专题24.4 正多边形与圆、弧长和扇形的面积（七大考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题24.4 正多边形与圆、弧长和扇形的面积 目录 【典型例题】 1 【考点一 正多边形和圆】 1 【考点二 已知圆心角与弧长】 3 【考点三 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 5 【考点四 求某点的弧形运动路径长度】 7 【考点五 求其他不规则图形的面积】 9 【考点六 求圆锥的侧面积与底面半径】 12 【考点七 求圆锥侧面展开图的圆心角】 14 【过关检测】 16 【典型例题】 【考点一 正多边形和圆】 例题：（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（2024·上海·模拟预测）如果正多边形的中心角是，那么该正多边形的内角和为 ． 2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    【考点二 已知圆心角与弧长】 例题：（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·吉林松原·期中）已知扇形的半径为6，弧长为，则它的圆心角为 度． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ． 【考点三 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 例题：（24-25九年级上·北京·阶段练习）半径为的圆中，圆心角为的扇形面积为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，半径是12，则这个扇形的面积为 ． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【考点四 求某点的弧形运动路径长度】 例题：（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【变式训练】 1．（2024·江苏盐城·二模）在活动课上，“雏鹰”小组用含角的直角三角尺设计风车．如图，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……，则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留）    2．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留） 【考点五 求其他不规则图形的面积】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于 ． 【变式训练】 1．（2024·重庆·一模）如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 【考点六 求圆锥的侧面积与底面半径】 例题：（24-25九年级上·湖南长沙·期中）圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【考点七 求圆锥侧面展开图的圆心角】 例题：（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）圆锥的母线长是底面半径的4倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为 ． 【变式训练】 1．（2023·浙江·一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度． 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 2．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的底面半径与母线的比为，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 4．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，现以三角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与的顶点重合），则的长为（    ） A．或 B．或 C．或2π D．或 5．（24-25九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 二、填空题 6．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是 ． 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度． 8．（2024·广东东莞·三模）如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 9．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留） 10．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．（结果保留） 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 12．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，以的一边为直径作交于点，与边的交点恰好为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 13．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，直线经过点，且，，交直线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 14．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的两边分别与相切于点A，B，的半径为r． (1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，，求的度数； (2)如图2，点C在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由； (3)若交于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）． 16．（22-23九年级上·江西赣州·期末）（1）课本再现：如图，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由， （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.4 正多边形与圆、弧长和扇形的面积 目录 【典型例题】 1 【考点一 正多边形和圆】 1 【考点二 已知圆心角与弧长】 3 【考点三 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 5 【考点四 求某点的弧形运动路径长度】 7 【考点五 求其他不规则图形的面积】 9 【考点六 求圆锥的侧面积与底面半径】 12 【考点七 求圆锥侧面展开图的圆心角】 14 【过关检测】 16 【典型例题】 【考点一 正多边形和圆】 例题：（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】圆周角定理、求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·上海·模拟预测）如果正多边形的中心角是，那么该正多边形的内角和为 ． 【答案】/720度 【知识点】多边形内角和与外角和综合、求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正多边形和圆，多边形内角与外角．先利用多边形的中心角为，计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解． 【详解】解：这个正多边形的边数为， 所以这个正多边形的内角和． 故答案为：． 2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    【答案】/十五 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果． 【详解】解：连接，    ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点二 已知圆心角与弧长】 例题：（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ． 【答案】/ 【知识点】求弧长 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， 扇形的弧长为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】圆周角定理、求弧长 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是解题的关键．连接，得到圆心角为，根据弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·吉林松原·期中）已知扇形的半径为6，弧长为，则它的圆心角为 度． 【答案】50 【知识点】求圆心角 【分析】本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为n， 由题意可得：，解得，． 故答案为：50． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ． 【答案】 【知识点】求圆心角 【分析】此题考查了弧长公式，设这个扇形的圆心角度数为，半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，则，解方程即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为，则 ， 解得 故答案为： 【考点三 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 例题：（24-25九年级上·北京·阶段练习）半径为的圆中，圆心角为的扇形面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积计算公式直接计算即可求解，掌握据扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的面积， 故答案为 ：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，半径是12，则这个扇形的面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积，熟练记忆公式是解题的关键． 根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 【考点四 求某点的弧形运动路径长度】 例题：（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·江苏盐城·二模）在活动课上，“雏鹰”小组用含角的直角三角尺设计风车．如图，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……，则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留）    【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、旋转的性质以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．根据题意，点所经过的路径是圆弧，根据“直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半”，易知，结合旋转的性质可知，然后求出圆弧的长度即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴点通过一次旋转至所经过的路径长为． 故答案为：． 2．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留） 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了弧长的计算、直角三角形的性质．首先可求得，根据直角三角形的性质，即可求得、的长，再由题意可得的度数，最后利用弧长公式即可求解； 【详解】解： ． ，， ， 顶部边缘A处绕点O旋转到处时转过的弧长为． 故答案为：． 【考点五 求其他不规则图形的面积】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、求其他不规则图形的面积、等边三角形的判定和性质、求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，如图，连接、、，分别用表示出阴影面积和半圆面积，然后计算比值即可得解，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，连接、、， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径为r，过C点作于点F， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴, 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·重庆·一模）如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【知识点】切线的性质定理、求其他不规则图形的面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：与切于， ， 由题意可知：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 为边中点， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， 阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、求其他不规则图形的面积、切线的性质定理 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，证明，得到，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 由圆周角定理可得： ， ． 故答案为: 【考点六 求圆锥的侧面积与底面半径】 例题：（24-25九年级上·湖南长沙·期中）圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆锥的计算，先由勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的侧面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：圆锥的底面半径为， ∴该圆锥的侧面积是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】12 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查求圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的母线长为：； 故答案为：12． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径、求弧长、求扇形面积 【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 【考点七 求圆锥侧面展开图的圆心角】 例题：（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）圆锥的母线长是底面半径的4倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为 ． 【答案】/90度 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角度数，设圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，则母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于其展开图的扇形弧长列出方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，则母线长为， 由题意得，， ∴， ∴此圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023·浙江·一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度． 【答案】120 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解题关键．将圆锥沿母线展开，根据两点之间线段最短可知：即为盘山公路的长度；设展开图的圆心角为，根据圆锥的底面周长是展开的扇形的弧长，可得，从而求得n的值；再利用勾股定理即可求得的长，从而完成解答． 【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了正多边形为圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意得出的半径为，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵的面积等于， ∴设的半径为，则， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、求弧长、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆周角定义，求弧长，先根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接， 则， 又∵A是的中点， ∴， ∴的长是 故选：D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的底面半径与母线的比为，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，熟练掌握求圆锥侧面积公式是解题关键．首先求得圆锥底面半径，然后根据圆锥侧面积公式，求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径与母线的比为，母线长为6， ∴圆锥的底面半径， ∴该圆锥的侧面积． 故选：C． 4．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，现以三角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与的顶点重合），则的长为（    ） A．或 B．或 C．或2π D．或 【答案】A 【知识点】圆周角定理、求弧长、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等，分两种情况讨论，作出图形，根据等腰三角形的性质，利用圆周角定理求得∠DOE的度数，然后求得圆O的半径，利用弧长公式求得即可． 【详解】解：如图1，以为直径作，交于D，交、的延长线于点D、E，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图2，以为直径作，交于D，交的延长线于E，连接、， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或， 故选：A． 5．（24-25九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该，乙虫走的路程为，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到点．本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式． 【详解】解：甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行， ∴甲虫走的路程为， 乙虫走的路程为， 甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， ∵两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点， 因此甲虫和乙虫同时到点． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面展开图的面积； 故填：． 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度． 【答案】90 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查弧长公式，利用弧长公式列方程求解即可．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：90． 8．（2024·广东东莞·三模）如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【知识点】等边对等角、求正多边形的中心角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 9．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】切线的性质定理、求弧长 【分析】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接， ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴（）， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积，正确表示花窗的面积是解题的关键；根据花窗的面积为求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是的中点， ， ， ∴花窗的面积为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 12．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，以的一边为直径作交于点，与边的交点恰好为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、求弧长、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，弧长公式，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可以得到，然后根据圆内接四边形的的对角互补得到，然后根据等角对等边得到结论； （2）根据三线合一和圆周角定理可以求出，然后利用弧长公式计算解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 13．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，直线经过点，且，，交直线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质． （1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案； （2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵在中，，， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ． 14．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、正多边形和圆的综合、等边三角形的性质、圆周角定理 【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到； （2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到； （3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的两边分别与相切于点A，B，的半径为r． (1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，，求的度数； (2)如图2，点C在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由； (3)若交于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）． 【答案】(1) (2)当时，四边形是菱形 (3)阴影部分的周长 【知识点】切线的性质定理、求弧长、全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是菱形 【分析】（1）连接，由切线的性质可求，由四边形内角和可求解； （2）当时，四边形是菱形，连接，由切线长定理可得，由“”可证，可得，可证，可得四边形是菱形； （3）分别求出的长，由弧长公式可求，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，当时，四边形是菱形， 连接， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵点C运动到距离最大， ∴经过圆心， ∵为的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：∵的半径为r，， ∴， ∴，， ∵， ∴的长度， ∴阴影部分的周长． 【点睛】本题考查圆的综合应用，掌握圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，切线长定理，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质是解决本题的关键． 16．（22-23九年级上·江西赣州·期末）（1）课本再现：如图，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由， （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②半径是，图中阴影部分的面积是 【知识点】全等三角形综合问题、证明某直线是圆的切线、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，． （2）①证明：、、分别与相切于点、、， 、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线． ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $$