1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时 用空间向量研究距离问题）同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 A组 1.已知△ABC的三个顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在直线的距离为(　　) A.a B.a C.a D. 4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是(　　) A. B. C. D. 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为　　　　　.  6.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为　 .  7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则点D到平面EFD1B1的距离为　　　　　.  8.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. (1)证明:D1E⊥A1D. (2)当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离. 9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,底面边长与侧棱长都等于2,O,O1分别为AC,A1C1的中点,求平面AB1O1与平面BC1O间的距离. B组 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是(　　) A. B. C. D. 2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AA1=3,底面是边长为4,且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中点,则点E到平面O1BC的距离为(　　) A.2 B.1 C. D.3 3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为(　　) A. B. C. D. 4.（多选题）如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是(　　) A.()2=2 B.·()=0 C.向量的夹角是60° D.BD1与AC所成角的余弦值为 5.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,在CD上截取CE=4,将△BCE沿BE折起成△BC1E,而且使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD,则点C1到直线AB的距离为　　　　　.  6.如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为　　　　　.  7.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,E,F分别是棱C1C,BC的中点. (1)求证:B1F⊥平面AEF; (2)求点F到平面EAB1的距离. 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ABC =90°,PA=AD=2,AB=BC=1,请问:在线段PA上是否存在一点M,使其到平面PCD的距离为?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由. 参考答案 A组 1.C 解析:由已知得=(4,-5,0),=(0,4,-3). 设边AC上的高为BD.||==4,||=, 所以边AC上的高BD==5. 2.D 解析:以PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以=(1,0,0). 可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1), 则点P到平面ABC的距离d=. 3.A 解析:建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,连接A1B. ∵A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a), ∴=(0,a,-a),=(-a,0,a). 取a==(0,a,-a),u=. ∴点A1到BC1的距离为a. 4.D 解析:建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示, 则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0), 所以=(-1,0,1),=(0,1,-1), . 因为,且直线AD1与MN不重合, 所以MN∥AD1. 又MN⊄平面ACD1, 所以MN∥平面ACD1. 所以直线MN与平面ACD1之间的距离等于点M到平面ACD1的距离. 设平面ACD1的法向量n=(x,y,z), 则n·=0,n·=0. 可得n=(1,1,1)为平面ACD1的一个法向量. 连接AM,因为-(1,0,0)=, 所以点M到平面ACD1的距离d=. 所以直线MN与平面ACD1间的距离为. 5. 解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1). 设M为AC中点,则M, 所以. 因为AD1=CD1, 所以MD1⊥AC. 所以MD1的长即为点D1到AC的距离. 而||=,所以点D1到AC的距离为. 6. 解析:以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. ∵P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0), ∴=(3,0,-1),=(-3,4,0). 取a==(3,0,-1),u=, 则a2=10,a·u=-. ∴点P到直线BD的距离为. 7. 解析:建立空间直角坐标系D1xyz,如图所示, 则D1(0,0,0),F,E,B1(1,1,0),D(0,0,1),所以=,=(1,1,0). 可求得平面EFD1B1的一个法向量为n=. 又=(0,0,1),所以点D到平面EFD1B1的距离d=. 8.解:以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示, 则A1(1,0,1),D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0). (1)证明:设E(1,y,0)(0≤y≤2), 则=(1,y,-1),=(-1,0,-1). 由于=0,故D1E⊥A1D. (2)=(-1,2,0),=(1,0,-1). 设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z), 则所以 可取n=(2,1,2). 当E为AB的中点时,E(1,1,0),则=(0,1,0), 所以点E到平面ACD1的距离为. 9.解:如图,连接OO1,则O1C1∥AO,且O1C1=AO, 所以四边形AOC1O1为平行四边形,所以AO1∥OC1,AO1⊄平面BC1O,OC1⊂平面BC1O, 所以AO1∥平面BC1O, 又OB∥O1B1,O1B1⊄平面BC1O,OB⊂平面BC1O,所以O1B1∥平面BC1O, 又AO1∩O1B1=O1,所以平面AB1O1∥平面BC1O. ∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离. 由题意,OO1⊥底面ABC,OB,AC,OO1两两垂直. 则以O为原点,以OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. ∵O(0,0,0),B(,0,0),C1(0,1,2),O1(0,0,2), ∴=(,0,0),=(0,1,2),=(0,0,2). 设n=(x,y,z)为平面BC1O的法向量, 则 取z=-1可得n=(0,2,-1). 点O1到平面BC1O的距离记为d, 则d=. ∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为. B组 1.B 解析:以向量的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Bxyz(图略), 取a==(2,0,0),u=, 则a2=4,a·u=.所以点A到直线BE的距离为. 2.C 解析:由题意知OO1⊥平面ABCD,所以OO1⊥OA,OO1⊥OB. 又OA⊥OB,则以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示. 因为底面ABCD是边长为4,∠DAB=60°的菱形, 所以OA=2,OB=2. 则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3), 所以=(0,2,-3),=(-2,0,-3). 设平面O1BC的法向量为n=(x,y,z), 则n⊥,n⊥, 所以所以 所以可取n=(-,3,2). 因为E是O1A的中点, 所以E. 所以. 所以点E到平面O1BC的距离为. 3.B 解析:建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示, 则A1(0,-1,0),B(0,1,1),C(,0,1),A(0,-1,1), 所以=(0,0,1),=(0,2,1),=(,1,1). 设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z), 则n·=0,n·=0,可得n=为平面A1BC的一个法向量. 所以点A到平面A1BC的距离为. 4.AB 解析:以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°,可设棱长为1,则=1×1×cos 60°=,()2=+2+2+2=1+1+1+3×2×=6, 而2=2()2=2(+2)=2=2×3=6,所以A正确. ·()=()·()==0,所以B正确. 向量,显然△AA1D为等边三角形,则∠AA1D=60°. 所以向量的夹角是120°,向量的夹角是120°,则C不正确. 又, 则, ||==()·()=1, 所以cos<>=,所以D不正确. 5.2 解析:建立空间直角坐标系Axyz,如图所示, 则A(0,0,0),B(6,0,0),C1(4,2,2),D(0,4,0), 于是=(-6,0,0),=(-2,2,2). 向量的单位向量u=(-1,0,0),取a==(-2,2,2). 所以点C1到直线AB的距离为=2. 6. 解析:建立空间直角坐标系D1xyz,如图所示, 则A1(1,0,0),B1(1,1,0),D1(0,0,0),N, ∴=(1,1,0),. ∵E,F,M,N分别是所在棱的中点, ∴易证平面A1EF∥平面B1NMD1, ∴平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为点A1到平面B1NMD1的距离. 设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z). 由n·=0,n·=0, 得平面B1NMD1的一个法向量n=(2,-2,1). 又=(0,1,0),∴点A1到平面B1NMD1的距离为. 7.(1)证明:三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°, 故以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系,如图. 因为AB=AC=AA1=1,E,F分别是棱C1C,BC的中点, 所以B1(1,0,1),F,A(0,0,0),E,则=,=,=, 所以=0,=0,所以B1F⊥AE,B1F⊥AF, 又AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF, 所以B1F⊥平面AEF. (2)解:由(1)知=(1,0,1),=, 设平面EAB1的法向量m=(a,b,c), 则 取a=2,得m=(2,1,-2)是平面EAB1的一个法向量. 又=,所以点F到平面EAB1的距离d=. 8.解:直线PA上存在点M满足题意.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0), 所以=(1,1,-2),=(0,2,-2). 设M(0,0,z0)(0≤z0≤2),又设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则所以 取z=1,则x=1,y=1.所以,n=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量. 又因为=(0,0,2-z0),所以点M到平面PCD的距离d=(2-z0). 令d=,可得z0=1. 所以存在点M,且M(0,0,1)是线段AP的中点. 综上可知,线段AP的中点到平面PCD的距离为. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$