专题07 弧长与扇形面积重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题07 弧长与扇形面积重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【经典例题一 求弧长】 【例1】（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 1．（2024九年级上·贵州·专题练习）将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（    ） A． B． C． D．π 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【经典例题二 求扇形半径】 【例2】（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 1．（2024·浙江杭州·二模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．36 C．12 D．6 2．（2016·福建漳州·一模）已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是 cm． 3．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）已知扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积是多少？（结果保留） 【经典例题三 求圆心角】 【例3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河北张家口·一模）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 2．（21-22九年级上·全国·单元测试）半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 【经典例题四 求某点的弧形运动路径长度】 【例4】（2024·湖南·模拟预测）某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（    ） A． B． C． D． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于的半径为是上的一动点，P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知正三角形的边长为1，按如图所示位置放在直线m上，然后无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，顶点 A 所经过的路线长为多少？ 【经典例题五 求扇形面积】 【例5】（24-25七年级上·吉林松原·期中）如图，在一长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆的花坛，正中间设计一个圆形喷水池，若四周圆形和中间圆形的半径均为，广场长为，宽为，则广场空地的面积是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留）． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知：在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，且．    (1)求弧的弧长； (2)求扇形的面积． 【经典例题六 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 1．（2023·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ． 3．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图在直角坐标系xOy中，点，点，点． (1)以点C为中心，把逆时针旋转得到，画出旋转后的图形，并写出点、的坐标． (2)求线段AC扫边的面积（结果保留） 【经典例题七 求弓形面积】 【例7】（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【经典例题八 求其他不规则图形的面积】 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，边长为2的菱形绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南洛阳·模拟预测）若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，四边形中，，，，，点为的中点，分别以、为圆心为半径作圆得扇形与扇形（、为圆心角），则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 7．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知圆心角为 的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 ． 8．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是正六边形的外接圆，半径是6，则的长是 ． 9．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为 ． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式           11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求弧的长． 12．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 13．（24-25九年级上·江苏南京·期中）用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积． (1)如图①，已知扇形，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； (2)如图②，已知扇形，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 14．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，已知是的直径，弦与半径平行． (1)求证：点D是的中点． (2)若，求阴影部分（弓形）的面积． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求弓形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 弧长与扇形面积重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【经典例题一 求弧长】 【例1】（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，求弧长，先根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵A是的中点， ∴， ∴， ∵点B、C、D在上，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长是； 故选A． 1．（2024九年级上·贵州·专题练习）将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（    ） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，利用折叠的性质求出虚线①所对的圆弧对的圆心角的度数，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：根据题意，虚线①所对的圆弧对的圆心角为， 所以虚线①所对的圆弧长． 故选：A． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， 扇形的弧长为． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 【经典例题二 求扇形半径】 【例2】（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 1．（2024·浙江杭州·二模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了扇形的面积计算公式，将面积是，弧长是，代入计算即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：C. 2．（2016·福建漳州·一模）已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是 cm． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆的半径为， ， 解得：， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）已知扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积是多少？（结果保留） 【答案】 【分析】设扇形的半径为，根据弧长公式求得，再根据扇形的面积公式即可求出面积． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， ， 扇形的面积为． 【点睛】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式，解题关键是熟记弧长公式和扇形的面积公式． 【经典例题三 求圆心角】 【例3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理并灵活运用是解题的关键． 连接，根据弧长公式和，可求得，，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可． 【详解】解：连接，如图：    设，则， 则的长为，的长为， ∵， 即， 整理得：， 解得：， 即，， ∵， ∴． 故选：D． 1．（2024·河北张家口·一模）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的公式的应用，根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得． 【详解】， 解得． 故选：B． 2．（21-22九年级上·全国·单元测试）半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ． 【答案】 【分析】此题考查了弧长公式，设这个扇形的圆心角度数为，半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，则，解方程即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为，则 ， 解得 故答案为： 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图中扇形的圆心角度数，勾股定理，设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为，先利用勾股定理求出，再根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长列出方程求解即可． 【详解】解：设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为， 由题意得 ∴， 解得， ∴裁减的扇形圆心角为． 【经典例题四 求某点的弧形运动路径长度】 【例4】（2024·湖南·模拟预测）某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轨迹、弧长公式等知识点，正确理解题意及熟练利用弧长公式是解题的关键． 根据鞋尖A在“向右转”的运动中路径是以O为圆心为半径，圆心角为的一段弧，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：依题意可知：鞋尖A在 “向右转”的运动中路径长是一段弧长，其半径是,弧的圆心角为， ∴ 鞋尖A在“向右转”的运动中路径长. 故选：A． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于的半径为是上的一动点，P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆三角形的综合运用，如图所示，连接，由垂径定理得，点P在以为直径的圆上运动，设该圆与交于点，则圆心角，根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 因为P是弦的中点 ∴， ， ∴点P在以为直径的圆上运动，设该圆与交于点，则圆心角， ∴点P所经过的路径长为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹分为三部分进行计算是解题关键．根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：，，，分别计算出各部分的长再相加即可． 【详解】解：圆心O运动路径如图：    ∵；弧的长度为；， ∴圆心O运动的路程是． 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知正三角形的边长为1，按如图所示位置放在直线m上，然后无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，顶点 A 所经过的路线长为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意可知，点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为， ∴点A所经过的路线长为 【经典例题五 求扇形面积】 【例5】（24-25七年级上·吉林松原·期中）如图，在一长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆的花坛，正中间设计一个圆形喷水池，若四周圆形和中间圆形的半径均为，广场长为，宽为，则广场空地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式．关键是得到四个角的花坛的面积正好为一个圆的面积． 空地的面积长方形的面积个半径为r的圆的面积． 【详解】由图可知， 广场空地的面积是． 故选：A． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】矩形， ， ∵的半径为3， 图中阴影部分的面积是：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】该题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是掌握扇形面积计算公式并能够正确表示出阴影部分面积． 根据题意有， 然后根据扇形的面积公式：和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可． 【详解】解：根据题意得，， ，， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知：在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，且．    (1)求弧的弧长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、等腰三角形的性质、弧长公式、扇形面积公式等知识点，掌握相关公式成为解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，再根据等边对等角可得，进而得到，最后根据弧长公式即可计算弧的弧长； （2）直接运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的弧长为． （2）解：∵，， ∴扇形的面积． 【经典例题六 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． 1．（2023·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．先求出从1点到下午4点扫过的角度，再根据扇形面积的计算公式计算即可． 【详解】解：由题知，时针从1点到下午4点扫过， 闹钟的时针长是， ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图在直角坐标系xOy中，点，点，点． (1)以点C为中心，把逆时针旋转得到，画出旋转后的图形，并写出点、的坐标． (2)求线段AC扫边的面积（结果保留） 【答案】(1)见解析，点的坐标为，点的坐标 (2) 【分析】本题主要考查作图-旋转变换以及求扇形的面积： （1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）根据勾股定理求出的长，再计算扇形的面积即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； 点的坐标为，点的坐标 （2）解：由勾股定理得， ∴线段AC扫边的面积为：． 【经典例题七 求弓形面积】 【例7】（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 1．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求弓形的面积，连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：， ∴, ∵，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 2．（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为 ，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案 【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为， 外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和， ∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积) [另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)] ； 故答案为∶． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长； （2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积的面积”计算即可． 【详解】（1）解： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 弧的长是． （2）解： ， 阴影部分的面积是． 【经典例题八 求其他不规则图形的面积】 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形面积减去直角三角形的面积之差． 【详解】解：连接，，如图， 正方形的边长为2，为对角线的交点， 由题意可得：，经过点，且，． 点，分别为，的中点， ， ，． 以为弦的两个弓形面积相等． ． 故选：C． 1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、旋转的性质、勾股定理等知识点，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积成为解题的关键． 连接，则阴影部分的面积为扇形的面积减去扇形的面积，据此计算即可． 【详解】解：连接， 根据勾股定理得：， ∴, ∴． 故选：C． 2．（22-23九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，根据旋转的性质，得到，，分割法推出阴影部分的面积为扇形的面积，即可求解即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，，， ∵阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 3．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； （2）∵， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ∴． 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，边长为2的菱形绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，先由菱形的性质得到，再证明，得到是等边三角形，则，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是边长为2的菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为， 故选C． 2．（2023·河南洛阳·模拟预测）若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式计算即可．解题的关键是记住扇形的面积公式以及弧长公式． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意：， 解得， ∴扇形的弧长， 故选：C． 3．（2024·广东广州·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：B． 4．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，四边形中，，，，，点为的中点，分别以、为圆心为半径作圆得扇形与扇形（、为圆心角），则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，扇形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，得出， ，再结合勾股定理算出，，然后算出，运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵，，点为的中点， ∴， ， ∴， 则， ∵，，点为的中点， ∴， 则， ∴， 则， ∵分别以、为圆心为半径作圆得扇形与扇形（、为圆心角）， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为． 故选：C． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，根据扇形面积公式求得半径，再根据弧长的公式求弧长即可． 【详解】解：令扇形的半径和弧长分别为和， ， ， ． 扇形的弧长为． 故答案为：． 7．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知圆心角为 的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式：、弧长公式：是解题的关键．设扇形的半径为，根据弧长公式求出，根据扇形面积公式计算． 【详解】设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， 则， 解得，， 扇形的面积， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是正六边形的外接圆，半径是6，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角和弧的度数，由正六边形，得到，便可得是等边三角形，即可求解，掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：由正六边形， ∴， 又∵是的半径， ∴， ∴是等边三角形， ∵的半径是6， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及扇形的弧长，根据已知得出点运动的路线是解题关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：第一次是以为旋转中心，长为半径旋转， 此次点走过的路径是． 第二次是以为旋转中心，为半径旋转， 此次走过的路径是， 故点两次共走过的路径是． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式           【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系． 根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值． 【详解】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：， 解得：， ∵点是反比例函数与的一个交点， 且 ， ， ， 则反比例函数的解析式是：． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算； （1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到，结合三角形内角和可得结论； （2）连接，根据平角定义得到，根据圆周角定理得到，求得，得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ，又， 在和中， ，， ； （2）解：连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ∴的长=． 12．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 【答案】 【分析】本题根据切线的性质得出，再利用弧长公式求出，推出，得到，结合勾股定理求得，根据即可求得． 【详解】解：连接， 与相切于点A， ，即． 设， ，的长为， ． 解得，即． ． ．   ．   在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、弧长公式、三角形内角和定理、等腰三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关性质即可解题． 13．（24-25九年级上·江苏南京·期中）用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积． (1)如图①，已知扇形，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； (2)如图②，已知扇形，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，勾股定理，扇形面积等知识，解题关键熟练掌握角平分线的画法，以及线段垂直平分线的画法； （1）根据题意，作的平分线即可； （2）要使扇形的面积被这条圆弧平分，则新作圆弧围成的扇形面积等于原来扇形面积一半，即，根据扇形面积推出半径关系为，由勾股定理可证，满足半径关系，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，作的平分线即为所求． （2）解：如图，作的垂直平分线交于C，以C为圆心，为半径作弧交于H，以O为圆心，为半径作弧交，分别于，，由勾股定理可证，∴，即，则即为所求． 14．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，已知是的直径，弦与半径平行． (1)求证：点D是的中点． (2)若，求阴影部分（弓形）的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，求弓形的面积： （1）连接，圆周角定理，得到，平行线的性质，得到，进而得到，得到即可； （2）利用扇形的面积减去的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点． （2）解：∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作，则：， ∴， ∴阴影部分的面积． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求弓形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握垂径定理、圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据垂径定理，圆周角定理即可得出结论； （2）根据垂径定理，证明，推出，可得，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：，是弦，是直径， ， ； （2）解：如图，连接，，． ，是直径，是弦， ，， ，， ， ， 在中，，， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$