[03]共点力平衡-备战2025年高考物理复习精讲练（上海专用）

上海新高考-备战2025年高考物理复习精讲练 [03] 共点力平衡 ☺ 知识点梳理 一、力的基本概念 1. 力的基本特征： (1)力的作用一定同时存在施力物体和受力物体。 (2)力的作用效果：①形变；②改变运动状态（速度大小或方向）。 (3)力的三要素：①大小；②方向；③作用点。 3. 力是矢量，正负表示方向和规定方向的相同和相反，不代表大小。 4. 性质力和效果力 (1)性质力：是根据力的性质来定义的力，如本章学习的重力、弹力、摩擦力都是性质力。 (2)效果力：是根据力实际产生的效果而命名的力，如压力、支持力、拉力、动力、阻力、斥力等。 5．共点力 如果一个物体多个力的作用，力的作用点相同，或者力的作用线的延长线交于一点，叫做共点力。 二、重力 1. 定义：重力是由于地球的吸引而使物体受到的力。物体所受重力的施力物体是地球。 2. 方向：竖直向下。 3. G＝mg，g的单位是1N/kg=1m/s2 重力不等于物体受到的地球的吸引力；物体所受的重力与它所处的运动状态、速度大小无关。 4．重力的等效作用点：重心 (1)重心的位置：质量分布均匀的规则物体的重心在其几何中心。 (2)重心可以不在物体上，如下图： (3) 对于薄板状物体的重心，可以应用二力平衡的知识通过“悬挂法”悬挂法确定。 三、弹力 1. 定义：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对跟它接触的物体产生的力叫弹力。 2. 弹力的产生同时具备两个条件：①两个物体直接接触，②发生弹性形变。 3. 弹力的方向：弹力垂直于两物体的接触面，指向被压物体。 常见弹力的方向： 类型 方向 图示 接触方式 面与面 垂直于公共接触面指向受力物体 点与面 过点垂直于面指向受力物体 点与点 垂直于公切面指向受力物体 轻绳 沿绳子指向绳收缩的方向 轻杆 可沿杆的方向 可不沿杆的方向 轻弹簧 沿弹簧形变的反方向 4. 几种典型物体模型的弹力特点如下表． 项目 轻绳 轻杆 弹簧 形变情况 伸长忽略不计 认为长度不变 可伸长可缩短 施力与受力 只能产生拉力 能受拉或受压，可产生拉力或压力 同杆 力的方向 始终沿绳 不一定沿杆 沿弹簧轴向 力的变化 可发生突变 同绳 只能发生渐变 5. 弹力有无及方向的判断 ①直接法：根据物体间是否存在挤压产生形变，这种方法适用于形变明显的情况，如弹簧。 ②假设法： 假设移去和研究对象物体接触的物体，若对象物体运动状态不变，则说明无弹力；反之则有弹力。 如图（a），移除挡板，小球A会沿斜面下滑，不能保持静止状态，所以挡板对小球有向右的弹力； 如图（b），如果剪断细线，小球会沿斜面下滑，不能保持静止状态，所以细线对小球有向上的弹力； 如图（c），如果移去斜面，小球仍然能保持静止状态，所以斜面对小球没有弹力。 如图（d），接触面光滑，若A处有弹力，则无法使球处于静止状态，故A处无弹力。 （a） （b） （c） （d） 6. 细绳的连接点：绳子能滑动，两边的倾角相同，张力相同。 四、胡克定律 1. 胡克定律：在弹簧的弹性限度内，弹力的大小跟弹簧伸长（或缩短）的长度成正比。 2. ，x是弹簧的伸长或缩短量 ①式中的称为弹簧的劲度系数，单位是牛顿每米，符号用表示。 k反映弹簧本身的属性，由弹簧自身的长度、粗细、材料等因素决定，与弹力F的大小和伸长量x无关。 ②变式其含义为：在弹簧的弹性限度以内，弹力大小的增量与弹簧长度的增量成正比 ③此公式F表示弹力的大小，若写成矢量表达式则为：F=-kx 表示弹力的方向和形变方向相反。 3. F－x图像是一条过原点的倾斜直线，直线的斜率表示弹簧的劲度系数k. 4. 弹簧组合问题 (1) 弹簧串联：串联后的总劲度系数：，即总劲度系数变小。 (2) 弹簧并联：并联后的总劲度系数k为：k=k1​+k2​，即总劲度系数变大。 五、滑动摩擦力 1. 定义：一个物体在另一个物体表面相对滑动时，要受到另一个物体阻碍它相对滑动的力。 2. 产生条件：①接触面粗糙；②有弹力；③有相对运动． 3. 方向：滑动摩擦力的方向跟接触面相切且与物体间相对运动的方向相反。 4. 或 Ff＝μFN 5. 效果：总是阻碍物体间的相对运动，但并不总是阻碍物体的运动，可能是动力，也可能是阻力。 六、静摩擦力 1．定义：互相接触的两物体，在接触面上产生的阻碍相对运动趋势的力，叫静摩擦力． 2. 产生条件：(1)相互接触且发生弹性形变；(2)有相对运动趋势；(3)接触面粗糙。 3. 方向：沿着两物体接触面的切线，与相对运动趋势相反。与运动方向可能相同，也可能相反。 4. 静摩擦力的大小： (1)范围：0＜F≤Fmax，Fmax称最大静摩擦力，静摩擦力是被动力，其大小和方向均随外力的改变而改变。 (2)计算方法：根据二力平衡条件求解。 (3)静摩擦力大小与正压力无关，但Fmax与正压力有关，随正压力的增大而增大。 (4)最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，在近似处理或无特殊说明，可认为它们数值相等，如下图： 5. 静摩擦力的判断 (1)假设法：首先假设两物体的接触面是光滑的，判断物体相对运动趋势，进而判断出静摩擦力的方向。 (2)运动状态分析法 例如下图所示，在拉力F作用下，A、B一起在水平地面上做匀速运动。 对A来说，它在水平方向受到向右的拉力F而处于平衡状态， A必然受沿B对它向左的静摩擦力作用。根据物体间相互作用力的特性，B受到A向右的静摩擦力，同时由于物体B相对地面向右滑动，所以B在地面上受到向左的滑动摩擦力作用。 6. 斜面摩擦角 (1) 摩擦角：物体A放在平板的右端，逐渐抬高右端，当物体A刚好下滑或匀速下滑时，斜面与水平面成α角，称摩擦角。 (2) 由，得：，即摩擦角只与斜面粗糙程度有关。斜面越粗糙，摩擦角越大。 (3) 处于摩擦角状态，物体所受合力为0，即斜面对物体的摩擦力和支持力的合力与物体重力等大反向，即竖直向上。 七、力的合成和分解 1. 共点力的合成法则：①平行四边形法则 或 ②三角形法则 2．合力的大小的讨论 (1) （为两个力的夹角） (2) 两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小．(0°≤θ≤180°) ①两分力同向（θ＝0°）时，合力最大，F＝F1＋F2，合力与分力同向。 ②两分力垂直（θ＝90°）时，互相垂直的两力的合力大小。 ③两分力反向（θ＝180°）时，合力最小，F＝|F1－F2|，合力的方向与较大的一个分力的方向相同。 综上，无论为多少，合力的大小取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2 ④若F1＝F2且θ＝120°时，有合力F＝F1＝F2，即矢量三角形是等边三角形。 3.力的分解方法 ⑴ 按力的效果分解 ⑵ 正交分解：通常用于水平和竖直方向，或沿斜面和垂直于斜面方向。 4. 力的分解的讨论 已知合力F、一个分力F1的方向与另一分力F2的大小：（无解、有一组解或两组解） 如上图所示，有四种情况，下面采用图示法和三角形知识进行分析，从力F的端点O作出分力F1的方向，以F的矢端为圆心，用分力F2的大小为半径作圆。 a．当F2＜Fsinα时，圆与F1无交点，说明此时无解，如图（a）所示． b．当F2＝Fsinα时，圆与F1相切，此时有一解，如图（b）所示． c．当F≥F2＞Fsinα时，圆与F1有两个交点，此时有两解，如图（c）所示． d．当F2＞F时，圆与F1作用线只有一个交点，此时只有一解，如图（d）所示． 八、共点力平衡条件 1. 共点力平衡 (1)定义：如果物体受到共点力的作用下，保持静止或匀速运动状态，叫做共点力平衡。 (2)运动学特征：加速度a=0 注意：竖直上抛最高点时，瞬时速度为0，但不是平衡状态。 (3)动力学特征：物体受到的合外力为零。即F合＝0； 其正交分解式为F合x＝0；F合y＝0。 (4)物理题中的“缓慢移动”，无论直线或曲线，都可理解为动态平衡。 (5)三力平衡：三个力平移后构成一个首尾相接、封闭的矢量三角形； (6)多力平衡：取出其中的任意一个力，则这个力必与剩下的（N﹣1）个力的合力等大反向。 2. 共点力平衡的一般解题步骤 (1)选取研究对象：整体法和隔离法 (2)画受力图，即受力分析：一般按照“重力弹力摩擦力”的顺序找力。 (3)建坐标系：沿水平和竖直方向，或沿平行于斜面和垂直于斜面方向。 (4)列方程：通过平衡条件，找出各个力之间的关系，或由平衡条件列方程，即Fx合＝0，Fy合＝0 (5)联立方程求解，必要时对解进行讨论,复杂的问题可能用到三角函数等数学知识。 3. 共点力平衡的主要分析方法 (1)矢量三角形法 一般三力平衡时，画出受力图通过平移，得到首尾相连的矢量三角形，再利用三角函数分析求解。 (2)旋转三角形法 此类问题通常物体受到三个力，一个力（重力）不变，另外一个力方向一定，大小不确定，通过矢量三角形的旋转，分析出各力的大小变化趋势。 (3)正交分解法 沿x轴和y轴方向分别求出合力ΣFx=0和ΣFy=0，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋… 两种典型情况的力的正交分解，如图甲、乙所示： ①水平面上物体斜向上的拉力的分解 ②在斜面上物体重力的分解 　 (4)整体法与隔离法 ①整体法：以几个物体构成的整个系统为研究对象进行求解。 ②隔离法：隔离法的原则是选取受力个数最少部分的来分析。 ③通常在分析外力对系统作用时，用整体法；在分析系统内各物体之间的相互作用时，用隔离法。 有时需要整体法与隔离法交叉使用，常采用先整体后隔离。 (5)相似三角形法 利用矢量三角形与几何三角形相似的关系，列式求解。 ①已知几何三角形中边的关系，通常用对应边成比例列式； ②已知几何三角形中角度的关系，通常正弦定理列式。 (6)作圆法 三个力，其中一个力已知，另外两个力夹角不变。 ☺ 例题精讲 例1.（2023学年·上海中学高一上期中）如图所示，将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ=30°。则F达到最小值时Oa绳上的拉力大小为___________，ab绳子上的拉力大小为___________。（已知重力加速度大小为g） 例2.（2023学年·格致中学高一上期中）超市货架陈列着四个完全相同的篮球，不计摩擦，挡板均竖直，则4球中对圆弧面压力最小的球是（　　） A. a球 B. b球 C. c球 D. d球 例3.（2023学年·东昌中学高一上期末）如图所示，上表面光滑的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一小球用轻质细线系住，细线另一端跨过定滑轮被地面上的人拉着。现让人向右移动，使小球沿斜面缓慢向上运动，斜面体始终保持静止。重力加速度取g=10m/s2。则在小球运动过程中（　　） A. 人与地面间的摩擦力保持不变 B. 斜面体与地面间的摩擦力保持不变 C. 小球的重力和支持力的合力逐渐增大 D. 小球受到的支持力与细线拉力的合力逐渐增大 例4.（2023学年·东昌中学高一上期末）如图所示，四分之一圆柱体放在水平地面上，右侧与一块固定的竖直挡板Q接触。球心O的正上方有一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体上的小球m连接，另一端系在固定竖直杆上的B点。现将一重物M用轻质挂钩挂在AB间的轻绳上，整个装置处于静止状态。不计一切摩擦，则（　　） A. 若绳子B端固定，将M竖直向下缓慢移动一小段距离，绳子的拉力变大 B. 若绳子B端固定，将M竖直向下缓慢移动一小段距离，P对Q的压力不变 C. 将轻绳B端沿杆向上缓慢移动一小段距离，绳子的拉力变大 D. 将轻绳B端沿杆向上慢移动一小段距离，P对地面的压力不变 例5.（2023学年·上海中学高一上期中）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是（　　） A. F不变，FN增大 B. F不变，FN减小 C. F减小，FN不变 D. F增大，FN减小 例6.（2023学年·川沙中学高一上期末）如图，用力传感器A、B共同支起一个质量为m的光滑球。其中A对球的作用力方向与水平方向间夹角始终为30°，B对球的作用力方向可调。为使球保持平衡，传感器B对球作用力的作用点所在范围为______（在区域①、②、③、④、⑤中选填），作用力的最小值为______。（重力加速度为g） 例7. 如图所示，水平地面上固定有一竖直光滑杆，杆上套有质量为m的圆环，地面上放一质量为M的物块，圆环和物块由绕过光滑定滑轮的轻绳相连，物块恰好不滑动，连接圆环和物块的轻绳与竖直方向的夹角分别为，。认为物块与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（重力加速度，取，）求： （1）轻绳的拉力大小； （2）物块对地面的压力大小； （3）物块与地面间的动摩擦因数。 ☺ 强化训练 一、选择题 1. （2023学年·曹杨二中高一上期中）如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止，则物体A的受力个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. （2023学年·上海中学高一上期中）如图，两梯形木块M、P叠放在水平地面上，M、P之间的接触面倾斜。连接M与天花板之间的细绳沿竖直方向。关于力的分析，下列说法正确的是（　　） A. 木块M不可能仅受二个力作用 B. 木块M可能仅受三个力作用 C. 木块M一定受四个力作用 D. 地面可能受到水平向左的摩擦力 3．(2024普陀二模·四·第12题) 某同学静止站在水平地面上放风筝（风筝的重力不能忽略），他缓慢释放拉风筝的细线，风筝先后经过同一竖直线上的 a、b 两点，如图所示。若风筝在 a、b 两点时，细线对风筝的拉力大小相等。 ( a b ) （1）风筝在 a、b 两点受到空气对其的作用力大小分别为 Fa、Fb，则（ ） A．Fa > Fb B．Fa = Fb C．Fa < Fb （2）风筝在 a、b 两点受到空气对其的作用力方向与竖直方向的夹角分别为 θa、θb，则（ ） A．θa＞θb B．θa = θb C．θa＜θb 4．(2024嘉定二模·五·第1题) 大自然中喷瓜传播种子的方式比较特别。喷瓜结构如图（a）所示，茎通过果柄给果实输送水分和养分，成熟后的果实内部挤满了种子和黏性液体。果实一受到触动就会和果柄分开，断开处会出现一个小孔，浆液及种子就会从这个小孔里喷射出来，使果实飞出。 ( 果实 果柄 （ a ） （ b ） 茎 ) 图（b）为静止低垂的果实的示意图，果实对果柄的作用力方向最接近的是（ ） ( A B C D ) 5. (2024宝山二模·一·第2题) 如图所示，一辆自行车在水平路面上，设自行车被骑行时地面对后轮的摩擦力为 Ff1，自行车被推行时地面对后轮的摩擦力为 Ff2，则（ ） A．Ff1 向左，Ff2 向右 B．Ff1 向右，Ff2 向左 C．Ff1 和 Ff2 都向右 D．Ff1 和 Ff2 都向左 6. (2024宝山二模·二·第2题) 如图所示，游泳池中有一初学者双手借助一块浮板，在水面上正以匀速直线运动的方式向前游动，他的双手对浮板施加的力（ ） A．水平向前 B．竖直向下 C．向前偏斜向上 D．向前偏斜向下 7. 如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10 N，则这5个力的合力大小为（ ） （A）50 N （B）30 N （C）20 N （D）10 N 8. 架在A、B两根电线杆之间的均匀电线在夏、冬两季由于热胀冷缩的效应，电线呈现如图所示的两种形状，下列说法中正确的是（ ） （A）夏季与冬季电线对电线杆的拉力大小相等 （B）夏季与冬季电线杆对电线的拉力方向相同 （C）夏季电线对电线杆的拉力较大 （D）冬季电线对电线杆的拉力较大 9.（多选）如图所示是骨折病人的牵引装置示意图，绳的一端固定，绕过定滑轮和动滑轮后挂着一个重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的脚，整个装置在同一竖直平面内。为了使脚所受的拉力减小，可采取的方法是（ ） （A）只减小重物的质量 （B）只将病人的脚向左移动 （C）只将两定滑轮的间距变小 （D）只将两定滑轮的间距变大 10. （多选）水平面上的物体在水平方向的力F1和F2作用下，沿水平面向右做匀速直线运动，如图所示。已知，，下列说法正确的是（ ） （A）撤去的瞬间，物体受到的合外力大小变为5N （B）撤去的瞬间，物体受到的摩擦力大小变为5N （C）撤去的瞬间，物体受到的合外力大小变为5N （D）撤去的瞬间，物体受到的摩擦力大小变为3N 11. （2023学年·西南位育高一上期末）（多选）在各种庆典现场，我们往往会看到空中飘浮着的大氢气球通过一条绳索系着一个重物，重物静置于地面，而氢气球飘浮在空中保持静止，绳索竖直．受水平风力影响，氢气球缓缓偏离原来的位置，绳索与竖直方向的夹角逐渐增大，如图所示．则在这一过程，下列说法中正确的是（　　） A. 系氢气球的绳索所受的拉力逐渐增大 B. 地面对重物的支持力逐渐减小 C. 氢气球所受风力逐渐增大 D. 重物所受地面的摩擦力保持不变 12. （2023学年·长征中学高一上期末）现代人经常低头玩手机，这会使颈椎长期受压，可能引发颈椎病。某同学低头看手机时，可粗略认为头受到重力G、肌肉拉力F和颈椎支持力N，如图所示，若颈椎弯曲与竖直方向成30°，此时肌肉对头的拉力F约为头所受重力的1倍，由此估算颈椎受到的压力大小约为（　　） A. 2G B. C. G D. 13. （2023学年·西南位育高一上期末）为刺激消费，某商场推出用筷子夹金砖的游戏。商家为了让顾客不能夹起金砖，将金砖的竖直剖面设计为等腰梯形，并要求顾客按如图所示方向夹金砖。若筷子与金砖之间的动摩擦因数为0.75（滑动摩擦力等于最大静摩擦力），则梯形底角不应超过（　　） A. 74° B. 53° C. 37° D. 16° 14. （2023学年·上海中学高一上期中）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中 （ ） A. 圆柱体对木板的压力逐渐增大 B. 圆柱体对木板的压力先增大后减小 C. 两根细绳上的拉力均先减小后增大再减小 D. 两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 15. （2023学年·育才中学高一上期中）如图所示是表演抖空竹时的动作，假设空竹是光滑的，不考虑空竹的转动，某时刻表演者两手水平，则表演者在缓慢完成以下动作时，下列说法正确的是（　　） A. 左手不动，右手竖直向上移动一小段距离，绳子拉力大小不变 B. 左手不动，右手水平向左移动一小段距离，绳子拉力大小变大 C. 在同一水平面内，两手之间距离越大，绳子拉力越小 D. 在同一水平面内，两手之间距离变大或者越小，绳子拉力都会增大 16. （2023学年·上海中学高一上期中）如下图所示，一只半球形碗倒扣在水平桌面上处于静止状态，球的半径为R，质量为m的蚂蚁只有在离桌面的高度大于或等于时，才能停在碗上，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，那么蚂蚁和碗面间的动摩擦因数为（　　） A. B. C. D. 17. （2023学年·上海中学高一上期中）如图，穿在一根光滑的固定杆上的两个小球A、B连接在一条跨过定滑轮的细绳两端，杆与水平面成θ=30°角，不计所有摩擦。当两球静止时，OA绳与杆的夹角也为θ，OB绳沿竖直方向，则球A、B的质量之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 18. (2024黄浦二模·三·第4题) 如图（a）为救灾工作中消防员从顶楼直降到某一楼层的瞬间，如图（b）所示 O 点为轻绳悬挂点且保持固定，脚与竖直墙接触点为 A，人的重心在 B，A 与 B 中间部分可简化为轻杆。初始时 ∠OBA = 90°，消防员在缓慢下降过程中 AB 长度以及 AB 与竖直方向的夹角均保持不变。墙对轻杆的弹力大小的变化规律是___________，轻绳上拉力大小的变化规律是___________。（均选择：A．“逐渐减小” B．“逐渐增大” C．“先减小后增大”） ( （ a ） （ b ） O B A B ʹ A ʹ ) 19. （2023学年·建平中学高一上期中）如图所示，帆板船的帆与船身成37°角，今有垂直于帆，大小为500N的风力作用于帆面上，则船在前进方向上获得的推力为_____________N，在船的侧面所受的推力为_____________N。（sin37°=0.6，cos37°=0.8） 20. 如图甲、乙所示，在外力F作用下，A、B两物体一起以相同速度沿F的方向做匀速直线运动，在图甲中A、B间有________对作用力与反作用力。在图乙中A、B间有________对作用力和反作用力。 21. （2023学年·格致中学高一上期末）如图所示，两个质量均为m的物体分别挂在支架上的B点（如图甲所示）和跨过滑轮的轻绳BC上（如图乙所示），图甲中轻杆AB可绕A点转动，图乙中水平轻杆一端A插在墙壁内，已知，重力加速度为g，则图甲中轻杆AB的受力________，图乙中滑轮受到轻杆AB的作用力________。 22. （2023学年·甘泉外国语高一上期末）如图所示，人在岸上通过滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则在船匀速靠岸的过程中，绳的拉力大小的变化情况是__________，小船受的浮力大小的变化情况是__________。 三、综合应用题 23. （2023学年·育才中学高一上期中）如图所示，质量m1=8kg的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°，物体甲及人均处于静止状态。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）求： (1)轻绳OA、OB拉力大小； (2)若人的质量m2=60kg，人与水平面之间的动摩擦因数μ=0.2，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？ 24. （2023学年·七宝中学高一上期中）（1）将一个大小等于20N的力分解为两个力，其中一个分力的大小为16N，另一个分力的大小为12N。作图分析，说明满足上述条件有几种可能性。 （2）如图所示为一侧耳朵佩戴口罩示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k=200N/m的弹性轻绳，原长10cm，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长到12.5cm。此时AB段与水平方向的夹角为15°，DE段与水平方向的夹角为75°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，求耳朵受到口罩带的作用力（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。 25. （2023学年·上海中学高一上期中）如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，且与地面的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。 （1） 计算未拉A时，C受到B作用力的大小F。 （2） A 在移动过程中所受摩擦力f大小是否变化？若不变，请求出其大小；若变化，分析如何变化。 （3） 计算动摩擦因数μ的最小值。 26.（2023学年·晋元中学高一上期中）2022年10月26日上午，中国第39次南极科学考察队的首批队员搭乘雪龙2号出发，历时179天，行程3.6万余海里，这标志着我们国家的第39次南极考察正式展开。“雪龙2号”是我国第一艘自主建造的极地破冰船，长78.95米、宽17.22米，能够在1.5米的厚冰层中连续前进。 在冰层厚度较大的场景，雪龙2号采取了“劈砍”式破冰，原理大致如下：破冰船首先先开足马力，使船头骑到冰面上，再凭借自身的体重“下压”。由于破冰船船头的结构是类似于斧子的形状，在船的自重下，船头一点一点把面前的冰切成冰渣，继续往前重复“劈砍”动作，这种破冰也被叫作冲撞式破冰。 (1). “雪龙2号”从上海出发，前往南极执行科考任务，研究“雪龙2号”此次南极考察运动轨迹时_____（选择：A．能 B． 不能）将其视作质点，判断依据是_____。 (2). 如图所示，船破冰前行时，作出船体对碎冰块的弹力和摩擦力的示意图；其中弹力是由于_____的形变而直接产生的。 (3). “劈砍”式破冰和斧头劈柴的过程类似，船头剖面如图所示。船头对冰层竖直向下的作用力大小为F。若此时船头侧面对冰层的作用大小也为F，则∠CAB大小为_____。 (4). 如图所示，一块重力为G的碎冰块贴着船体一起匀速运动。若船体对碎冰块的作用力大小为F，方向水平向左。船体对冰块的作用力和冰块重力的合力大小为_____，方向为_____。 27. （2023学年·建平中学高一上期中）“蜘蛛人”主要靠一根绳索把自己悬挂在几十层高的大厦外，清洗大厦的玻璃和外墙，成为扮靓城市的一道独特风景，如图所示。已知“蜘蛛人”的质量为m，当地的重力加速度为g。设绳索对其拉力大小为F1，竖直墙壁对其支持力大小为F2，不计他与墙壁间的摩擦力和绳索的重力。 (1). 下列说法正确是（ ） A. 人所受重力施力物体是人 B. 拉力F1是由于绳索发生形变产生的 C. 支持力F2是由于墙壁发生形变产生的 D. 支持力F2方向一定与墙壁垂直 (2). 当“蜘蛛人”静止于某位置时，可简化为如图中所示的模型，此时绳索与竖直墙壁的夹角为θ。下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. (3). 在“蜘蛛人”缓慢上升的过程中，下列说法正确的是（ ） A. F1逐渐增大 B. F2逐渐变小 C. F1和 F2合力逐渐增大 D. F1和 F2合力保持不变 (4). “蜘蛛人”使用可吸附在竖直玻璃上的擦窗工具擦拭玻璃，如图所示。擦窗工具的质量为m0，在竖直平面内受重力、水平向右的拉力和摩擦力（图中未画出摩擦力）的共同作用做匀速直线运动。若拉力大小与重力大小相等，则擦窗工具所受摩擦力大小为___________，方向___________。 28.（2023学年·新川中学高一上期末）手机支架 驾车常用手机导航，如图甲是一种车载磁吸手机支架，手机放上去会被牢牢吸附，磁吸力方向垂直于手机支架斜面。图乙是其侧视图。若手机质量为m，支架斜面的倾角θ=53°（sin53°=0.8，cos53°=0.6），手机与支架接触面间的动摩擦因数为（），设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g。 (1). 若没有磁吸力，请通过计算说明手机会不会滑下来______； (2). 若没有磁吸力，手机和支架一起向左做匀加速直线运动时，两者间恰好没有摩擦力，此时加速度大小为______。若加速度大小为1.5g，手机与支架间无相对滑动，此时支架对手机的摩擦力方向_________。 (3). 若有磁吸力，手机静置在支架斜面上，则（ ） A. 支架对手机的作用力竖直向上 B. 磁吸力增大时，摩擦力增大 C. 手机对支架的作用力和支架对手机的作用力是一对平衡力 D 若θ缓慢增大到90°，手机始终静止，摩擦力先减小后增大 (4). 磁吸力为F时，手机不会滑下来，支架对手机的弹力大小为______，摩擦力的大小为_________。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海新高考-备战2025年高考物理复习精讲练 [03] 共点力平衡 ☺ 知识点梳理 一、力的基本概念 1. 力的基本特征： (1)力的作用一定同时存在施力物体和受力物体。 (2)力的作用效果：①形变；②改变运动状态（速度大小或方向）。 (3)力的三要素：①大小；②方向；③作用点。 3. 力是矢量，正负表示方向和规定方向的相同和相反，不代表大小。 4. 性质力和效果力 (1)性质力：是根据力的性质来定义的力，如本章学习的重力、弹力、摩擦力都是性质力。 (2)效果力：是根据力实际产生的效果而命名的力，如压力、支持力、拉力、动力、阻力、斥力等。 5．共点力 如果一个物体多个力的作用，力的作用点相同，或者力的作用线的延长线交于一点，叫做共点力。 二、重力 1. 定义：重力是由于地球的吸引而使物体受到的力。物体所受重力的施力物体是地球。 2. 方向：竖直向下。 3. G＝mg，g的单位是1N/kg=1m/s2 重力不等于物体受到的地球的吸引力；物体所受的重力与它所处的运动状态、速度大小无关。 4．重力的等效作用点：重心 (1)重心的位置：质量分布均匀的规则物体的重心在其几何中心。 (2)重心可以不在物体上，如下图： (3) 对于薄板状物体的重心，可以应用二力平衡的知识通过“悬挂法”悬挂法确定。 三、弹力 1. 定义：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对跟它接触的物体产生的力叫弹力。 2. 弹力的产生同时具备两个条件：①两个物体直接接触，②发生弹性形变。 3. 弹力的方向：弹力垂直于两物体的接触面，指向被压物体。 常见弹力的方向： 类型 方向 图示 接触方式 面与面 垂直于公共接触面指向受力物体 点与面 过点垂直于面指向受力物体 点与点 垂直于公切面指向受力物体 轻绳 沿绳子指向绳收缩的方向 轻杆 可沿杆的方向 可不沿杆的方向 轻弹簧 沿弹簧形变的反方向 4. 几种典型物体模型的弹力特点如下表． 项目 轻绳 轻杆 弹簧 形变情况 伸长忽略不计 认为长度不变 可伸长可缩短 施力与受力 只能产生拉力 能受拉或受压，可产生拉力或压力 同杆 力的方向 始终沿绳 不一定沿杆 沿弹簧轴向 力的变化 可发生突变 同绳 只能发生渐变 5. 弹力有无及方向的判断 ①直接法：根据物体间是否存在挤压产生形变，这种方法适用于形变明显的情况，如弹簧。 ②假设法： 假设移去和研究对象物体接触的物体，若对象物体运动状态不变，则说明无弹力；反之则有弹力。 如图（a），移除挡板，小球A会沿斜面下滑，不能保持静止状态，所以挡板对小球有向右的弹力； 如图（b），如果剪断细线，小球会沿斜面下滑，不能保持静止状态，所以细线对小球有向上的弹力； 如图（c），如果移去斜面，小球仍然能保持静止状态，所以斜面对小球没有弹力。 如图（d），接触面光滑，若A处有弹力，则无法使球处于静止状态，故A处无弹力。 （a） （b） （c） （d） 6. 细绳的连接点：绳子能滑动，两边的倾角相同，张力相同。 四、胡克定律 1. 胡克定律：在弹簧的弹性限度内，弹力的大小跟弹簧伸长（或缩短）的长度成正比。 2. ，x是弹簧的伸长或缩短量 ①式中的称为弹簧的劲度系数，单位是牛顿每米，符号用表示。 k反映弹簧本身的属性，由弹簧自身的长度、粗细、材料等因素决定，与弹力F的大小和伸长量x无关。 ②变式其含义为：在弹簧的弹性限度以内，弹力大小的增量与弹簧长度的增量成正比 ③此公式F表示弹力的大小，若写成矢量表达式则为：F=-kx 表示弹力的方向和形变方向相反。 3. F－x图像是一条过原点的倾斜直线，直线的斜率表示弹簧的劲度系数k. 4. 弹簧组合问题 (1) 弹簧串联：串联后的总劲度系数：，即总劲度系数变小。 (2) 弹簧并联：并联后的总劲度系数k为：k=k1​+k2​，即总劲度系数变大。 五、滑动摩擦力 1. 定义：一个物体在另一个物体表面相对滑动时，要受到另一个物体阻碍它相对滑动的力。 2. 产生条件：①接触面粗糙；②有弹力；③有相对运动． 3. 方向：滑动摩擦力的方向跟接触面相切且与物体间相对运动的方向相反。 4. 或 Ff＝μFN 5. 效果：总是阻碍物体间的相对运动，但并不总是阻碍物体的运动，可能是动力，也可能是阻力。 六、静摩擦力 1．定义：互相接触的两物体，在接触面上产生的阻碍相对运动趋势的力，叫静摩擦力． 2. 产生条件：(1)相互接触且发生弹性形变；(2)有相对运动趋势；(3)接触面粗糙。 3. 方向：沿着两物体接触面的切线，与相对运动趋势相反。与运动方向可能相同，也可能相反。 4. 静摩擦力的大小： (1)范围：0＜F≤Fmax，Fmax称最大静摩擦力，静摩擦力是被动力，其大小和方向均随外力的改变而改变。 (2)计算方法：根据二力平衡条件求解。 (3)静摩擦力大小与正压力无关，但Fmax与正压力有关，随正压力的增大而增大。 (4)最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，在近似处理或无特殊说明，可认为它们数值相等，如下图： 5. 静摩擦力的判断 (1)假设法：首先假设两物体的接触面是光滑的，判断物体相对运动趋势，进而判断出静摩擦力的方向。 (2)运动状态分析法 例如下图所示，在拉力F作用下，A、B一起在水平地面上做匀速运动。 对A来说，它在水平方向受到向右的拉力F而处于平衡状态， A必然受沿B对它向左的静摩擦力作用。根据物体间相互作用力的特性，B受到A向右的静摩擦力，同时由于物体B相对地面向右滑动，所以B在地面上受到向左的滑动摩擦力作用。 6. 斜面摩擦角 (1) 摩擦角：物体A放在平板的右端，逐渐抬高右端，当物体A刚好下滑或匀速下滑时，斜面与水平面成α角，称摩擦角。 (2) 由，得：，即摩擦角只与斜面粗糙程度有关。斜面越粗糙，摩擦角越大。 (3) 处于摩擦角状态，物体所受合力为0，即斜面对物体的摩擦力和支持力的合力与物体重力等大反向，即竖直向上。 七、力的合成和分解 1. 共点力的合成法则：①平行四边形法则 或 ②三角形法则 2．合力的大小的讨论 (1) （为两个力的夹角） (2) 两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小．(0°≤θ≤180°) ①两分力同向（θ＝0°）时，合力最大，F＝F1＋F2，合力与分力同向。 ②两分力垂直（θ＝90°）时，互相垂直的两力的合力大小。 ③两分力反向（θ＝180°）时，合力最小，F＝|F1－F2|，合力的方向与较大的一个分力的方向相同。 综上，无论为多少，合力的大小取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2 ④若F1＝F2且θ＝120°时，有合力F＝F1＝F2，即矢量三角形是等边三角形。 3.力的分解方法 ⑴ 按力的效果分解 ⑵ 正交分解：通常用于水平和竖直方向，或沿斜面和垂直于斜面方向。 4. 力的分解的讨论 已知合力F、一个分力F1的方向与另一分力F2的大小：（无解、有一组解或两组解） 如上图所示，有四种情况，下面采用图示法和三角形知识进行分析，从力F的端点O作出分力F1的方向，以F的矢端为圆心，用分力F2的大小为半径作圆。 a．当F2＜Fsinα时，圆与F1无交点，说明此时无解，如图（a）所示． b．当F2＝Fsinα时，圆与F1相切，此时有一解，如图（b）所示． c．当F≥F2＞Fsinα时，圆与F1有两个交点，此时有两解，如图（c）所示． d．当F2＞F时，圆与F1作用线只有一个交点，此时只有一解，如图（d）所示． 八、共点力平衡条件 1. 共点力平衡 (1)定义：如果物体受到共点力的作用下，保持静止或匀速运动状态，叫做共点力平衡。 (2)运动学特征：加速度a=0 注意：竖直上抛最高点时，瞬时速度为0，但不是平衡状态。 (3)动力学特征：物体受到的合外力为零。即F合＝0； 其正交分解式为F合x＝0；F合y＝0。 (4)物理题中的“缓慢移动”，无论直线或曲线，都可理解为动态平衡。 (5)三力平衡：三个力平移后构成一个首尾相接、封闭的矢量三角形； (6)多力平衡：取出其中的任意一个力，则这个力必与剩下的（N﹣1）个力的合力等大反向。 2. 共点力平衡的一般解题步骤 (1)选取研究对象：整体法和隔离法 (2)画受力图，即受力分析：一般按照“重力弹力摩擦力”的顺序找力。 (3)建坐标系：沿水平和竖直方向，或沿平行于斜面和垂直于斜面方向。 (4)列方程：通过平衡条件，找出各个力之间的关系，或由平衡条件列方程，即Fx合＝0，Fy合＝0 (5)联立方程求解，必要时对解进行讨论,复杂的问题可能用到三角函数等数学知识。 3. 共点力平衡的主要分析方法 (1)矢量三角形法 一般三力平衡时，画出受力图通过平移，得到首尾相连的矢量三角形，再利用三角函数分析求解。 (2)旋转三角形法 此类问题通常物体受到三个力，一个力（重力）不变，另外一个力方向一定，大小不确定，通过矢量三角形的旋转，分析出各力的大小变化趋势。 (3)正交分解法 沿x轴和y轴方向分别求出合力ΣFx=0和ΣFy=0，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋… 两种典型情况的力的正交分解，如图甲、乙所示： ①水平面上物体斜向上的拉力的分解 ②在斜面上物体重力的分解 　 (4)整体法与隔离法 ①整体法：以几个物体构成的整个系统为研究对象进行求解。 ②隔离法：隔离法的原则是选取受力个数最少部分的来分析。 ③通常在分析外力对系统作用时，用整体法；在分析系统内各物体之间的相互作用时，用隔离法。 有时需要整体法与隔离法交叉使用，常采用先整体后隔离。 (5)相似三角形法 利用矢量三角形与几何三角形相似的关系，列式求解。 ①已知几何三角形中边的关系，通常用对应边成比例列式； ②已知几何三角形中角度的关系，通常正弦定理列式。 (6)作圆法 三个力，其中一个力已知，另外两个力夹角不变。 ☺ 例题精讲 例1.（2023学年·上海中学高一上期中）如图所示，将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ=30°。则F达到最小值时Oa绳上的拉力大小为___________，ab绳子上的拉力大小为___________。（已知重力加速度大小为g） 【答案】 ①. ②. 【详解】[1]以小球a、b为整体，当力方向与Oa绳垂直时，力具有最小值，如图所示 则此时Oa绳上的拉力大小为 [2]此时力最小值 以小球b为对象，由于最小值与小球b重力大小相等，且此时力与小球b重力的夹角为， 根据受力平衡可知ab绳子上的拉力方向在力与小球b重力的夹角的角平分线上， 则ab绳子上的拉力大小为 例2.（2023学年·格致中学高一上期中）超市货架陈列着四个完全相同的篮球，不计摩擦，挡板均竖直，则4球中对圆弧面压力最小的球是（　　） A. a球 B. b球 C. c球 D. d球 【答案】D 【详解】对球受力分析，如图所示 设圆弧面切线与水平方向的夹角为α，根据平衡条件，有 故α越小，N越小，故弧面对小球支持力最小的是d球，根据牛顿第三定律，对弧面压力最小的也是d球。故选D。 例3.（2023学年·东昌中学高一上期末）如图所示，上表面光滑的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一小球用轻质细线系住，细线另一端跨过定滑轮被地面上的人拉着。现让人向右移动，使小球沿斜面缓慢向上运动，斜面体始终保持静止。重力加速度取g=10m/s2。则在小球运动过程中（　　） A. 人与地面间的摩擦力保持不变 B. 斜面体与地面间的摩擦力保持不变 C. 小球的重力和支持力的合力逐渐增大 D. 小球受到的支持力与细线拉力的合力逐渐增大 【答案】C 【详解】A．对小球受力分析如图所示 当拉小球的细绳与竖直方向的夹角减小时，小球受到的支持力FN减小，细线受到的拉力增大，所以人与地面间的摩擦力增大，故A错误； B．对斜面体受力分析如图 小球对斜面的压力减小，但方向不变，所以支持力的水平分力减小，所以摩擦力也会减小。故B错误； C．小球受到的三个力的合力为零，故重力和支持力的合力与细线的拉力等大反向，所以小球的重力和支持力的合力逐渐增大，故C正确； D．小球所受支持力和拉力的合力与重力等大反向，重力不变，所以小球受到的支持力与细线拉力的合力也保持不变，故D错误；故选C。 例4.（2023学年·东昌中学高一上期末）如图所示，四分之一圆柱体放在水平地面上，右侧与一块固定的竖直挡板Q接触。球心O的正上方有一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体上的小球m连接，另一端系在固定竖直杆上的B点。现将一重物M用轻质挂钩挂在AB间的轻绳上，整个装置处于静止状态。不计一切摩擦，则（　　） A. 若绳子B端固定，将M竖直向下缓慢移动一小段距离，绳子的拉力变大 B. 若绳子B端固定，将M竖直向下缓慢移动一小段距离，P对Q的压力不变 C. 将轻绳B端沿杆向上缓慢移动一小段距离，绳子的拉力变大 D. 将轻绳B端沿杆向上慢移动一小段距离，P对地面的压力不变 【答案】D 【详解】A．对挂钩与轻绳的结点受力分析，若绳子B端固定，将M竖直向下缓慢移动一小段距离，结点两侧轻绳夹角变小，当M向下的拉力不变的情况下，根据三角形定则可知绳子的拉力变小，故A错误； B．对小球m和四分之一圆柱体P整体受力分析，如下图 根据平衡。可得 将M竖直向下缓慢移动一小段距离的过程中，T变小，θ变大，则F弹变小，根据牛顿第三定律可知，P对Q的压力变小，故B错误； CD．轻绳B端向上缓慢移动一小段距离，根据受力分析可知小球m没有发生位移，因此AMB变成了晾衣架问题，绳长不会变化，A到右边竖直杆的距离不变，因此轻绳角度不会发生变化，即轻绳的拉力也不会变化，此过程中，小球m位置也没有发生变化，则P对地面的压力不变，故C错误，D正确。 例5.（2023学年·上海中学高一上期中）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是（　　） A. F不变，FN增大 B. F不变，FN减小 C. F减小，FN不变 D. F增大，FN减小 【答案】C 【详解】小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，受力示意图如图所示 由图可知，即 当A点上移时，半径不变，AB长度减小，故F减小，FN不变，C正确。 例6.（2023学年·川沙中学高一上期末）如图，用力传感器A、B共同支起一个质量为m的光滑球。其中A对球的作用力方向与水平方向间夹角始终为30°，B对球的作用力方向可调。为使球保持平衡，传感器B对球作用力的作用点所在范围为______（在区域①、②、③、④、⑤中选填），作用力的最小值为______。（重力加速度为g） 【答案】 ①. ②③ ②. mg 【详解】[1]以球为研究对象，受重力G和力传感器A对它的支持力FA作用，如图： 为使球保持平衡，传感器B对球作用力的作用点所在范围应在②③区域内。 [2]当传感器B对球作用力FB与传感器A对它的支持力FA垂直的时候作用力的最小， 最小值为 。 例7. 如图所示，水平地面上固定有一竖直光滑杆，杆上套有质量为m的圆环，地面上放一质量为M的物块，圆环和物块由绕过光滑定滑轮的轻绳相连，物块恰好不滑动，连接圆环和物块的轻绳与竖直方向的夹角分别为，。认为物块与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（重力加速度，取，）求： （1）轻绳的拉力大小； （2）物块对地面的压力大小； （3）物块与地面间的动摩擦因数。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】(1)将圆环所受轻绳的拉力分解，对圆环有 解得 (2)设物体所受地面的支持力大小为， 解得根据牛顿第三定律，可知物体对地面的压力与地面对物体的支持力大小相等，为 (3)对物体进行受力分析可知，此时物块受的静摩擦力恰好最大（设摩擦力为f）， 解得 ☺ 强化训练 一、选择题 1. （2023学年·曹杨二中高一上期中）如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止，则物体A的受力个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【详解】先对B受力分析，B受重力，推力F，及A对B的支持力与摩擦力四个力作用才能平衡，然后整体法受力分析可知，竖直墙壁对物体A，有弹力及摩擦力作用，所以物体A两个接触面都有弹力及摩擦力作用，再加上重力，则物体A一共受5个力作用。 故选D。 2. （2023学年·上海中学高一上期中）如图，两梯形木块M、P叠放在水平地面上，M、P之间的接触面倾斜。连接M与天花板之间的细绳沿竖直方向。关于力的分析，下列说法正确的是（　　） A. 木块M不可能仅受二个力作用 B. 木块M可能仅受三个力作用 C. 木块M一定受四个力作用 D. 地面可能受到水平向左的摩擦力 【答案】B 【详解】A．虽然木块M与木块P接触，但若木块M对木块P恰好无压力，则此种情况下木块M只受重力与绳子的拉力两个力的作用，故A错误； BC．绳子拉力为零时，木块M受重力，P对M垂直接触面斜向右上方的支持力以及接触面间P对M沿着接触面向上的静摩擦力，故B正确，C错误； D．两种极限情况，若M与P接触无挤压，此时P受重力与地面对它的支持力，P没有相对地面运动的趋势，因此地面对P无摩擦力作用；若绳子张力为零，将M、P看成一个整体，整体受重力与地面对整体的支持力，整体相对于地面没有运动的趋势，因此地面对P无摩擦力作用；若绳子张力不为零，且M对P有挤压，则仍可将M、N看成一个整体分析，整体受重力，地面对其竖直向上的支持力以及绳子对其竖直向上的拉力，整体没有相对地面运动的趋势，因此地面对P无摩擦力作用，故D错误。 3．(2024普陀二模·四·第12题) 某同学静止站在水平地面上放风筝（风筝的重力不能忽略），他缓慢释放拉风筝的细线，风筝先后经过同一竖直线上的 a、b 两点，如图所示。若风筝在 a、b 两点时，细线对风筝的拉力大小相等。 ( a b ) （1）风筝在 a、b 两点受到空气对其的作用力大小分别为 Fa、Fb，则（ ） A．Fa > Fb B．Fa = Fb C．Fa < Fb 【答案】C 【解析】如图，由平行四边形法则可知，b的空气作用力大，C正确。 （2）风筝在 a、b 两点受到空气对其的作用力方向与竖直方向的夹角分别为 θa、θb，则（ ） A．θa＞θb B．θa = θb C．θa＜θb 【答案】A 【解析】如（1）图，b的夹角小。 4．(2024嘉定二模·五·第1题) 大自然中喷瓜传播种子的方式比较特别。喷瓜结构如图（a）所示，茎通过果柄给果实输送水分和养分，成熟后的果实内部挤满了种子和黏性液体。果实一受到触动就会和果柄分开，断开处会出现一个小孔，浆液及种子就会从这个小孔里喷射出来，使果实飞出。 ( 果实 果柄 （ a ） （ b ） 茎 ) 图（b）为静止低垂的果实的示意图，果实对果柄的作用力方向最接近的是（ ） ( A B C D ) 【答案】D 【解析】果柄对果实的作用力和果实的重力相平衡，所以竖直向上，则反作用力竖直向下，D正确。 5. (2024宝山二模·一·第2题) 如图所示，一辆自行车在水平路面上，设自行车被骑行时地面对后轮的摩擦力为 Ff1，自行车被推行时地面对后轮的摩擦力为 Ff2，则（ ） A．Ff1 向左，Ff2 向右 B．Ff1 向右，Ff2 向左 C．Ff1 和 Ff2 都向右 D．Ff1 和 Ff2 都向左 【答案】B 【解析】骑行时后轮摩擦力为动力，向前；推行时前后轮的摩擦力为阻力，向后，所以B正确。 6. (2024宝山二模·二·第2题) 如图所示，游泳池中有一初学者双手借助一块浮板，在水面上正以匀速直线运动的方式向前游动，他的双手对浮板施加的力（ ） A．水平向前 B．竖直向下 C．向前偏斜向上 D．向前偏斜向下 【答案】D 【解析】由于人在水中受重力影响会下沉，所以会对浮板有一竖直向下的压力，对浮板分析，在水平方向由于浮板匀速向前，所以浮板受到向后的摩擦力，所以需要一个向前的大来与摩擦力平衡，这一力只能有人提供，所以浮板受到人提供的向前偏斜向下的力;故D正确，ABC错误。故选: D。 7. 如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10 N，则这5个力的合力大小为（ ） （A）50 N （B）30 N （C）20 N （D）10 N 【答案】B 【详解】利用三角形定则可知，F2和F4的合力等于F1，F5和F3的合力也等于F1，所以这5个力的合力大小为3F1＝30 N。 故选B。 8. 架在A、B两根电线杆之间的均匀电线在夏、冬两季由于热胀冷缩的效应，电线呈现如图所示的两种形状，下列说法中正确的是（ ） （A）夏季与冬季电线对电线杆的拉力大小相等 （B）夏季与冬季电线杆对电线的拉力方向相同 （C）夏季电线对电线杆的拉力较大 （D）冬季电线对电线杆的拉力较大 【答案】D 【详解】以电线为研究对象，夏季和冬季电线杆对电线的拉力方向发生变化，即电线重力的两个分力的夹角发生变化，在冬季，两分力夹角更大，所以分力更大，使电线对电线杆的拉力更大。故选D。 9.（多选）如图所示是骨折病人的牵引装置示意图，绳的一端固定，绕过定滑轮和动滑轮后挂着一个重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的脚，整个装置在同一竖直平面内。为了使脚所受的拉力减小，可采取的方法是( ) （A）只减小重物的质量 （B）只将病人的脚向左移动 （C）只将两定滑轮的间距变小 （D）只将两定滑轮的间距变大 【答案】AD 【详解】A．脚受到的拉力等于两侧绳拉力的合力，只减小重物的质量，绳的拉力减小，合力减小，A正确； B．只将病人的脚向左移动，θ角减小，合力增大，B错误； CD．只将两定滑轮间距变小，θ角变小，合力增大，反之，只将两定滑轮的间距变大，合力减小，C错误，D正确。 故选AD。 10. （多选）水平面上的物体在水平方向的力F1和F2作用下，沿水平面向右做匀速直线运动，如图所示。已知，，下列说法正确的是（ ） （A）撤去的瞬间，物体受到的合外力大小变为5N （B）撤去的瞬间，物体受到的摩擦力大小变为5N （C）撤去的瞬间，物体受到的合外力大小变为5N （D）撤去的瞬间，物体受到的摩擦力大小变为3N 【答案】CD 【详解】物体开始在水平方向受三个力作用而平衡，根据平衡条件可得物体所受的摩擦力大小为 f=F1-F2=8N-5N=3N，方向水平向左。 AB．撤去F1的瞬间，物体受到的摩擦力大小仍为3N，方向不变，物体受到的合外力大小变为8N，AB错误； CD．撤去F2的瞬间，物体受到的摩擦力大小仍为3N，方向不变，物体受到的合外力大小变为5N，CD正确。 11. （2023学年·西南位育高一上期末）（多选）在各种庆典现场，我们往往会看到空中飘浮着的大氢气球通过一条绳索系着一个重物，重物静置于地面，而氢气球飘浮在空中保持静止，绳索竖直．受水平风力影响，氢气球缓缓偏离原来的位置，绳索与竖直方向的夹角逐渐增大，如图所示．则在这一过程，下列说法中正确的是（　　） A. 系氢气球的绳索所受的拉力逐渐增大 B. 地面对重物的支持力逐渐减小 C. 氢气球所受风力逐渐增大 D. 重物所受地面的摩擦力保持不变 【答案】AC 【详解】受力分析如图，根据平衡条件得 ， A．由于气球的重力及浮力不变，当绳索与竖直方向的夹角逐渐增大时，系氢气球的绳索所受的拉力逐渐增大。A正确； B．对系统做整体分析，地面对重物的支持力与系统的重力及浮力平衡，所以地面对重物的支持力不变。B错误； C．因为绳子拉力增大，夹角增大，所以风力逐渐增大。C正确； D．整体分析，有摩擦力与风力平衡，所以摩擦力逐渐增大。D错误。 12. （2023学年·长征中学高一上期末）现代人经常低头玩手机，这会使颈椎长期受压，可能引发颈椎病。某同学低头看手机时，可粗略认为头受到重力G、肌肉拉力F和颈椎支持力N，如图所示，若颈椎弯曲与竖直方向成30°，此时肌肉对头的拉力F约为头所受重力的1倍，由此估算颈椎受到的压力大小约为（　　） A. 2G B. C. G D. 【答案】B 【详解】由平衡条件知，重力G与肌肉拉力F的合力与颈椎支持力N平衡， 根据几何关系及力的平行四边形定则得 N＝2Gcos 30°＝ 由牛顿第三定律知，颈椎受到的压力大小约为 故选B。 13. （2023学年·西南位育高一上期末）为刺激消费，某商场推出用筷子夹金砖的游戏。商家为了让顾客不能夹起金砖，将金砖的竖直剖面设计为等腰梯形，并要求顾客按如图所示方向夹金砖。若筷子与金砖之间的动摩擦因数为0.75（滑动摩擦力等于最大静摩擦力），则梯形底角不应超过（　　） A. 74° B. 53° C. 37° D. 16° 【答案】B 【详解】设梯形底角为θ，对金砖进行受力分析，如图所示，商家需要无论金砖质量如何，都不能夹起金砖，则应有 解得 故选B。 14. （2023学年·上海中学高一上期中）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中 （ ） A. 圆柱体对木板的压力逐渐增大 B. 圆柱体对木板的压力先增大后减小 C. 两根细绳上的拉力均先减小后增大再减小 D. 两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【详解】ABC．圆柱体的受力分析图（侧视图）如图所示 根据三角形相似 当木板缓慢转动直至水平的过程中，保持不变，不变，由直角逐渐减小，减小，由锐角逐渐增大变为钝角，先增大后减小，故减小，先增大后减小，所以压力先增大后减小。故AD错误，B正确； D．由于两绳拉力的合力减小，而两绳的夹角保持不变，故两绳上的拉力减小。故C错误。 15. （2023学年·育才中学高一上期中）如图所示是表演抖空竹时的动作，假设空竹是光滑的，不考虑空竹的转动，某时刻表演者两手水平，则表演者在缓慢完成以下动作时，下列说法正确的是（　　） A. 左手不动，右手竖直向上移动一小段距离，绳子拉力大小不变 B. 左手不动，右手水平向左移动一小段距离，绳子拉力大小变大 C. 在同一水平面内，两手之间距离越大，绳子拉力越小 D. 在同一水平面内，两手之间距离变大或者越小，绳子拉力都会增大 【答案】A 【详解】如图所示 设两手水平距离为d，两段绳长分别为L1、L2，绳子总长为L，两段绳子与竖直方向的夹角为， 根据几何知识 其中 解得 设绳子拉力为F，空竹重力为G，根据平衡条件 解得 A．根据，左手不动，右手竖直向上移动一小段距离，绳子与竖直方向的夹角不变， 根据 绳子拉力大小不变，A正确； B．左手不动，右手水平向左移动一小段距离，d变小，根据可得，变小， 根据 可得绳子拉力大小变小，B错误； CD．在同一水平面内，两手之间距离越大，d越大，根据可得，越大， 根据 可得绳子拉力大小越大；同理可得，在同一水平面内，两手之间距离越小，d越小，根据可得，越小，绳子拉力大小越小，故CD错误。 16. （2023学年·上海中学高一上期中）如下图所示，一只半球形碗倒扣在水平桌面上处于静止状态，球的半径为R，质量为m的蚂蚁只有在离桌面的高度大于或等于时，才能停在碗上，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，那么蚂蚁和碗面间的动摩擦因数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】如图所示 蚂蚁受重力、支持力和摩擦力处于平衡，根据共点力平衡有 而 根据 所以 故选C。 17. （2023学年·上海中学高一上期中）如图，穿在一根光滑的固定杆上的两个小球A、B连接在一条跨过定滑轮的细绳两端，杆与水平面成θ=30°角，不计所有摩擦。当两球静止时，OA绳与杆的夹角也为θ，OB绳沿竖直方向，则球A、B的质量之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】以B为对象，根据受力平衡可知，B只受到重力和绳子拉力作用，则有 以A为对象，沿斜面方向根据受力平衡可得 ， 即： 联立可得球A、B的质量之比为 故选A。 二、填空题 18. (2024黄浦二模·三·第4题) 如图（a）为救灾工作中消防员从顶楼直降到某一楼层的瞬间，如图（b）所示 O 点为轻绳悬挂点且保持固定，脚与竖直墙接触点为 A，人的重心在 B，A 与 B 中间部分可简化为轻杆。初始时 ∠OBA = 90°，消防员在缓慢下降过程中 AB 长度以及 AB 与竖直方向的夹角均保持不变。墙对轻杆的弹力大小的变化规律是___________，轻绳上拉力大小的变化规律是___________。（均选择：A．“逐渐减小” B．“逐渐增大” C．“先减小后增大”） ( （ a ） （ b ） O B A B ʹ A ʹ ) 【答案】A；B 【解析】杆提供支持力，否则无法平衡，并且可以转动。两种情况相比较，重力大小方向不变，杆的支持力方向不变，作出受力图如图所示，消防员下降一定高度后，再次保持静止时，此过程中消防员所受的合力为零，不变，相对于初始位置48杆的支持力变小(选A)，OB绳拉力逐渐增大(选B)。 19. （2023学年·建平中学高一上期中）如图所示，帆板船的帆与船身成37°角，今有垂直于帆，大小为500N的风力作用于帆面上，则船在前进方向上获得的推力为_____________N，在船的侧面所受的推力为_____________N。（sin37°=0.6，cos37°=0.8） 【答案】 ①. 300 ②. 400 【详解】[1]船在前进方向获得的推力为 [2]]船在侧面所受的推力为 20. 如图甲、乙所示，在外力F作用下，A、B两物体一起以相同速度沿F的方向做匀速直线运动，在图甲中A、B间有________对作用力与反作用力。在图乙中A、B间有________对作用力和反作用力。 【答案】     1     2 【详解】[1]甲中A做匀速直线运动，A物体受重力和支持力，因甲中A没有相对于B的运动趋势， 则甲中A不受摩擦力；A、B间只有压力和支持力1对作用力与反作用力； [2]图乙中A是平衡状态，A物体受重力、支持力和沿斜面向上摩擦力，故A、B间有压力和支持力， 摩擦力作用力和反作用力，共2对作用力与反作用力。 21. （2023学年·格致中学高一上期末）如图所示，两个质量均为m的物体分别挂在支架上的B点（如图甲所示）和跨过滑轮的轻绳BC上（如图乙所示），图甲中轻杆AB可绕A点转动，图乙中水平轻杆一端A插在墙壁内，已知，重力加速度为g，则图甲中轻杆AB的受力________，图乙中滑轮受到轻杆AB的作用力________。 【答案】 ①. ②. mg 【详解】[1]甲图中结点受力如图 轻绳BC对结点的拉力为T，AB对结点的支持力为F，则 根据牛顿第三定律可知图甲中轻杆AB的受力 [2]乙图中，绳子对滑轮的作用力应是两股绳的合力，如图所示 则菱形特点和平衡关系可知 根据平衡可知，滑轮受轻杆作用力为mg。 22. （2023学年·甘泉外国语高一上期末）如图所示，人在岸上通过滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则在船匀速靠岸的过程中，绳的拉力大小的变化情况是__________，小船受的浮力大小的变化情况是__________。 【答案】 ①. 逐渐增大 ②. 逐渐减小 【详解】[1][2]以船为对象，受力如图所示 设绳子与水平方向的夹角为，根据受力平衡可得 ， 在船匀速靠岸的过程中，水的阻力恒定不变，逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大， 则绳的拉力逐渐增大；小船受的浮力逐渐减小。 三、综合应用题 23. （2023学年·育才中学高一上期中）如图所示，质量m1=8kg的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°，物体甲及人均处于静止状态。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）求： (1)轻绳OA、OB拉力大小； (2)若人的质量m2=60kg，人与水平面之间的动摩擦因数μ=0.2，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？ 【答案】（1），（2） 【详解】（1）以结点O为研究对象，如图所示，建立直角坐标系。 将分解，由平衡条件 ， 联立解得 ， （2）当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值 由平衡条件得 又 解得 24. （2023学年·七宝中学高一上期中）（1）将一个大小等于20N的力分解为两个力，其中一个分力的大小为16N，另一个分力的大小为12N。作图分析，说明满足上述条件有几种可能性。 （2）如图所示为一侧耳朵佩戴口罩示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k=200N/m的弹性轻绳，原长10cm，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长到12.5cm。此时AB段与水平方向的夹角为15°，DE段与水平方向的夹角为75°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，求耳朵受到口罩带的作用力（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。 【答案】（1）有两种可能，分析见解析；（2） 【详解】（1）作出力F的图示，然后分别以F的首、尾为圆心，以16N和12N为半径做两个圆，如图所示，两圆的交点在F 的上、下两侧有对称的两个，根据平行四边形法则（三角形法则）可作出两个平行四边形，因此有两种可能。 （2）根据 可知弹性绳的弹力大小为 由题可知AB、CD夹角为60o，由平行四边形法则，耳朵受到口罩带的作用力 25. （2023学年·上海中学高一上期中）如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，且与地面的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。 （1） 计算未拉A时，C受到B作用力的大小F。 （2） A 在移动过程中所受摩擦力f大小是否变化？若不变，请求出其大小；若变化，分析如何变化。 （3） 计算动摩擦因数μ的最小值。 【答案】（1）；（2）不变；μmg（3） 【详解】（1）未拉A时，C受到AB的作用力大小相等，方向与竖直方向夹角均为30°，则 2Fcos30°=mg 可得 （2）A 在移动过程中，对ABC整体可知，A对地面的压力大小恒定为mg，则所受摩擦力f大小不变， 恒定为f=μmg （3）圆柱C恰好降落到地面时，B对C支持力最大为Fm，如图所示， 则根据力的平衡可得 2Fmcos60°=mg 解得 Fm=mg 所以最大静摩擦力至少为 fm=Fmcos30°=mg B对的地面的压力为 FN=mBg+mCg=mg B受地面的摩擦力为 f=μmg 根据题意有 fm=f 解得 μ= 26.（2023学年·晋元中学高一上期中）2022年10月26日上午，中国第39次南极科学考察队的首批队员搭乘雪龙2号出发，历时179天，行程3.6万余海里，这标志着我们国家的第39次南极考察正式展开。“雪龙2号”是我国第一艘自主建造的极地破冰船，长78.95米、宽17.22米，能够在1.5米的厚冰层中连续前进。 在冰层厚度较大的场景，雪龙2号采取了“劈砍”式破冰，原理大致如下：破冰船首先先开足马力，使船头骑到冰面上，再凭借自身的体重“下压”。由于破冰船船头的结构是类似于斧子的形状，在船的自重下，船头一点一点把面前的冰切成冰渣，继续往前重复“劈砍”动作，这种破冰也被叫作冲撞式破冰。 (1). “雪龙2号”从上海出发，前往南极执行科考任务，研究“雪龙2号”此次南极考察运动轨迹时_____（选择：A．能 B． 不能）将其视作质点，判断依据是_____。 【答案】 ①. 能 ②. 考察船的大小与所研究的运动轨迹相比可忽略不计 【详解】[1][2]研究“雪龙2号”此次南极考察运动轨迹时能将其视作质点，判断依据是：考察船的大小与所研究的运动轨迹相比可忽略不计。 (2). 如图所示，船破冰前行时，作出船体对碎冰块的弹力和摩擦力的示意图；其中弹力是由于_____的形变而直接产生的。 【答案】船体 【详解】船体对碎冰块的弹力是由于船体的形变而直接产生的。 (3). “劈砍”式破冰和斧头劈柴的过程类似，船头剖面如图所示。船头对冰层竖直向下的作用力大小为F。若此时船头侧面对冰层的作用大小也为F，则∠CAB大小为_____。 【答案】60° 【详解】[1]根据力的分解如图： 根据几何关系可知 解得 ∠CAB=60° (4). 如图所示，一块重力为G的碎冰块贴着船体一起匀速运动。若船体对碎冰块的作用力大小为F，方向水平向左。船体对冰块的作用力和冰块重力的合力大小为_____，方向为_____。 【答案】 ①. ②. 与水平向左方向呈角 【详解】[1]根据力的矢量叠加，船体对冰块的作用力和冰块重力的合力大小为 [2]设船体对冰块的作用力和冰块重力的合力方向与水平向左方向的夹角为，则 船体对冰块的作用力和冰块重力的合力方向与水平向左方向的夹角为 27. （2023学年·建平中学高一上期中）“蜘蛛人”主要靠一根绳索把自己悬挂在几十层高的大厦外，清洗大厦的玻璃和外墙，成为扮靓城市的一道独特风景，如图所示。已知“蜘蛛人”的质量为m，当地的重力加速度为g。设绳索对其拉力大小为F1，竖直墙壁对其支持力大小为F2，不计他与墙壁间的摩擦力和绳索的重力。 (1). 下列说法正确是（ ） A. 人所受重力施力物体是人 B. 拉力F1是由于绳索发生形变产生的 C. 支持力F2是由于墙壁发生形变产生的 D. 支持力F2方向一定与墙壁垂直 (2). 当“蜘蛛人”静止于某位置时，可简化为如图中所示的模型，此时绳索与竖直墙壁的夹角为θ。下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. (3). 在“蜘蛛人”缓慢上升的过程中，下列说法正确的是（ ） A. F1逐渐增大 B. F2逐渐变小 C. F1和 F2合力逐渐增大 D. F1和 F2合力保持不变 (4). “蜘蛛人”使用可吸附在竖直玻璃上的擦窗工具擦拭玻璃，如图所示。擦窗工具的质量为m0，在竖直平面内受重力、水平向右的拉力和摩擦力（图中未画出摩擦力）的共同作用做匀速直线运动。若拉力大小与重力大小相等，则擦窗工具所受摩擦力大小为___________，方向___________。 【答案】(1). BCD (2). BC (3). AD (4). ①. ②. 斜向左上方 【1题详解】 A．人所受重力的施力物体是地球，A错误； B．拉力F1是由于绳索发生形变，要恢复原状产生的，B正确； C．支持力F2是由于墙壁发生形变，要恢复原状产生的，C正确； D．支持力F2方向一定与接触面即墙壁垂直，D正确。 【2题详解】 由平衡得 ， 得 ， 故选BC。 【3题详解】 缓慢上升的过程中，θ逐渐增大，根据 ， F1逐渐增大，F2逐渐增大。但F1与F2的合力等于重力，保持不变。 故选AD。 【4题详解】 [1][2]拉力大小与重力大小相等，由平衡得，摩擦力大小为 方向斜向左上方。 28.（2023学年·新川中学高一上期末）手机支架 驾车常用手机导航，如图甲是一种车载磁吸手机支架，手机放上去会被牢牢吸附，磁吸力方向垂直于手机支架斜面。图乙是其侧视图。若手机质量为m，支架斜面的倾角θ=53°（sin53°=0.8，cos53°=0.6），手机与支架接触面间的动摩擦因数为（），设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g。 (1). 若没有磁吸力，请通过计算说明手机会不会滑下来______； (2). 若没有磁吸力，手机和支架一起向左做匀加速直线运动时，两者间恰好没有摩擦力，此时加速度大小为______。若加速度大小为1.5g，手机与支架间无相对滑动，此时支架对手机的摩擦力方向_________。 (3). 若有磁吸力，手机静置在支架斜面上，则（ ） A. 支架对手机的作用力竖直向上 B. 磁吸力增大时，摩擦力增大 C. 手机对支架的作用力和支架对手机的作用力是一对平衡力 D 若θ缓慢增大到90°，手机始终静止，摩擦力先减小后增大 (4). 磁吸力为F时，手机不会滑下来，支架对手机的弹力大小为______，摩擦力的大小为_________。 【答案】(1). 会，原因见解析 (2). ①. ②. 沿支架斜面向下 (3). A (4). ①. ②. 【1题详解】 [1]若没有磁吸力，手机受到重力、支持力和摩擦力，手机受力情况如图所示 最大静摩擦力为 重力沿支架方向的分力为 由于，所以 所以手机会滑下来。 【2题详解】 [1]若没有磁吸力，手机和支架一起向左做匀加速直线运动时，两者间恰好没有摩擦力，则手机受重力和支架的支持力，如图 由牛顿第二定律得 解得 [2]若加速度大小为 手机所受水平向左的合力增大，则支架对手机的摩擦力方向沿支架斜面向下。 【3题详解】 A．手机处于静止状态，受力平衡，受到重力和支架对手机的作用力，根据平衡条件可知，支架对手机的作用力大小等于重力，方向与重力方向相反，竖直向上，故A正确； B．摩擦力与手机的重力沿支架斜面向下的分力大小相等，磁吸力增大时，摩擦力大小不变，故B错误； C．手机对支架的作用力和支架对手机的作用力是一对作用力与反作用力，故C错误； D．若缓慢增大到90°，手机始终静止，摩擦力一直增大，故D错误。 【4题详解】 [1]磁吸力为F时，手机不会滑下来，则支架对手机的弹力大小为 [2]摩擦力的大小为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$