第二十四章 圆重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

第二十四章 圆重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（    ） A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D．分钟 2．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知点，连接，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（   　）． A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·天津和平·期中）和是等边三角形，且在一条直线上，连接交于点，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C．可以看作是平移而成的 D．可以看作是绕点顺时针旋转而成的 4．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转45°，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（　　）． A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 6．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，，，是上的三个点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·河北沧州·期末）如图，点D是中边的中点，于E，以为直径的经过D，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 8．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 9．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 10．（2023·河北邯郸·三模）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（    ）    A．1 B．2 C． D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转 度，可与其自身重合． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）直角坐标平面内，点，点B的坐标为，的半径为4．若点B在内，则a的范围是 ． 13．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 14．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 15．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，等边三角形内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是 ． 16．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 三、解答题（本题共9小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为、、． (1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的； (2)将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的，并直接写出的坐标； (3)将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点）则这个定点的坐标是______． 18．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． (1)将向上平移6个单位得到，画出； (2)以为对称中心，画出关于该点对称的； (3)经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描） 19．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 20．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A，C在以AB为直径的⊙O上，D为弧AC的中点，连接BD与AC交于点E，若 (1)求证： (2)求⊙O 的半径． 21．（22-23九年级上·江西上饶·期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．    （1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①　 　或②　 　； （2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线． （3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB． 22．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为的直径，与切于点，连接，交于点， ． (1)如图，求的正切值； (2)如图，弦，连接，求证：为的切线； (3)如图，在（）的条件下，点在弧上，连接，，，求的长． 23．（2023九年级上·全国·专题练习）已知一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为． (1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径． (2)用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ 24．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 25．（23-24九年级下·山东日照·开学考试）在中，，以为直径的分别与交于点D、E，过点作于点． (1)求证：是的切线∶ (2)如图，若的半径为，求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（    ） A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】先求出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可． 【详解】解：（分钟）． 所以经过20分钟后，3号车厢才会运行到最高点． 故选C． 【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知点，连接，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（   　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 画出平面直角坐标系，作出新的的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，， 故选：D． 3．（21-22九年级上·天津和平·期中）和是等边三角形，且在一条直线上，连接交于点，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C．可以看作是平移而成的 D．可以看作是绕点顺时针旋转而成的 【答案】C 【分析】A、利用等边三角形的定义可得：，由同位角相等可得：； B、先证明，则，根据外角的性质得：， C、因为两个等边三角形的边长不确定，所以本选项错误； D、由B选项中的全等可得结论． 【详解】解：A、∵和是等边三角形， ∴， ∴， 选项正确，不符合题意； B、∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴（SAS）， ∴， ∴， 选项正确，不符合题意； C、∵和是等边三角形， 但边长不一定相等， 选项错误，符合题意； D、∵，且， ∴可以看作是绕点顺时针旋转而成， 选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，本题是常考题型，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形． 4．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转45°，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由正方形的性质和勾股定理得，再由旋转的性质得在轴正半轴上，且，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 正方形的边长为， ，，， ， 将正方形绕原点顺时针旋转后点旋转到的位置， 在轴正半轴上，且， 点的坐标为， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（　　）． A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的运用，理解垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所在的弧是解答关键． 连接，根据垂径定理得到，，再勾股定理得到来求解． 【详解】解：连接， ∵是中弦的中点，， ，． 设的半径为， 则， ． ， 即：， 解得：， 即的半径为． 故选：A． 6．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，，，是上的三个点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理及圆的基本性质，由得，再根据等边对等角得，由三角形内角和定理得，可得结论．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【详解】解：∵在中，和所对的弧是，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B。 7．（22-23九年级上·河北沧州·期末）如图，点D是中边的中点，于E，以为直径的经过D，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的判定及性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定及性质等；由圆的基本性质得，即可判断①；连接，由线段中位线定理得，由平行线的性质得，即可判断④；由等腰三角形的性质得，由圆的基本性质得，由余角的性质，即可判断②；由线段垂直平分线的判定及性质得，即可判断③；掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：是⊙O直径， ， ， 故①正确； 连接，如图， 为中点，O为中点， 为的中位线， ， ， ， ， 为的切线， 故④正确； ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 故②正确； D为中点，且， 垂直平分， ， ， ， 故③正确； 则正确的结论为①②③④． 故选：D． 8．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，求出，根据三角形内切圆的性质可得，，且点在一条直线上，从而可得，由此即可得． 【详解】解：如图，设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，    ∵圆与圆相切，圆的半径为，圆的半径为， ， 圆内切于正三角形， ，，，平分， ， ， ∵圆与，均相切， ，， 是的角平分线， ，且点在一条直线上， ，即， 解得， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、角平分线的判定定理、等边三角形的性质、圆与圆的位置关系，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键． 9．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO， ∴， ∴这个正多边形的边数为=10． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 10．（2023·河北邯郸·三模）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式求得扇形的圆心角的度数，进而根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为： 扇形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，扇形的面积计算，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键． 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转 度，可与其自身重合． 【答案】120 【分析】连接OA、OB、OC，则其将正三角形分成3个全等的部分，再用360度除以3即可求得． 【详解】解：如图所示：连接OA、OB、OC， 正三角形ABC，O为其中心， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ∴正三角形ABC绕其中心O至少旋转，可与其自身重合． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了旋转对称图形的知识，把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转一定角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，熟练掌握旋转角的求解是解题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）直角坐标平面内，点，点B的坐标为，的半径为4．若点B在内，则a的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关键． 由题意知，，由点B在内，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点B在内， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含的直角三角形．熟练掌握圆与直线的位置关系，含的直角三角形是解题的关键． 如图，作于，则，当时，与射线相切，此时只有一个交点；当时，与射线只有一个交点；然后作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴当时，与射线相切，此时只有一个交点； 当时，与射线有两个交点； ∴当时，与射线只有一个交点； 综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 15．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，等边三角形内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形、三角形的内切圆、勾股定理等知识，解题关键是求出圆的半径． 先作，作于点E，和交于点O，设等边的边长为，求出，即可求出，，，即可求出答案． 【详解】解：作于点D，作于点E，和交于点O，如图所示： 设等边的边长为， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半， ∴ ∵， ∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比是：． 故答案为： 16．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 【答案】九/9 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 三、解答题（本题共9小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为、、． (1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的； (2)将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的，并直接写出的坐标； (3)将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点）则这个定点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3) 【分析】此题主要考查了平移，旋转的性质，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质． （1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可； （3）连接，相交于点D，即可判断出点D是旋转中心，由网格线即可得出点D的坐标； 【详解】（1）解：如图1，即为所画； （2）解：如图2，即为所画， 由图可知； （3）解：线段可以看成是线段绕着某个定点旋转后得到的图形， 点与点B是对应点，点与点A是对应点， 连接，相交于点D（定点）， 由图形知，， 即旋转中心为点， 故答案为． 18．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． (1)将向上平移6个单位得到，画出； (2)以为对称中心，画出关于该点对称的； (3)经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，中心对称的定义和性质，图形结合思想是解题的关键． （1）根据图形平移的性质即可求解； （2）根据中心对称图形的定义和性质作图即可，绕旋转中心旋转即可； （3）连接对应点的连线的交点即可求解． 【详解】（1）解：分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点、、，再顺次连接、、，如图． （2）解：分别作出点A、B、C关于的对称点、、，再顺次连接、、，如图． （3）解：连接、、，交于点Q，如图． 则，即对称中心坐标为． 19．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 【答案】此桥拱圆弧的半径约为 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图2所示，设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为， 由垂径定理可知，， ，，三点共线， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 此桥拱圆弧的半径约为． 20．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A，C在以AB为直径的⊙O上，D为弧AC的中点，连接BD与AC交于点E，若 (1)求证： (2)求⊙O 的半径． 【答案】(1)见解析 (2)⊙O 的半径为 【分析】本题主要考查对圆的认识，垂径定理和勾股定理等知识，连接，证明是解答本题的关键． （1）连接，证明得，可得结论； （2）由求出证明得由三角形中位线得再由勾股定理可得结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 则 ∵D为弧AC的中点， ∴即 在和中， , ∴， ∴， ∵, ∴， ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵为的中点，F为的中点， ∴为的中位线， ∴即 ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，即⊙O 的半径为． 21．（22-23九年级上·江西上饶·期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．    （1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①　 　或②　 　； （2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线． （3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB． 【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可． (2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可． (3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠ BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB． 【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B， 理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径， ∴EF是⊙O切线， ②∵AB是⊙0直径， ∴∠C=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵∠FAC=∠B， ∴∠BAC+∠FAC=90°， ∴OA⊥EF， ∵OA是半径， ∴EF是⊙O切线， 故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B， （2）作直径AM，连接CM，    即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， ∵∠FAC=∠B， ∴∠FAC=∠M， ∵AM是⊙O的直径， ∴∠ACM=90°， ∴∠CAM+∠M=90°， ∴∠FAC+∠CAM=90°， ∴EF⊥AM， ∵OA是半径， ∴EF是⊙O的切线． （3）∵OA=OB， ∴点O在AB的垂直平分线上， ∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC， ∴∠BAC=∠B， ∴点C在AB的垂直平分线上， ∴OC垂直平分AB， ∴OC⊥AB． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角． 22．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为的直径，与切于点，连接，交于点， ． (1)如图，求的正切值； (2)如图，弦，连接，求证：为的切线； (3)如图，在（）的条件下，点在弧上，连接，，，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)长为. 【分析】（）设的半径是，由，则，，再由切线的性质得，通过勾股定理可得，最后由正切的定义即可求解； （）连接，证明，再根据全等三角形的性质即可求证； （）由切线长定理得，则可求出的半径为，，作于，则， 由三角函数得，则，连接交于，连接，由，，可得垂直平分，得是的中位线，设，则，，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）设的半径是， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴； （2）如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （3）∵是的切线， ∴， 由（）知， ∴， ∴的半径为，， 如图，作于， 则， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接交于，连接， 由，，可得垂直平分， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ∴， ， ， ∴ 即长为. 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，垂径定理，切线的判定与性质，垂径定理，中位线性质定理，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23．（2023九年级上·全国·专题练习）已知一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为． (1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径． (2)用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于三角形是等腰三角形，过作于，那么根据勾股定理得到，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在上，分别连接、、，然后利用三角形的面积公式即可求解； （2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆即是这个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为，根据垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设这块三角形钢板为，且腰为 ，底为 ，如图，过作于．根据题意可知该三角形内切圆即为这块钢板上截得的最大圆． ， ， 根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可得： ， ． 是的内切圆， ． ，即． 设的半径为． ， 解得：． 故由这块钢板上截得的最大圆的半径为． （2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆即是这个三角形的外接圆．设覆盖圆的半径为，圆心为．如图，连接． 根据（）可知 ， ． 在中，，即． 解得：． 故这个圆的最小半径为． 【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性． 24．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，） 【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论． 【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE， ∵OE=OD，∠EOD=， ∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°， ∵OE＝2cm，∠OGE＝90°， ∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm， 点E的坐标为（1，）， 又由题意知点D的坐标为（2，0）， 由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）． 故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）． 【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质． 25．（23-24九年级下·山东日照·开学考试）在中，，以为直径的分别与交于点D、E，过点作于点． (1)求证：是的切线∶ (2)如图，若的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可； （2）连接，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案； 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点O， ∴是的切线． （2）连接，过O作于M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$