22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 同步练习卷（1）2024--2025学年人教版数学九年级上册

九年级上册《22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式》同步练习卷（1） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则当x＝4时，y的值为（　　） x ﹣1 0 1 2 3 y 5 1 ﹣1 ﹣1 1 A．5 B． C．3 D．不能确定 2．（3分）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝18（x+1）2﹣8 C．y＝（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2﹣8 3．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 4．（3分）已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣3 5．（3分）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（　　） A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x+2 C．y＝﹣x2﹣x+1 D．y＝﹣x2+x+2 6．（3分）下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴、且经过点（0，1）的是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3 7．（3分）如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　） A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3 8．（3分）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（　　） A．b＝2，c＝4 B．b＝﹣2，c＝﹣4 C．b＝2，c＝﹣4 D．b＝﹣2，c＝4 9．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+a2﹣2（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．1 D． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣1 0 2 3 4 y 5 0 ﹣4 ﹣3 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表： x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3 则二次函数的解析式为　 　． 12．（3分）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　 　． 13．（3分）已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0），当x＝﹣5时，y＝0；当x＝1时，y＝0，则函数的解析式为　 　． 14．（3分）已知抛物线经过A（﹣2，4）、B（1，4）、C（﹣4，﹣6）三点，则抛物线的解析式是　 　． 15．（3分）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式　 　． 16．（3分）二次函数的图象如图所示，则其解析式为　 　． 17．（3分）已知y是x的二次函数，当x＝2时，y＝﹣4，当y＝4时，x恰为方程2x2﹣x﹣8＝0的根，则这个函数的解析式是　 　． 18．（3分）设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为　 　． 三．解答题 19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），当x＝1时，y有最小值﹣4，求这个二次函数的解析式． 20．（6分）已知二次函数的图象如图，求这个二次函数的解析式． 21．（6分）y随x变化的部分数值规律如下表，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式． x ﹣1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 22．（6分）一个二次函数的图象过（0，1）、（1，0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式． 23．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标． 24．（8分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标． 25．（8分）新型冠状病毒爆发，使得人们人心惶惶，足不出户．杨明关注肺炎的发展情况，于是统计了从爆发开始，某第一批受感染区所受传染的人数，每四天为一次统计单元，统计得到以下三组数据．有心的杨明发现每四天的人数增长满足二次函数y＝ax2+bx+c． 次数x 1 2 3 人数y 10 200 570 （1）求此二次函数的解析式； （2）如果该区有1850人感染此病毒，请问此时经历了多少天？ 九年级上册《22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式》同步练习卷（1） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则当x＝4时，y的值为（　　） x ﹣1 0 1 2 3 y 5 1 ﹣1 ﹣1 1 A．5 B． C．3 D．不能确定 【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x＝4时的函数值与x＝﹣1时的函数值相同． 【解答】解：由图表可知，x＝4时的函数值与x＝﹣1时的函数值相同． 所以当x＝4时，y的值为5． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键． 2．（3分）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝18（x+1）2﹣8 C．y＝（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2﹣8 【分析】顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标． 【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，﹣8） 故二次函数的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣8 故选：D． 【点评】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）． 3．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】由“对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），代入抛物线方程即可解得． 【解答】解：因为对称轴是直线x＝1且经过点P（3，0） 所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0） 代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c中，得a﹣b+c＝0． 故选：A． 【点评】巧妙利用了抛物线的对称性． 4．（3分）已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣3 【分析】把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入二次函数解析式，求出二次函数解析式，再化简即可． 【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c， 把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得，解得， 则二次函数解析式为y＝5x2﹣10x+4＝5（x﹣1）2﹣1，对称轴x＝1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数，解题的关键是正确的求出二次函数解析式． 5．（3分）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（　　） A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x+2 C．y＝﹣x2﹣x+1 D．y＝﹣x2+x+2 【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误； B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是， 而y＝﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣＝﹣，故此选项错误； C、y＝﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误； D、y＝﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与系数的关系与及顶点横坐标的计算公式，是开放性题目．一般式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）． 6．（3分）下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴、且经过点（0，1）的是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3 【分析】采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x＝2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可． 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2， ∴可排除B、D选项， 将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1＝（0﹣2）2+1＝5，故A选项错误， 代入C中，得（x﹣2）2﹣3＝（0﹣2）2﹣3＝1，故C选项正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除． 7．（3分）如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　） A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3 【分析】先利用抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），则可设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出a的值即可． 【解答】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， 可设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）， 可得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得：a＝1， 所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 8．（3分）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（　　） A．b＝2，c＝4 B．b＝﹣2，c＝﹣4 C．b＝2，c＝﹣4 D．b＝﹣2，c＝4 【分析】根据二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0， ∴该函数的图象的开口方向向下， ∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标， ∴﹣1＝﹣，即b＝﹣2；① ﹣3＝，即b2+4c+12＝0；② 由①②解得，b＝﹣2，c＝﹣4； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值．解答此题时，弄清楚“二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标”是解题的关键． 9．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+a2﹣2（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．1 D． 【分析】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而得出a2﹣2的值，然后求出a值，再根据开口方向选择正确答案． 【解答】解：由图象可知：抛物线与y轴的交于原点， 所以，a2﹣2＝0，解得a＝±， 由抛物线的开口向上 所以a＞0， ∴a＝﹣舍去，即a＝． 故选：D． 【点评】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣1 0 2 3 4 y 5 0 ﹣4 ﹣3 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）可对③④进行判断；根据二次函数的增减性可对⑤进行判断． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4）， 把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确； 抛物线的对称轴为直线x＝2，所以②正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， ∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误； 抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确； 若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则|x2﹣2|＞|x1﹣2|，所以⑤错误． 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 二．填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表： x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3 则二次函数的解析式为　y＝﹣2x2﹣12x﹣13　． 【分析】取三组对应值（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到抛物线解析式． 【解答】解：把（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得， 解得． 所以抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣12x﹣13． 故答案为y＝﹣2x2﹣12x﹣13． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 12．（3分）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　（1，4）　． 【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可． 【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点， ∴代入得：， 解得：b＝2，c＝3， ∴y＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（x﹣1）2+4， 顶点坐标为（1，4）， 故答案为：（1，4）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键． 13．（3分）已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0），当x＝﹣5时，y＝0；当x＝1时，y＝0，则函数的解析式为　y＝x2+4x﹣5　． 【分析】设交点式y＝a（x+5）（x﹣1），展开得到y＝ax2+4ax﹣5a，所以4a＝4，然后求出a即可得到抛物线解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+5）（x﹣1）， 所以y＝ax2+4ax﹣5a， 所以4a＝4，解得a＝1， 所以抛物线解析式为y＝x2+4x﹣5． 故答案为y＝x2+4x﹣5． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 14．（3分）已知抛物线经过A（﹣2，4）、B（1，4）、C（﹣4，﹣6）三点，则抛物线的解析式是　y＝﹣x2﹣x+6　． 【分析】设一般式y＝ax2+bx+c，然后把A、B、C三点坐标代入得到关于a、b、c的三元一次方程组，再解方程组即可． 【解答】解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c， 将点A、B、C的坐标代入上式得，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+6， 故答案为y＝﹣x2﹣x+6． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，本题解题的关键是从抛物线三种表达式中选择并设定计算较为简便的一种表达式． 15．（3分）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式　y＝﹣x2﹣2x+　． 【分析】已知抛物线与x轴交于（1，0），（﹣5，0）两点，可求对称轴，即顶点的横坐标，已知顶点的纵坐标，设抛物线解析式的顶点式y＝a（x+2）2+，再将点（1，0）代入求a即可． 【解答】解：∵点（1，0），（﹣5，0）是抛物线与x的两交点， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+， 将点（1，0）代入，得a（1+2）2+＝0， 解得a＝﹣，即y＝﹣（x+2）2+， ∴所求二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+． 【点评】本题考查了抛物线顶点坐标的确定方法．根据顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式，能使求解析式简便． 16．（3分）二次函数的图象如图所示，则其解析式为　y＝﹣x2+2x+3　． 【分析】根据图象可知，抛物线对称轴是直线x＝1，与y轴交于（0，3），与x轴交于（﹣1，0），设出一般式，列出方程组求出系数即可． 【解答】解：由图象可知，抛物线对称轴是直线x＝1，与y轴交于（0，3），与x轴交于（﹣1，0） 设解析式为y＝ax2+bx+c， ， 解得． 故答案为：y＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，根据题意找出特殊点、列出方程组是解题的关键，解答时，要认真审题，找准特殊点，才能得到正确的方程组． 17．（3分）已知y是x的二次函数，当x＝2时，y＝﹣4，当y＝4时，x恰为方程2x2﹣x﹣8＝0的根，则这个函数的解析式是　y＝8x2﹣4x﹣28　． 【分析】本题不便求出方程2x2﹣x﹣8＝0的根，设这个方程的根为x1、x2，即当x＝x1，x＝x2时，y＝4，可设抛物线解析式y＝a（2x2﹣x﹣8）+4，再将x＝2，y＝﹣4代入求a即可． 【解答】解：设方程2x2﹣x﹣8＝0的根为x1、x2， 则当x＝x1，x＝x2时，y＝4，可设y＝a（2x2﹣x﹣8）+4， 把x＝2，y＝﹣4代入，得﹣4＝a（2×22﹣2﹣8）+4， 解得a＝4， 所求函数为y＝4（2x2﹣x﹣8）+4， 即y＝8x2﹣4x﹣28， 故答案为y＝8x2﹣4x﹣28． 【点评】本题综合考查了一元二次方程的根与二次函数图象上点的坐标的关系，巧妙地设二次函数解析式，用待定系数法求解析式． 18．（3分）设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为　y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2　． 【分析】根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可． 【解答】解：∵点C在直线x＝2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1或x＝3， 当对称轴为直线x＝1时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+k， 将A（0，2），B（4，3）代入解析式， 则， 解得， 所以，y＝（x﹣1）2+＝x2﹣x+2； 当对称轴为直线x＝3时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+k， 将A（0，2），B（4，3）代入解析式， 则， 解得， 所以，y＝﹣（x﹣3）2+＝﹣x2+x+2， 综上所述，抛物线的函数解析式为y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2． 故答案为：y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解． 三．解答题 19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），当x＝1时，y有最小值﹣4，求这个二次函数的解析式． 【分析】设定函数表达式为顶点式，然后将点（2，﹣3）代入上述表达式即可求解． 【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4． 将（2，﹣3）代入，得﹣3＝a﹣4，解得a＝1． ∴这个二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，本题解题的关键是不局限于题目设定的函数表达式，而是从抛物线三种表达式中选择并设定计算较为简便的一种表达式． 20．（6分）已知二次函数的图象如图，求这个二次函数的解析式． 【分析】从图象看，抛物线与坐标轴的交点为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），将上述三个点的坐标代入抛物线表达式，即可求解． 【解答】解：从图象看，抛物线与坐标轴的交点为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）， 设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣3）（x+1）． 将（0，3）代入上式得，3＝﹣3a， 解得a＝﹣1． ∴这个二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的性质，本题解题的关键是从抛物线三种表达式中选择计算较为简便的一种表达式． 21．（6分）y随x变化的部分数值规律如下表，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式． x ﹣1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 【分析】根据待定系数法即可求得函数的解析式．即将表中的x与y的对应的3组值代入y＝ax2+bx+c，然后解方程组即可． 【解答】解：把（﹣1，0），（0，3），（3，0）分别代入y＝ax2+bx+c， 则，解得， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是正确解出三元一次方程组． 22．（6分）一个二次函数的图象过（0，1）、（1，0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式． 【分析】设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，即可得到抛物线解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 根据题意得，解得， 所以抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 23．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标． 【分析】（1）由题意抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，利用待定系数法求出b，c的值，得出函数解析式即可； （2）利用配方法化为顶点式求得对称轴与顶点坐标即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0）， ∴， 解得． ∴所求抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）． 【点评】此题考查抛物线与x轴的交点坐标，待定系数法求函数的解析式，掌握待定系数法求函数解析式的步骤与方法是解决问题的关键． 24．（8分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标． 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y＝a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求出与x轴的交点即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4）， ∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4， 把点B（0，3）代入得，a+4＝3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3）， 由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P， 设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得， ∴直线AB′的解析式为y＝7x﹣3， 令y＝0，则7x﹣3＝0， 解得x＝， 所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）． 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）利用顶点式解析式求解更简便，（2）熟练掌握点P的确定方法是解题的关键． 25．（8分）新型冠状病毒爆发，使得人们人心惶惶，足不出户．杨明关注肺炎的发展情况，于是统计了从爆发开始，某第一批受感染区所受传染的人数，每四天为一次统计单元，统计得到以下三组数据．有心的杨明发现每四天的人数增长满足二次函数y＝ax2+bx+c． 次数x 1 2 3 人数y 10 200 570 （1）求此二次函数的解析式； （2）如果该区有1850人感染此病毒，请问此时经历了多少天？ 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）令y＝1850，得90x2﹣80x＝1850，解得x＝5，进而求解． 【解答】解：（1）将（1，10），（2，200），（3，570）的坐标分别代入y＝ax2+bx+c， 得，解得， ∴此二次函数的解析式为y＝90x2﹣80x； （2）令y＝1850，得90x2﹣80x＝1850， 解得x1＝5，x2＝﹣（不合题意，舍去）， 故x＝5， 5×4＝20（天） 答：此时经历了20天． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，理解题意、确定二次函数表达式是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/8 15:14:08；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$