精品解析：云南省曲靖市沾益区2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷

云南省曲靖市沾益区2024-2025学年上学期 九年级数学试卷 人教版 测试章节：圆 时间：120分钟 满分：120分 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 已知的最长的弦长为，则的半径是_____________． 2. 已知A，B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是______cm． 3. 已知直角三角形的两直角边分别为5、12，则它的外接圆的直径为__． 4. 如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为________m． 5. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为___________． 6. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________． 二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分） 7. 到圆心的距离不大于半径的点的集合是（ ） A. 圆的外部 B. 圆的内部 C. 圆 D. 圆的内部和圆 8. 已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 9. 一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（ ） A. 6cm B. 12cm C. 2cm D. cm 10. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 11. 如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（　　） A. 30° B. 29° C. 28° D. 20° 12. 正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是( ) A. B. 2 C. 3 D. 2 13. 如图，在中，为的直径，与相切于点E，与相交于点F，已知，，则弧的长为(　　) A. B. C. π D. 2π 14. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( ) A. 4 B. 6.25 C. 7.5 D. 9 三、解答题（本大题共9 小题，共70分） 15. 如图，在 中， ，点O是的中点，以O为圆心，r为半径作． （1）当r满足什么条件时，与 的边有2个公共点？ （2）当r满足什么条件时，与 的边有3个公共点？ （3）当r满足什么条件时，与 的边有4个公共点？ 16. 如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°． （1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论． 19. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 20. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线相交于点D. (1)若∠1＝20°，求∠APB的度数． (2)当∠1为多少度时，OP＝OD？并说明理由． 21. 如图，AB是⊙O的直径，弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）若OACD，求阴影部分的面积； （2）求证：DEDM． 22. 如图1，为的直径，点 D 为下方上一点，点 C 为的中点，连接，． （1）求证： ； （2）如图2，过点 C作垂足为H，交于点 E，求证： 23. 如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作半圆，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若点是的中点，，求图中阴影部分的面积； （3）在（2）的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省曲靖市沾益区2024-2025学年上学期 九年级数学试卷 人教版 测试章节：圆 时间：120分钟 满分：120分 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 已知的最长的弦长为，则的半径是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键．根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：∵的最长的弦长为， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：． 2. 已知A，B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是______cm． 【答案】0<AB≤12 【解析】 【分析】根据弦的定义求解. 【详解】∵半径为6 cm， ∴直径＝12 cm， ∵A、B是不同的两点， ∴弦长大于零，不大于12厘米； 故答案为： O＜AB≤12 cm 故答案为：0<AB≤12. 【点睛】此题考查圆，解题关键在于掌握弦的取值范围即可. 3. 已知直角三角形的两直角边分别为5、12，则它的外接圆的直径为__． 【答案】13 【解析】 【详解】由勾股定理得,直角三角形的斜边为：=13， 则它的外接圆的直径为13， 故答案为13. 4. 如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理． 根据题意可得出，，由勾股定理得出，则水的最大深度． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴水的最大深度， 故答案为：． 5. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为___________． 【答案】30° 【解析】 【详解】∵OA=AB，OA=OB， ∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠C=∠AOB=30°． 故答案为30°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 6. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________． 【答案】44° 【解析】 【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可． 【详解】连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBA+∠CBP=90°， ∵OC⊥OA， ∴∠A+∠APO=90°， ∵OA=OB，∠OAB=22°， ∴∠OAB=∠OBA=22°， ∴∠APO=∠CBP=68°， ∵∠APO=∠CPB， ∴∠CPB=∠ABP=68°， ∴∠OCB=180°-68°-68°=44°， 故答案为44° 【点睛】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分） 7. 到圆心的距离不大于半径的点的集合是（ ） A. 圆的外部 B. 圆的内部 C. 圆 D. 圆的内部和圆 【答案】D 【解析】 【分析】设点到圆心的距离问d，圆的半径为r，到圆心的距离不大于半径,则0≤d≤r，根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于半径的所有点的集合，而圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．两者综合到圆心的距离不大于半径圆的内部和圆，满足0≤d≤r条件的所有点覆盖圆与圆的内部． 【详解】设点到圆心的距离问d，圆的半径为r，到圆心的距离不大于半径,则0≤d≤r，满足条件的所有点覆盖圆与圆的内部 根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于半径的所有点的集合； 圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合． 所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）． 故选择：D． 【点睛】本题考查圆的定义与圆的内部问题，掌握圆的定义与点与圆的位置关系，设出点到圆心的距离问d，圆的半径为r，到圆心的距离不大于半径,则0≤d≤r，满足条件的所有点覆盖圆与圆的内部是解题关键． 8. 已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆的面积公式求得圆的半径，再根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断解答即可. 【详解】设圆O的半径是r， 则πr2=9π， ∴r=3， ∵点O到直线l的距离为π， ∵3＜π，即：r＜d， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离， 故选：C． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆的面积公式，解答的关键是熟知圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系：当d>r时，相离；当d=r时，相切；当d<r时，相交. 9. 一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（ ） A. 6cm B. 12cm C. 2cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】利用弧长公式列出关系式，把圆心角与弧长代入求出半径的长即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 10. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，均等于所对圆心角的一半. ∵ ∴= 故选C. 考点：圆周角定理 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆周角定理，即可完成. 11. 如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（　　） A. 30° B. 29° C. 28° D. 20° 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵∠BFC=20°， ∴∠BAC=2∠BFC=40°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=（180°-40°）÷2=70°． 又EF是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=40°， ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°． 故选：A． 12. 正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是( ) A. B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：如图： ∵正六边形的边心距为， ∴OB=，AB=OA， ∵OA2=AB2+OB2， ∴OA2=（OA）2+（）2， 解得OA=2． 故选B． 考点：1．正多边形和圆；2．勾股定理． 13. 如图，在中，为的直径，与相切于点E，与相交于点F，已知，，则弧的长为(　　) A. B. C. π D. 2π 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出圆心角的度数，再根据弧长公式，即可解决问题. 【详解】连接 ∵圆与相切于点， ∵四边形 是平行四边形， 四边形是平行四边形， 为等边三角形， ∴的长 故选C. 14. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( ) A. 4 B. 6.25 C. 7.5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案. 【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°， ∵⊙O为△ABC内切圆， ∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF， ∴四边形AEOF为正方形， 设⊙O的半径为r， ∴OE=OF=r， ∴S四边形AEOF=r²， 连接AO，BO，CO， ∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC， ∴， ∴r=2， ∴S四边形AEOF=r²=4， 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键. 三、解答题（本大题共9 小题，共70分） 15. 如图，在 中， ，点O是的中点，以O为圆心，r为半径作． （1）当r满足什么条件时，与 的边有2个公共点？ （2）当r满足什么条件时，与 的边有3个公共点？ （3）当r满足什么条件时，与 的边有4个公共点？ 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是： （1）根据勾股定理逆定理判断出，取中点E，取中点F，连接，，根据三角形中位线定理可求出，，然后数形结合即可解答； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，然后数形结合即可解答； （3）结合（1）中结论，数形结合即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 取中点E，取中点F，连接，， 则，，，， ∴，， ∵点O是的中点， ∴， ∴当时，与的边有2个公共点； 【小问2详解】 解：由（1）知：当时，与相切， ∴当时，与的边有3个公共点， ∵，点O是的中点， ∴， ∴当时，与的边有3个公共点， 综上，当或时，与的边有3个公共点； 【小问3详解】 解：由（1）知：当时，与相切， 此时与的边有5个公共点， ∴当时，与 的边有4个公共点． 16. 如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 【答案】 证明：∵C，D分别是半径，的中点， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，全等三角形的判定与性质，先判断出，然后根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数． 【答案】40°. 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∵∠ABC=130°， ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°， ∴∠AOC=2∠ADC=100°． ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°． （1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 如图所示，⊙P为所求的圆； （2） BC与⊙P相切，理由： 过P作PD⊥BC，垂足为D， ∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB， ∴PD=PA， ∵PA为⊙P的半径． ∴BC与⊙P相切． 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示； （2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=PA，而PA为圆P的半径，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及作图-复杂作图，证明切线的方法有两种：一种是连接证明垂直；一种是作垂线，证明垂线段等于半径． 19. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 【答案】 （1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E， ∵AE=BE，CE=DE， ∴BE﹣DE=AE﹣CE， 即AC=BD （2）8﹣ 【解析】 【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD， 连接OC，OA， ∵OA=10，OC=8，OE=6， ∴. ∴AC=AE﹣CE=8﹣． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 20. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线相交于点D. (1)若∠1＝20°，求∠APB的度数． (2)当∠1为多少度时，OP＝OD？并说明理由． 【答案】（1）40°；（2）当∠1＝30°时，OP＝OD. 【解析】 【分析】（1）首先证明PA=PB，求出∠PAB，∠PBA的度数即可解决问题． （2）当∠1=30°时，OP=OD．只要证明∠OPD=∠D=30°即可． 【详解】解：(1)∵PA是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，∴∠BAP＝90°－∠1＝70°. 又∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，∴∠ABP＝∠BAP＝70°. ∴∠APB＝180°－70°×2＝40°. (2)当∠1＝30°时，OP＝OD. 理由：当∠1＝30°时， 由(1)知∠BAP＝∠ABP＝60°， ∴∠APB＝180°－60°×2＝60°. ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠OPB＝∠APB＝30°. 又∵∠D＝∠ABP－∠1＝60°－30°＝30°，∴∠OPB＝∠D，∴OP＝OD. 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、线段的垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，本题解法比较多，属于中考常考题型． 21. 如图，AB是⊙O的直径，弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）若OACD，求阴影部分的面积； （2）求证：DEDM． 【答案】（1）4-π； （2）连接AD．∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM= 90°又∵弧ED=弧BD∴ED="BD" ∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM="BD" ∴DE=DM．如图所示： 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接OD，由已知条件可证出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的长度知道，∠DOB的度数是45度，这样，阴影的面积就等于等腰直角三角形ODC的面积减去扇形ODB的面积．（2）连接AD，由已知条件可证出AD垂直平分BM，从而得到DM=DB，又因为弧DE=弧DB，DE=DB，所以DE就等于DM了． 试题解析：（1）连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD∵OA="CD" =， OA=OD∴OD=CD=∴△OCD 为等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S阴影=S△OCD-S扇OBD=××－． （2）略 考点：圆的性质与三角形综合知识． 22. 如图1，为的直径，点 D 为下方上一点，点 C 为的中点，连接，． （1）求证： ； （2）如图2，过点 C作垂足为H，交于点 E，求证： 【答案】（1） 证明：如图，连接，设， 则， ∵C是的中点， ∴， ， ， ∵为直径， ∴， ， ， ， ， ； （2） 证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）设，根据圆周角定理得到，C是的中点，得到，连接，由是直径得，根据余角的性质即可得出结论； （2）连接，根据三角形的内角和定理可得出，根据圆周角定理得出，则可得出，结合（1）中，可得出，根据等角对等边即可得证． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握与圆有关的综合应用和结论是解答的关键． 23. 如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作半圆，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若点是的中点，，求图中阴影部分的面积； （3）在（2）的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：过作垂线，垂足为 ∵， ∴平分 ∵ ∴ ∵为⊙的半径， ∴为⊙的半径， ∴是⊙的切线 （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）过作垂线，垂足为，证明OM=OE即可； （2）根据“S△AEO-S扇形EOF=S阴影”进行计算即可； （3）作关于的对称点，交于，连接交于，此时最小． 通过证明∽即可求解 【详解】解：（1）略 （2）∵且是的中点 ∴，， ∴ ∵ ∴即， ∴ （3）作关于的对称点，交于，连接交于 此时最小 由（2）知，， ∴ ∵ ∴，， ∵， ∴∽ ∴，即 ∵， ∴即， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定，不规则图形的面积计算以及最短路径问题．找出点E的对称点G是解决一题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $