圆重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

圆重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、旋转中的规律性问题 1．（2022·山东日照·一模）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在的正方形网格图形中（如图1），从点经过一次跳马变换可以到达点，，，等处现有的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点经过跳马变换到达与其相对的顶点，最少需要跳马变换的次数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出F点,由图一计算出规律即可推出． 【详解】如图1，连接AC，CF，则AF=， ∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格． 又∵MN=，∴（不是整数）， ∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格，此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处． ∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次． 故选D． 【点睛】本题考查规律计算题,主要在于结合图形找出规律． 2．（2023九年级·河南·专题练习）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O 上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从 A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为 60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2 017处，则点A2017与点A0间的距离是 【答案】4 【分析】由图分析可知，点与点重合，于是得到点与重合，依此规律即可得解． 【详解】由图分析可知，点与点重合， 2017÷6=336……1， 即点与重合， ∵⊙O的半径为 2 ， ∴点 与点 间的距离是4． 故答案是：4 【点睛】本题考查了图形的变化类，结合图形即可得到点与重合，依此规律即可解决问题． 3．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒 【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断； （2）根据“友好线”定义即可求解； （3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可． 【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠COD， ∵∠COA＝∠BOC， ∴∠BOD＝∠AOD， ∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”． （2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n， ∴∠BOM＝∠AOB＝n， ∵ON平分∠AOB， ∴∠BON＝∠AOB＝n， ∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n； （3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”． 当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB， 所以3x＝（180﹣5x﹣3x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”． 当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB， 所以180﹣5x﹣3x＝×3x， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”． 当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC， 所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”． 当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB， 所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180）， 解得x＝30（符合题意）， 即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”． 综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键． 压轴满分题二、成中心对称 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出循环的规律即可得出点的坐标． 【详解】解：设， 点、、，点关于的对称点为， ，， 解得，， ． 同理可得，，，，，，，， 每个操作循环一次． ∵， 点的坐标与相同． 故选：B． 【点睛】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键． 5．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 6个点一循环， ， 点的坐标是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性质以及找出点的循环数是解题的关键． 6．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______． ②画出点关于四边形的“对称图形”； (2)点是轴上的一动点． ①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围； ②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①点E，点F，②图见解析． (2)①，②或 【分析】根据点关于图形的“对称图形”的定义，可以在图形上找几个特殊点（线段的端点），作出点关于这些特殊点的对称点，大体描绘图形的形状． （1）①作出点关于点、的对称点、，得到点关于线段的“对称图形”是一条线段； ②先画出点关于四边形的四个顶点中心对称的对应点，再顺次连接可以得到点关于四边形的“对称图形”是一个正方形； （2）①点关于四边形的“对称图形”也是一个正方形，与关于四边形的“对称图形”大小一样，只是随的变化左右移动，可以用数形结合求解； ②是动线段与动正方形的交点问题，沿用数形结合求解． 【详解】（1）解：①根据点关于图形的“对称图形”的定义，点关于线段的“对称图形”是线段，如图所示其中点，．故点，在线段上． 故答案为：点，点；    ②点关于四边形的“对称图形”为四边形．    （2）①动点关于四边形的“对称图形”为四边形，如图所示．利用中点坐标公式可得到点，，，．四边形随的变化左右移动，当四边形与四边形有公共点时，应满足：    ， ， ②要使得点是四边形上的点，需满足： 或， 或． 【点睛】这道题在新定义下考查了点的对称，数形结合的思想，以及运动的观点，建立不等式解决交点问题，熟练掌握新定义，轴对称的性质是解题的就． 压轴满分题三、判断点与圆的位置关系 7．（2023·广西贵港·三模）如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】首先构造以OB为边的等边△，再证明，证明AO=O’P，因为OA的长度不变，所以动点A在以O为圆心，半径为1的圆上运动，因为O’P的长度不变，O’不动，所以动点P在以O’为圆心，半径为1的圆上运动，当三点O,O’,P共线时，OP最大，即可求得． 【详解】如图，以OB为边作等边，连接O’P， ∴OB=O’B, ∵△PAB为等边三角形， ∴AB=BP,∠1+∠2==60°, ∴∠1=∠3， 在△OBA和中 ∴ ∴OA=O’P， 点A在以O为圆心，半径的1的圆上运动，P在以O’为圆心，半径为1的圆上运动， 当O,O’,P三点共线时，OP最大， 此时OP, 故选：B． 【点睛】本题考查构造手拉手全等三角形和求线段最大值，通过构造全等发现动点在圆上运动，进而求得线段最值，通过构造手拉手全等是解题关键． 8．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（a、c为常数，）与轴交于和两点，与轴交于点． (1)请用含的代数式表示； (2)当时， ①若抛物线的最小值为，求点的坐标； ②已知点在抛物线上，若，直接写出的取值范围； 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题是二次函数综合题，包括与轴交点，函数的最值，点与圆的位置关系等， （1）抛物线与轴交于和两点，则，即可求解； （2）①当，当时，有最小值，即可求解； ②以为直径作，当，抛物线与相交于，此时点在圆上或圆外，由，即可求解； 熟悉二次函数性质和圆的相关性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于和两点， ， ； （2）①， ， 当时，有最小值， ，解得， 抛物线的解析式为， 当时，， ； ②设抛物线的顶点为， ， 抛物线与轴交于和两点， ∴对称轴为直线， 由抛物线的对称性得：， ， 以为直径作，当， 抛物线与相交于，此时点在圆上或圆外， 由，解之得，； 压轴满分题四、求特殊三角形外接圆的半径 10．（22-23九年级下·湖北鄂州·期中）如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BO，取BO中点M，连接ME，点E在以M为圆心，BM为半径的圆上，由△ABC是等边三角形可得AH=BH=6，BH=6，BO=MH=4，BM=2，根据勾股定理可得AM的长即 可求AE的最大值． 【详解】解：如图    连接BO，取BO中点M，连接ME ∵DE⊥BE，M是BO中点 ∴ME=BO ∴E在以M为圆心，BM为半径的圆上 ∴当A，M，E共线且E在AM的延长线上时，AE的值最大 延长BO交AC于H ∵△ABC为⊙O的内接等边三角形 ∴HB⊥AC，且△ABC是等边三角形，BC=12 ∴CH=AH=6 ∴AH=6 ，AO=4，BH=6 则OM=2，MH=4 ∴AM= ∴AE的最大值为2+2 故选A． 【点睛】本题考查了三角形外接圆和外心，等边三角形的性质，以及勾股定理，找到E的运动轨迹是解本题的关键，具有一定的难度． 11．（22-23九年级下·江苏盐城·期中）如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为 ． 【答案】3+3 【分析】作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC．当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大，依此列式计算即可求解． 【详解】解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC． 当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大． ∵∠MON＝45°， ∴∠CO'A＝45°， ∴∠CPA＝90°， ∵PQ⊥AC， ∴QA＝QC＝AC＝3， ∴PQ＝AC＝3， PA＝QA＝3， OP＝AP＝3， ∴O'Q＝OP+PQ＝3+3． 故答案为3+3． 【点睛】本题考查了线段最大值，熟练运用三角形外接圆知识是解题的关键． 12．（22-23九年级上·陕西延安·期末）（1）问题提出：如图1，是边长为4的等边三角形，的面积为______． （2）问题探究：如图2，在中，，，求的最大面积． （3）问题解决：如图3，有一块矩形铁皮，，，工人师傅想把它裁剪出两块全等且面积最大的和，且，请你在图中画出符合条件的点M，N，并求出此时的面积． 【答案】（1）；（2）9；（3）见解析； 【分析】（1）作于D，由勾股定理求出的长，即可求出面积； （2）作的外接圆，当B在的中点时，求出的长，此时AC边上的高最大，面积有最大值； （3）连接，在矩形的内部以为斜边作等腰，求出，再以O为圆心，以为半径作圆，交于点N，在．上截取，过D点作于点Q，用勾股定理求出，然后用等面积法求出，即可求出的值． 【详解】解：（1）如图1，，； （2）如图2，作的外接圆，当B在的中点时，AC边上的高最大，即面积最大，此时三角形为等腰直角三角形． ∵，∴ ， 故最大值． （3）如图3，连接AC，在矩形的内部以CD为斜边作等腰再以O为圆心，以OC为半径作圆，交AC于点N，在CA．上截取，点M，N即为所求． 过D点作于点Q， 在中，． 又∵， 即，解得． 在中，． ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键． 压轴满分题五、圆周角定理 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，内接于，，连接并延长，交于点D，于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，依次判断，，，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解:连接， ∵且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 而交于, 则为的重心 连接， ∵ ∴， ∵，，        ∴， ∴， ∵ ∵ ∴ ， ∴ ， ∴， 则，， ∴，    ∵， ∴，， ，       ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴   ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选A． 14．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，内接于，是的直径，点是延长线上的一点，，且，若点是上的一点，与交于点，且点等分半圆时，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识．过F作，H为垂足，证明，得到，，求得，设，得到,勾股定理求出，由点等分半圆得到，在中，则， 解得，即可求出答案． 【详解】解：过F作，H为垂足， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ 设， ∴， ∴, ∴， ∵点等分半圆， ∴， 在中，, ∴， ∴， 解得， ∴. 故答案为： 15．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图， 是的直径，弦于点H，点F为圆上一点且，连接，过点C作交于点G，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）连接，由垂径定理得到，根据得到，推出，即，再根据平行线的性质得到，易得，即可证明； （2）连接，，由（1）知，得到，即，根据，是的直径，得到，在中，，利用勾股定理可以求解． 本题考查圆的有关知识，圆周角定理的推论，垂径定理，勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴直径长是10． 压轴满分题六、同弧或等弧所对的圆周角相等 16．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧， ，为的中点，当运动时，线段的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基础知识，中位线的判定和性质的综合，掌握正方形的性质，四点共圆，圆周角定理，合理作出辅助线是解题的关键． 根据题意，连接交于点，可得四点共圆，根据圆周角定理可得点在圆上，连接，当点三点共线时，的值最大，根据正方形的边长，中位线的判定，圆的半径等知识可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，如图所示，连接交于点， ∴点四边共圆，即在上，为直径， ∴，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得，点在上， ∵正方形的边长为，即， ∴， 如图所示，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∵点在上， ∴， 当点三点共线时，的值最大， ∴， 故选：C． 17．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，，对角线，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，作的外接圆，连接并延长至圆上于点F，连接，由题意易得当经过圆心O时取得最大值，然后可得点D、A、F在同一直线上，则有是等边三角形，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：如图所示，作的外接圆，连接并延长至圆上于点F，连接， ∴点B恒在优弧上， 当经过圆心O时取得最大值， ∵，经过圆心O，即为的直径，有， ∴点D、A、F在同一直线上， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵O为的中点， ∴且为的角平分线， 故为直角三角形，且， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 18．（2024·陕西西安·二模）综合与实践 （1）如图1，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值. （2）如图2，小王在屋外空地修建一个四边形花园，点为的中点，为两条小路（路宽忽略不计），其中米，米，，计划在区域种植郁金香，区域种植牡丹，区域种植芍药，请问：郁金香花区域的面积是否存在最大值，如果存在，请求出面积最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，平方米 【分析】（1）连接、，根据勾股定理求出，根据三角形的三边关系求出的最小值为； （2）过点作于点，求出（米），延长到点，使，连接，证明，得出，过A、C、F作，过点作于点，并反方向延长交点，在优弧上取异于点的一点，过点作于点，连接，过点O作于点N，证明，说明点在时的面积最大，求出平方米，根据平方米，求出最大值即可． 【详解】解：（1）连接、， 在中， ， 三角形第三边大于两边之差 ， 的最小值为． （2）存在；过点作于点， ∵，米， ∴米， 又∵米， ∴（米）， ∴（米）， 延长到点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 过A、C、F作，过点作于点，并反方向延长交点，在优弧上取异于点的一点，过点作于点，连接，过点O作于点N， 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 点在时的面积最大， 连接， ∵， ∴， 又， ∴米，米， ∴米， ∴平方米， 点为的中点， ∴， 平方米， 又， ∴平方米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 压轴满分题七、应用切线长定理求解 19．（2024·四川德阳·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理，勾股定理，三角形的面积，设与相切于点，设正方形的边长为 ，由切线长定理得，，，设，，在中，由勾股定理得，即得，又由，得，即得，得到，即可求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：设与相切于点，设正方形的边长为 ， ∵是切线， ∴，，， 设，， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选：． 20．（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）已知圆的圆心在函数图象上，若圆与轴和直线都相切，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了切线长定理，勾股定理，反比例函数图象和性质，分当点在第二象限内和点在第四象限内两种情况，画出图形解答即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，当点在第二象限内时，点为切点，连接，则轴，， 由切线长定理可得，， ∵直线解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴； 当点在第四象限内时，同理可得； 综上，点的坐标为或． 21．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知的内切圆与相切于点，，．    (1)若，求证：； (2)当，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设，根据已知得：，，，根据勾股定理，得：，整理得，根据计算即可解决问题． （2）由得，再利用勾股定理逆定理求证即可． 【详解】（1）∵的内切圆分别与，，相切于点，，，设． 根据已知得：，，， 根据勾股定理，得： ， 整理得：， 所以 ． （2）∵的内切圆分别与，，相切于点，，，设． 根据已知得：，，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了切线长定理，三角形的内切圆，勾股定理以及逆定理，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 压轴满分题八、应用切线长定理求证 22．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数． 【详解】解：如下图 连OA、OB、OC ∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A ∴OB⊥PB，OA⊥PA 又∠P=50° ∴∠AOB=130° ∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C ∴DB=DC且OC⊥DC ∴OD平分∠BOC，即∠DOC=∠BOC 同理得∠EOC=∠AOC ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC =∠BOC+∠AOC =(∠BOC+∠AOC) =∠AOB=×130° =65°． 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质、切线长定理，发现∠DOE=∠AOB是关键． 23．（2023·北京密云·二模）已知：点A、点B在直线的两侧． （点A到直线的距离小于点B到直线的距离）． 如图， （1）作点B关于直线的对称点C； （2）以点C为圆心，的长为半径作，交于点E； （3）过点A作的切线，交于点F，交直线于点P； （4）连接、． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中： ①是的切线；           ②平分； ③；            ④． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①先根据轴对称的性质可得，，再根据圆的切线的判定即可得证； ②如图（见解析），连接CF，先根据切线长定理可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据圆心角定理即可得证； ③先根据轴对称的性质可得垂直平分BC，由此可得，再根据圆的切线的性质可得，然后根据直角三角形的性质可得，由此可得出答案； ④先根据②可知，从而可得，再根据③可知是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得证． 【详解】由轴对称的性质得：，，即 由作图可知，为的半径 由圆的切线的判定得：是的切线，则结论①正确 如图，连接CF，设PC与的交点为点D 是的切线 ，即 由切线长定理得 在和中， ，即平分，则结论②正确 由轴对称的性质得：垂直平分BC 在中， ，则结论③错误 是等腰三角形 （等腰三角形的三线合一） ，则结论④正确 综上，所有正确结论的序号是①②④ 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆心角定理、直角三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握并灵活运用圆的相关性质与定理是解题关键． 24．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，的切线交于点． (1)求证：是中点； (2)若，，连接，，交点为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1.8 【分析】（1）连接，根据切线的性质，就可以证出，从而证明； （2）求出，根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：连接， ，为直径， 为切线， 切于点， ， ； ， ， ， ， 即为的中点； （2）解：连接， ， 为的切线， 是的切线， 平分， ，为的中点， 点、分别为、的中点， ， 在中，，，，由勾股定理得：， 在中，为的中点， ， 在中，，，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大． 压轴满分题九、正多边形和圆的综合 25．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 26．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）正六边形是所有边相等、所有内角相等的六边形．在正六边形的边上取三点，若三点构成的三角形为等边三角形，则称该组成的图形为“优美图形”，等边三角形的边长为“优美边长”．如图，“优美图形”中正六边形的边长为3，则“优美边长”的取值范围为 ． 【答案】（表示“优美边长”） 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，确定“优美边长”最值点的位置成为解题的关键． 根据题意确定“优美边长”最值点的位置，然后分别画出图形，根据正六边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质求解即可解答． 【详解】解：如图：当等边三角形是正六边形内切圆的内接三角形时，等边三角形的边长为“优美边长”有最小值， 由正六边形的性质可得：， ∴． 如图：当等边三角形是正六边形外接圆的内接三角形时，等边三角形的边长为“优美边长”有最大值， 由正六边形的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴“优美边长”的取值范围为（表示“优美边长”）． 故答案为：（表示“优美边长”）． 27．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）； 【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论； （2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可； （3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案； （4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】 解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；    ②如图所示，    ， 故答案为：． （2），证明如下： 如图，过点C作交于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（ASA）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作交于F，    同理可得是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作，在上截取，连接，    ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边，作正方形，连接，， 根据（1）可得P在上，则，    ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键． 压轴满分题十、求扇形面积 28．（22-23九年级上·全国·课后作业）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（　　） A．5：4 B．5：2 C．：2 D．： 【答案】A 【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可． 【详解】如图1，连接OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB＝∠ABO＝，AB＝BC＝CD＝1， ∵∠AOB＝， ∴OB＝AB＝1， 由勾股定理得：OD＝， ∴扇形的面积是； 如图2，连接MB、MC， ∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形， ∴∠BMC＝，MB＝MC， ∴∠MCB＝∠MBC＝， ∵BC＝1， ∴MC＝MB＝， ∴⊙M的面积是， ∴扇形和圆形纸板的面积比是， 故选：A． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、正方形的性质、扇形的面积公式，求出扇形和圆的面积是解题的关键． 29．（2024·浙江·一模）如图，分别以等边的顶点为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为，则莱洛三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，圆的面积与周长．根据题意可把莱洛三角形的周长可转化为半径为的圆的周长的一半，进而求出等边三角形的边长，而其面积看成半径为的圆的面积的一半减去两个等边三角形的面积即可． 【详解】解：莱洛三角形的周长可转化为半径为的圆的周长的一半 ， ，即等边的边长为2， 如图所示，过点作于， 则， ， 莱洛三角形的面积为． 故答案为：． 30．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图所示，在中，，，在上取点O，以O为圆心，以为半径作圆，与相切于点D，并分别与，相交于E，F（异于点B）．    (1)求证：平分； (2)若点E恰好是的中点，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，以此可得，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得，进而得到，由可得，即可证明； （2）连接、，易得，根据直角三角形中线的性质的，因此为等边三角形，则，根据平行线的性质得，于是可证明为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可； 本题考查切线的性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、直角三角形的中线性质、扇形的面积公式根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，如图，      ∵与⊙O相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接、，如图，    ∵是的中点， ， 在中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、旋转中的规律性问题 1．（2022·山东日照·一模）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在的正方形网格图形中（如图1），从点经过一次跳马变换可以到达点，，，等处现有的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点经过跳马变换到达与其相对的顶点，最少需要跳马变换的次数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级·河南·专题练习）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O 上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从 A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为 60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2 017处，则点A2017与点A0间的距离是 3．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 压轴满分题二、成中心对称 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是 ．    6．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______． ②画出点关于四边形的“对称图形”； (2)点是轴上的一动点． ①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围； ②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围． 压轴满分题三、判断点与圆的位置关系 7．（2023·广西贵港·三模）如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 8．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 9．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（a、c为常数，）与轴交于和两点，与轴交于点． (1)请用含的代数式表示； (2)当时， ①若抛物线的最小值为，求点的坐标； ②已知点在抛物线上，若，直接写出的取值范围； 压轴满分题四、求特殊三角形外接圆的半径 10．（22-23九年级下·湖北鄂州·期中）如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（　　）    A． B． C． D． 11．（22-23九年级下·江苏盐城·期中）如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为 ． 12．（22-23九年级上·陕西延安·期末）（1）问题提出：如图1，是边长为4的等边三角形，的面积为______． （2）问题探究：如图2，在中，，，求的最大面积． （3）问题解决：如图3，有一块矩形铁皮，，，工人师傅想把它裁剪出两块全等且面积最大的和，且，请你在图中画出符合条件的点M，N，并求出此时的面积． 压轴满分题五、圆周角定理 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，内接于，，连接并延长，交于点D，于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，内接于，是的直径，点是延长线上的一点，，且，若点是上的一点，与交于点，且点等分半圆时，则 ． 15．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图， 是的直径，弦于点H，点F为圆上一点且，连接，过点C作交于点G，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 压轴满分题六、同弧或等弧所对的圆周角相等 16．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧， ，为的中点，当运动时，线段的最大值为（  ） A． B． C． D． 17．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，，对角线，则的最大值为 ． 18．（2024·陕西西安·二模）综合与实践 （1）如图1，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值. （2）如图2，小王在屋外空地修建一个四边形花园，点为的中点，为两条小路（路宽忽略不计），其中米，米，，计划在区域种植郁金香，区域种植牡丹，区域种植芍药，请问：郁金香花区域的面积是否存在最大值，如果存在，请求出面积最大值，若不存在，请说明理由. 压轴满分题七、应用切线长定理求解 19．（2024·四川德阳·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）已知圆的圆心在函数图象上，若圆与轴和直线都相切，则点的坐标为 ． 21．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知的内切圆与相切于点，，．    (1)若，求证：； (2)当，求证：． 压轴满分题八、应用切线长定理求证 22．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 23．（2023·北京密云·二模）已知：点A、点B在直线的两侧． （点A到直线的距离小于点B到直线的距离）． 如图， （1）作点B关于直线的对称点C； （2）以点C为圆心，的长为半径作，交于点E； （3）过点A作的切线，交于点F，交直线于点P； （4）连接、． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中： ①是的切线；           ②平分； ③；            ④． 所有正确结论的序号是 ． 24．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，的切线交于点． (1)求证：是中点； (2)若，，连接，，交点为，求的长． 压轴满分题九、正多边形和圆的综合 25．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 26．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）正六边形是所有边相等、所有内角相等的六边形．在正六边形的边上取三点，若三点构成的三角形为等边三角形，则称该组成的图形为“优美图形”，等边三角形的边长为“优美边长”．如图，“优美图形”中正六边形的边长为3，则“优美边长”的取值范围为 ． 27．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    压轴满分题十、求扇形面积 28．（22-23九年级上·全国·课后作业）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（　　） A．5：4 B．5：2 C．：2 D．： 29．（2024·浙江·一模）如图，分别以等边的顶点为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为，则莱洛三角形的面积为 ． 30．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图所示，在中，，，在上取点O，以O为圆心，以为半径作圆，与相切于点D，并分别与，相交于E，F（异于点B）．    (1)求证：平分； (2)若点E恰好是的中点，求扇形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$