点A、B、C都是格点．已知每个小正方形的边长为1个单位长度，已知A、B的坐标分别为（－1，2）、（1，2）． （1）建立平面直角坐标系，写出点C的坐标． （2）画出过A、B、C三点的圆． （3）在这8×8的网格中找一格点P，使得△PAB的面积与△ABC 的面积相等，并且点P在（2）中所作的圆外，写出点P的坐标．（写出一个即可） 易错必刷题十六、求正多边形的中心角 46．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 47．（2024九年级上·江苏·专题练习）正五边形的一个中心角等于 度． 48．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 易错必刷题十七、已知正多边形的中心角求边数 49．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 50．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是 ． 51．（2023·江西九江·一模）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 易错必刷题十八、求弧长 52．（24-25九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 53．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ． 54．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错必刷题十九、求圆心角 55．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 56．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度． 57．（21-22六年级上·上海静安·单元测试）将一个圆沿着半径将其剪为①、②、③三个扇形．已知①的面积比②的面积小，②的面积比③的面积小，则面积最大的扇形的圆心角为多少度． 易错必刷题二十、求弓形面积 58．（22-23九年级下·广东江门·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 59．（2023·江西新余·一模）如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    60．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图所示， 以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，， 延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分弓形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$