2024--2025学年人教版九年级中考数学模拟训练试卷

2024年中考数学模拟训练试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）有理数2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．（3分）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C．打开电视机，正在播放广告 D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．4a﹣2a＝2 B．a8÷a4＝a2 C．（b2）3＝b5 D．a2•a3＝a5 5．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 7．（3分）某学校成立了A、B、C三个志愿者小组，在“学雷锋活动月”，利用周末时间到“残障儿童服务站”举行献爱心活动，如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 9．（3分）如图，△ACD内接于⊙O，∠C＝30°，AC为⊙O的直径，DB平分∠ADC交AC于点E，交⊙O于点B，连接AB．若△ABE的面积为6，则△CDE的面积是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（3分）甲、乙两人以相同路线前往距学校12km的地方参加帮扶活动，如图2中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程y（km）随时间t（min）变化的函数图象，则6﹣8min内每分钟甲比乙少行驶（　　） A．0.3km B．0.4km C．0.5km D．0.6km 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算的结果是 　 　． 12．（3分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级共售书50本，具体情况如下表： 售价 3元 4元 5元 6元 数目 14本 11本 10本 15本 则在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是 　 　． 13．（3分）如图，某校数学兴趣小组的同学测量校园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一旗台的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB＝2m，台阶AC的坡度为，且B，C，E三点在同一直线上，则树高DE为 　 　m．（测倾器的高度忽略不计） 14．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是　 　． 15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①9a﹣3b+c＝0；②4a﹣2b+c＞0；③方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根；④方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两根是x1＝﹣2，x2＝2．其中正确结论的个数是 　 　． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝　 　． 三、解答题（共8小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（5分）解不等式组请按下列步骤完成解答： （Ⅰ）解不等式①，得　 　； （Ⅱ）解不等式②，得　 　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为　 　． 18．（6分）如图所示，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，BE和DE相交于AC上一点E，如果∠BED＝90°，证明： （1）AB∥CD； （2）BD＝AB+CD． 19．（9分）北京冬奥会已于2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．为了了解学校学生对于北京冬奥会的了解情况，进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常了解；B．了解较多；C．基本了解；D．了解较少．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题． 频数分布统计表 类别 频数 频率 A 60 n B m 0.4 C 90 0.3 D 30 0.1 （1）接受问卷调查的学生共有 　 　人，m＝　 　，n＝　 　； （2）补全条形统计图； （3）学校决定从选填结果是A类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，从这四位学生中随机抽取两名学生参与冬奥知识竞赛，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D． （1）求证：∠D＝∠EBC； （2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径． 21．（7分）如图在网格中建立平面直角坐标系，A（2，7）、B（7，6），D是AB与网格线交点．仅用无刻度的直尺完成下列作图并填空： （1）将线段BA绕B逆时针旋转90°得到BC； （2）连CD，在BC上画一点E，使∠BCD＝∠BAE； （3）在网格内画一点M，使得MC∥AD，MC＝AD，直接写出所有满足条件的M点坐标：　 　． 22．（8分）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C1：y＝﹣近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝ax2+运动． （1）当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大，为米． ①求出a，c的值； ②当小雅滑出后离A的水平距离为多少米时，她滑行高度与小山坡的竖直距离为米？ （2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请直接写出α的取值范围． 23．（10分）如图1，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D在△ACB的内部，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接DE、BD、AE． （1）判断线段AE与BD的数量关系并给出证明； （2）如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段BE、CE、AE的数量关系为 　 　； （3）如图3，若AC＝2，DC＝1.2，点F为线段AB中点，当E、D、F三点在同一条直线上时，连接BD，求BD的长度． 2024年中考数学模拟训练试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）有理数2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据相反数的定义解题． 【解答】解：2024的相反数是﹣2024， 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 2．（3分）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，进而得出答案． 【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示：． 故选：C． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图． 3．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C．打开电视机，正在播放广告 D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件； B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件； C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件； D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件； 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．4a﹣2a＝2 B．a8÷a4＝a2 C．（b2）3＝b5 D．a2•a3＝a5 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则分别进行判断即可． 【解答】解：A、4a﹣2a＝2a，故此选项不符合题意； B、a8÷a4＝a4，故此选项不符合题意； C、（b2）3＝b6，故此选项不符合题意； D、a2•a3＝a5，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则，熟练掌握这些法则是解题的关键． 5．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次分析求解． 【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 6．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【分析】把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数的关系式求出y1，y2，y3，比较得出答案． 【解答】解：把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数y＝的关系式得， y1＝﹣1.5，y2＝﹣3，y3＝1， ∴y2＜y1＜y3， 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 7．（3分）某学校成立了A、B、C三个志愿者小组，在“学雷锋活动月”，利用周末时间到“残障儿童服务站”举行献爱心活动，如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及他们恰好选到同一个小组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好选到同一个小组的结果有3种， ∴他们恰好选到同一个小组的概率为＝． 故选：C． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 8．（3分）如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】先化简所求的式子，再根据a2﹣2a﹣1＝0，可以得到2a﹣a2＝﹣1，然后代入化简后的式子即可． 【解答】解： ＝• ＝• ＝a（2﹣a） ＝2a﹣a2， ∵a2﹣2a﹣1＝0， ∴2a﹣a2＝﹣1， ∴原式＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 9．（3分）如图，△ACD内接于⊙O，∠C＝30°，AC为⊙O的直径，DB平分∠ADC交AC于点E，交⊙O于点B，连接AB．若△ABE的面积为6，则△CDE的面积是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接BC，由圆周角定理得到∠ABC＝∠ADC＝90°，由圆心角、弧、弦的关系推出△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝AC，由直角三角形的性质得到CD＝AC，由△BAE∽△CDE，得到＝＝，从而求出△CDE的面积＝9． 【解答】解：连接BC， ∵AC是圆的直径， ∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵DB平分∠ADC， ∴＝， ∴AB＝CB， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝AC， ∵∠ACD＝30°， ∴cos∠ACD＝， ∴CD＝AC， ∴＝， ∵∠ABE＝∠DCE，∠BAE＝∠CDE， ∴△BAE∽△CDE， ∴＝＝， ∵△ABE的面积为6， ∴△CDE的面积＝9． 故选：C． 【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，关键是由圆周角定理，直角三角形的性质求出＝，由△BAE∽△CDE，得到＝＝，即可求解． 10．（3分）甲、乙两人以相同路线前往距学校12km的地方参加帮扶活动，如图2中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程y（km）随时间t（min）变化的函数图象，则6﹣8min内每分钟甲比乙少行驶（　　） A．0.3km B．0.4km C．0.5km D．0.6km 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙的速度，然后作差，即可得到6﹣8min内每分钟甲比乙少行驶的路程． 【解答】解：由图象可得， 甲的速度为：12÷30＝0.4（km/min）， 乙的速度为：12÷（18﹣6）＝12÷12＝1（km/min）， 故6﹣8min内每分钟甲比乙少行驶：1﹣0.4＝0.6（km）， 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算的结果是 　5　． 【分析】根据二次根式的性质解答． 【解答】解：＝|﹣5|＝5． 【点评】解答此题，要弄清二次根式的性质：＝|a|的运用． 12．（3分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级共售书50本，具体情况如下表： 售价 3元 4元 5元 6元 数目 14本 11本 10本 15本 则在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是 　4.5元　． 【分析】根据中位数的概念求解． 【解答】解：∵共有50本图书， ∴从小到大排列第25本和第26本图书价格的平均值为中位数， 即中位数为：＝4.5（元）． 故答案为：4.5元． 【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 13．（3分）如图，某校数学兴趣小组的同学测量校园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一旗台的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB＝2m，台阶AC的坡度为，且B，C，E三点在同一直线上，则树高DE为 　6　m．（测倾器的高度忽略不计） 【分析】6在Rt△ABC中利用坡比和AB的长，根据勾股定理即可求得BC和AC的长；如图：过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△DCE中表示出CE的长度，求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF＝BE代入解方程求出x的值即可． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵，AB＝2， ∴， ∴； 如图，过点A作AF⊥DE于F， 则四边形ABEF为矩形， ∴AF＝BE，EF＝AB＝2米， 设DE＝x米， 在Rt△DCE中，， 在Rt△ADF中，DF＝DE﹣EF＝x﹣2， ∴米， ∵AF＝BE＝BC+CE， ∴，解得x＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形． 14．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是　250　． 【分析】根据题意I去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可． 【解答】解：设点A、B的坐标为：（a，100）、（a，160）， 则直线OP的表达式为：s＝t①， 设直线BP的表达式为：s＝kx+100， 将点B的坐标代入上式得：160＝ak+100， 解得：k＝， 则直线BP的表达式为：s＝t+100②， 联立①②得：t＝t+100， 解得：s＝250，两图象交点P的纵坐标为250， 故答案为：250． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键． 15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①9a﹣3b+c＝0；②4a﹣2b+c＞0；③方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根；④方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两根是x1＝﹣2，x2＝2．其中正确结论的个数是 　4　． 【分析】①根据x＝﹣3时，对应的y＝0，代入可得结论； ②根据x＝﹣2时，对应的y＞0，代入可得结论； ③根据顶点坐标中y＝4，可得方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根； ④将x﹣1替换x，由方程ax2+bx+c＝0的两根x1＝﹣3，x2＝1，可得结论． 【解答】解：①由抛物线的对称性可知：与x轴交于另一点为（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c＝0； 故①正确； ②由图象得：当x＝﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， 故②正确； ③∵抛物线的顶点（﹣1，4）， ∴方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根， 即方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根； 故③正确； ④由题意得：方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣3，x2＝1， ∴方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两根是：x﹣1＝﹣3或x﹣1＝1， ∴x1＝﹣2，x2＝2， 故④正确； 综上得：正确结论为：4个． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，与方程相联系，掌握二次函数y＝ax2+bx+c与方程的关系，利用数形结合的思想，确定代数式的值． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝　　． 【分析】利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，∠C＝∠A'B'D＝90°，推出△DB'A'≌△DCA'，CD＝B'D，设AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC， 由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°， ∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E， ∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°， ∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB'＝30°， ∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°， 又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'， ∴△DB'A'≌△DCA'（AAS）， ∴DC＝DB'， 在Rt△AED中， ∠ADE＝30°，AD＝2， ∴AE＝＝， 设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣ ∵AE2+AD2＝DE2， ∴（）2+22＝（x+x﹣）2， 解得，x1＝（负值舍去），x2＝， 解法二：证明A′C＝A′B＝1，可得CD＝AB＝CA′＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝60°． 三、解答题（共8小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（5分）解不等式组请按下列步骤完成解答： （Ⅰ）解不等式①，得　x＞3　； （Ⅱ）解不等式②，得　x≤6　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为　3＜x≤6　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x＞3； （Ⅱ）解不等式②，得x≤6； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为3＜x≤6， 故答案为：x＞3，x≤6，3＜x≤6． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（6分）如图所示，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，BE和DE相交于AC上一点E，如果∠BED＝90°，证明： （1）AB∥CD； （2）BD＝AB+CD． 【分析】（1）先由三角形内角和定理得出∠EBD+∠EDB＝90°，再根据角平分线定义得出∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，代入上式即可得出∠ABD+∠CDB＝180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行证明出AB∥CD； （2）在BC上截取BF＝BA，连接EF，先证明△ABE≌△FBE，再证明△CDE≌△FDE即可解题． 【解答】证明：（1）在△BDE中， ∵∠BED＝90°，∠BED+∠EBD+∠EDB＝180°， ∴∠EBD+∠EDB＝180°﹣∠BED＝180°﹣90°＝90°， ∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB， ∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB， ∴∠ABD+∠CDB＝2（∠EBD+∠EDB）＝2×90°＝180°， ∴AB∥CD； （2）如图，在BC上截取BF＝BA，连接EF， ∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB， ∴∠ABE＝∠EBF，∠CDE＝∠EDF， ∵BE＝BE，AB＝BF， ∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴∠A＝∠BFE， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠BFE+∠EFD＝180°， ∴∠C＝∠DFE， ∵∠CDE＝∠EDF，DE＝DE， ∴△CDE≌△FDE（AAS）， ∴DF＝CD， ∴BD＝BF+DF＝BA+CD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形内角和定理，角平分线定义及平行线的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 19．（9分）北京冬奥会已于2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．为了了解学校学生对于北京冬奥会的了解情况，进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常了解；B．了解较多；C．基本了解；D．了解较少．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题． 频数分布统计表 类别 频数 频率 A 60 n B m 0.4 C 90 0.3 D 30 0.1 （1）接受问卷调查的学生共有 　300　人，m＝　120　，n＝　0.2　； （2）补全条形统计图； （3）学校决定从选填结果是A类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，从这四位学生中随机抽取两名学生参与冬奥知识竞赛，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 【分析】（1）用C类人数除以C类频率得到调查的总人数，然后用B类的频率乘以总人数得到m的值，用A类的频数除以总人数得到n的值； （2）利用m的值补全条形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出甲、乙两名同学同时被抽中的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有：90÷0.3＝300（人）， m＝300×0.4＝120， n＝60÷300＝0.2， 故答案为：300，120，0.2； （2）根据（1）补全的条形统计图如图所示： （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被抽中的结果数为2， 所以甲、乙两名同学同时被抽中的概率＝． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图． 20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D． （1）求证：∠D＝∠EBC； （2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据切线的性质可得∠DAO＝90°，从而可得∠D+∠ABD＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠ACB+∠EBC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答； （2）根据已知可得BD＝3BC，然后利用（1）的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB＝3EC，然后根据AB＝AC，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A， ∴∠DAO＝90°， ∴∠D+∠ABD＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°， ∴∠ACB+∠EBC＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠D＝∠EBC； （2）解：∵CD＝2BC， ∴BD＝3BC， ∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC， ∴△DAB∽△BEC， ∴＝＝3， ∴AB＝3EC， ∵AB＝AC，AE＝3， ∴AE+EC＝AB， ∴3+EC＝3EC， ∴EC＝1.5， ∴AB＝3EC＝4.5， ∴⊙O的半径为2.25． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（7分）如图在网格中建立平面直角坐标系，A（2，7）、B（7，6），D是AB与网格线交点．仅用无刻度的直尺完成下列作图并填空： （1）将线段BA绕B逆时针旋转90°得到BC； （2）连CD，在BC上画一点E，使∠BCD＝∠BAE； （3）在网格内画一点M，使得MC∥AD，MC＝AD，直接写出所有满足条件的M点坐标：　（4，）或（8，）　． 【分析】（1）利用旋转变换的性质作出图形即可； （2）取点R，连接AR交CD于点E，点E即为所求； （3）取格点T，连接CT，可得点M． 【解答】解：（1）如图，线段BC即为所求； （2）如图，点E即为所求； （3）如图，点M或点M′即为所求，M（4，），M′（8，）． 故答案为：（4，）或（8，）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（8分）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C1：y＝﹣近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝ax2+运动． （1）当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大，为米． ①求出a，c的值； ②当小雅滑出后离A的水平距离为多少米时，她滑行高度与小山坡的竖直距离为米？ （2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请直接写出α的取值范围． 【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（6，）代入C2求出b、c的值即可； （2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意列出方程，解出m即可； （3）求出山坡的顶点坐标为（8，），根据题意即82a+8×+4＞+，再解出a的取值范围即可． 【解答】解：（1）①由题意可知抛物线C2：y＝ax2+x+c过点（0，4）和（6，）， 将其代入得：， 解得，， ∴a＝﹣，c＝4； ②由①可得抛物线C2方程为：y＝﹣x2+x+4， 设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得： ﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+）＝， （m+4）（m﹣8）＝0， 解得：m1＝8，m2＝﹣4（舍）， 故运动员运动的水平距离为8米时，运动员与小山坡的竖直距离为米； （2）∵抛物线C1y＝﹣＝﹣（x﹣8）2+， ∴当x＝8时，运动员到达坡顶， 即82a+8×+4≥+ 解得a≥﹣， ∴﹣≤a＜0． 【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键． 23．（10）图1，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D在△ACB的内部，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接DE、BD、AE． （1）判断线段AE与BD的数量关系并给出证明； （2）如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段BE、CE、AE的数量关系为 　BE＝CE+AE　； （3）如图3，若AC＝2，DC＝1.2，点F为线段AB中点，当E、D、F三点在同一条直线上时，连接BD，求BD的长度． 【分析】（1）根据旋转的性质得出∠ECD＝90°＝∠ACB，CE＝CD，进而推出∠ACE＝∠BCD，结合等腰直角三角形的性质利用SAS证明△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据勾股定理求出DE＝CE，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （3）连接CF，根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质推出A、E、C、F四点共圆，B、C、D、F四点共圆，CF⊥AB，结合三角形内角和定理求出∠CDB＝90°，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）AE＝BD，理由如下： 根据旋转的性质得，∠ECD＝90°＝∠ACB，CE＝CD， ∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD； （2）在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CE＝CD， ∴DE＝＝CE， ∵AE＝BD，BE＝DE+BD， ∴BE＝CE+AE， 故答案为：BE＝CE+AE； （3）如图3，连接CF， ∵△ACB、△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CED＝45°＝∠CAB， ∴A、E、C、F四点共圆， ∴∠EAC＝∠EFC， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠EAC＝∠DBC， ∴∠EFC＝∠DBC， ∴B、C、D、F四点共圆， ∴∠DCF＝∠DBF， ∵点F为线段AB中点， ∴CF⊥AB， ∴∠CFB＝90°， ∴∠FCB+∠DBC+∠DBF＝90°， ∴∠FCB+∠DBC+∠DCF＝90°， ∴∠CDB＝180°﹣90°＝90°， ∵BC＝AC＝2，DC＝1.2， ∴BD＝＝＝1.6． 【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$