2025版河南省高职单招历年数学真题汇编(4)

　 河南省高职单招历年真题汇编(四) 　 河南省高职单招历年真题汇编(四) 数　 　 学 一、选择题(本题共 20 小题,每小题 3 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A = {1,3,5},B = {1,2,3} 则 A ∪ B = (　 　 ) A. {1,3} B. {2,5} C. {1} D. {1,2,3,5} 2. “a > 0 且 b > 0” 是“ab > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数 f(x) = 1 1 - 2x 的定义域为 (　 　 ) 　 A. ( - ∞ ,2) B. ( - ∞ ,2] 　 C. - ∞ , 1 2( ) D. - ∞ , 1 2( ù û úú 4. 已知函数 y = f(x) 是偶函数,且 f( - 3) = 10,则 f(3) = (　 　 ) A. 3 B. - 3 C. 10 D. - 10 5. 将log2x = 1 8 化成指数式可表示为 (　 　 ) A. 2x = 1 8 B. 2 1 8 = x C. x 1 8 = 2 D. x2 = 8 6. 2lg 2 + lg 25 = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ·31· 　 河南省高职单招历年真题汇编(四) 　 7. 若直线过点 A(1, - 3),并且与 x 轴平行,则此直线的方程是 (　 　 ) A. x = 1 B. y = - 3 C. x = - 1 D. y = 3 8. 已知数列的前 4 项分别为 1, - 1 2 , 1 3 , - 1 4 ,则数列的通项公式 an = (　 　 ) A. 1 n B. - 1 n C. ( - 1) n n D. ( - 1) n+1 n 9. 若函数 f(x) = sin x,0 ≤ x < π 2 , cos x, π 2 ≤ x < π, ì î í ï ï ï ï ïï 则 f π 6( ) = (　 　 ) A. π 2 B. 0 C. 1 2 D. 3 2 10. 已知 sin α·cos α > 0,且 tan α·cos α < 0,则角 α 是 (　 　 ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 11. 已知向量 a = (m,1),b = ( - 1,2),若 a ∥ b,则 m = (　 　 ) A. 2 B. 1 C. - 1 D. - 1 2 12. 点 A(2,3) 到直线 3x - 4y - 11 = 0 的距离为 (　 　 ) A. 17 5 B. 17 25 C. 7 5 D. 7 25 13. 椭圆x 2 16 + y 2 9 = 1 的长轴长为 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 14. 已知 sin α + cos α = 2 ,则 sin αcos α = (　 　 ) A. 1 2 B. - 1 2 C. ± 1 2 D. 1 4 ·41· 　 河南省高职单招历年真题汇编(四) 　 15. 圆心为 C( - 2, - 4),且相切于 y 轴的圆的方程是 (　 　 ) A. (x - 2) 2 +(y - 4) 2 = 4 B. (x - 2) 2 +(y - 4) 2 = 2 C. (x + 2) 2 +(y + 4) 2 = 2 D. (x + 2) 2 +(y + 4) 2 = 4 16. 一个球的表面积刚好等于底面半径为 4,高为 8 的圆柱的侧面积,则该球的半径为 (　 　 ) A. 4 B. 8 C. 2 3 D. 2π 17. 设数列{an} 是公差为 - 2 的等差数列,且 a4 + 2a6 = 4,则{an} 的前 10 项和 S10 = (　 　 ) A. - 8 B. - 10 C. 8 D. 10 18. 函数 y = cos 2x + 1 的最大值为 (　 　 ) A. 1 B. - 1 C. 2 D. - 2 19. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,则 | AB→ +BC→ -AD→ | = (　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 20. 若 a > 1,则在同一坐标系中,函数 y = a -x 和 y =logax 的图像可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 二、判断题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 21. 空集是任何一个集合的真子集. (　 　 ) 22. 若 a > b > 0,则 a -2 > b -2 . (　 　 ) 23. 不等式x2 - 9 > 0 的解为 x > ± 3. (　 　 ) ·51· 　 河南省高职单招历年真题汇编(四) 　 24. 20 = 1. (　 　 ) 25. 已知向量 a = ( - 1,2),b = (3, - 4),则 a + b = ( - 2,2) . (　 　 ) 三、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 26. 不等式 2x - 8 > 0 的解集为 . 27. 已知等差数列{an} 的通项公式为 an = 3n - 5,则公差 d = . 28. 函数 y = sin 2x 的最小正周期是 . 29. 已知 sin α = 5 13 ,α ∈ π 2 ,π( ) ,则 sin 2α = . 30. 已知双曲线:x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线与直线 2x - y + 3 = 0 平行,则该双曲线的离心率 是 . 四、解答题(本题共 10 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 31. 在递增的等比数列{an} 中,a1a2 = 8,a1 +a2 = 6,其中 n ∈N∗ . (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若bn = 2an + 3,求数列{bn} 的前 n 项和Tn . ·61· 2x - 1 的定义域为 R,但 f( - x) = - 2x - 1 ≠- f(x),所以函数 f(x) = 2x - 1 不是奇函数,故 C 不满足题意;f(x) = x2 + 1 的定义域为 R,但 f( - x) = x2 + 1 ≠- f(x),所以函数 f(x) = x2 + 1 不是奇函数,故 D 不满足题意. 13. A　 【解析】 易知直线 4x + y - 2 = 0,即 y = - 4x + 2 的斜率为 - 4,所以与直线 4x + y - 2 = 0 平行的直线的斜率也为- 4. 因为所求直线过点 A(3,2),所以所求直线的方程为 y - 2 = - 4(x - 3),即 4x + y - 14 = 0. 14. D　 【解析】 由 m ∥ α ,l ⊆ α 可得 m与 l 平行或异面,故 A 错误;由 m ⊥ l,l ⊆ α 得不出 m ⊥ α,如 m在平面 α 内时,也可 能与 l 垂直,故 B 错误;若 m ∥ l,l ⊆ α,则 m ∥ α 或 m ⊆ α,故 C 错误;若一条直线和一个平面垂直,则这条直线垂直于平 面内的任意一条直线,所以当 m ⊥ α,l ⊆ α 时,m ⊥ l,故 D 正确. 15. A　 【解析】 因为 | a | = 2, | b | = 4,且􀎮a,b􀎯 = π 3 ,所以 a·b = | a | | b | cos π 3 = 2 × 4 × 1 2 = 4. 16. A　 【解析】 在等比数列{an} 中,a4 = a1q3 = a1 × 33 = 27,得 a1 = 1. 17. D　 【解析】 由圆 C 的标准方程(x - 2) 2 +(y + 3) 2 = 4 = 22 可知其圆心坐标为(2, - 3),半径为 2. 18. B　 【解析】200° × π 180° = 10π 9 . 19. D　 【解析】∵ 双曲线的方程为 y 2 5 - x2 = 1,∴ a = 5 ,b = 1,∴ c = a2 + b2 = 6 ,∴ e = c a = 30 5 . 20. D　 【解析】 因为正方体的棱长为 2,所以正方体的表面积为 2 × 2 × 6 = 24. 21. √　 【解析】 对于集合 A = {x | x < 6},因为 1 < 6,所以 1 ∈ A. 22. ✕　 【解析】 由 sin2α + cos2α = 1 可知 sin213° + cos217° ≠ 1,故题中说法错误. 23. ✕　 【解析】 不可能事件发生的概率为 0. 24. ✕　 【解析】 由 1,a,4 是等比数列,得 a2 = 4,解得 a = 2 或 a = - 2. 25. ✕　 【解析】 由“经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面” 知,不共线的三点才能确定一个平面,故题中说法 错误. 26. 3　 【解析】 log 33 + log 39 = log 327 = log333 = 3. 27. - 3　 【解析】 经过点 P1(4,9),P2(6,3) 的直线的斜率为 3 - 9 6 - 4 = - 3. 28. - 6　 【解析】∵ 向量a = (2,3),b = (9,y),且a ⊥b,∴ 2 × 9 + 3y = 0,解得 y = - 6. 29. (2, - 3)　 【解析】 由 A(1,2),B(3, - 8),可知线段 AB 的中点坐标为(1 + 3 2 ,2 - 8 2 ),即(2, - 3) . 30. 50　 【解析】 由题知,不低于 60 分的频率为(0. 020 + 0. 015) × 20 = 0. 7. 又不低于 60 分的人数是 35,所以该班的学生人数 是 35 0. 7 = 50. 31. 【解析】(1) 函数 f(x) = 2sin 2x + 3 的最小正周期为2π 2 = π. (2) f 2π 3( ) = 2sin 4π 3 + 3 = 2sin π + π 3( ) + 3 = - 2sin π 3 + 3 = - 2 × 3 2 + 3 = 0. 河南省高职单招历年真题汇编(四) 1. D　 【解析】 因为集合 A = {1,3,5} 与 B = {1,2,3} 的所有元素为 1,2,3,5,所以 A ∪ B = {1,2,3,5} . 2. A　 【解析】 由“ab > 0” 得“a > 0 且 b > 0” 或“a < 0 且 b < 0” . 因为命题“如果 a > 0 且 b > 0,那么 ab > 0” 为真命题, ·5· 其逆命题“如果 ab > 0,那么 a > 0 且 b > 0” 为假命题,所以“a > 0 且 b > 0” 是“ab > 0” 的充分不必要条件. 3. C　 【解析】 要使函数 f(x) = 1 1 - 2x 有意义,须 1 - 2x > 0, - 2x > - 1,解得 x < 1 2 ,所以函数 f(x) = 1 1 - 2x 的定义 域为 - ∞ , 1 2( ) . 4. C　 【解析】∵ 函数 y = f(x) 是偶函数,且 f( - 3) = 10,∴ f(3) = f( - 3) = 10. 5. B　 【解析】 将log2x = 1 8 化成指数式可表示为 2 1 8 = x. (对数式与指数式互化的关键是“将等号两边的两个数互换位置”) 6. B　 【解析】2lg 2 + lg 25 = lg 22 + lg 25 = lg 4 + lg 25 = lg 100 = 2. 7. B　 【解析】 平行于 x轴的直线的斜率为 0,故排除 A,C.又所求直线过点(1, - 3),所以所求直线的方程为 y - ( - 3) = 0(x - 1), 即 y = - 3. 8. D　 【解析】 观察数列的前四项,既有正,又有负,排除 A,B. 对于 C,a1 = ( - 1) 1 1 = - 1 ≠ 1,排除 C,选 D. 9. C　 【解析】∵ 0 ≤ x < π 2 时,f(x) = sin x,且 0 ≤ π 6 < π 2 ,∴ f( π 6 ) = sin π 6 = 1 2 . 10. C　 【解析】∵ tan α·cos α = sin α cos α ·cos α = sin α < 0,∴ α 不是第一、二象限角,排除 A,B.又 sin α·cos α > 0,∴ cos α < 0,∴ α 不是第四象限角,排除 D,选 C. 11. D　 【解析】 因为 a = (m,1),b = ( - 1,2),且 a ∥ b,所以 2 × m - ( - 1) × 1 = 0,即 2m + 1 = 0,解得m = - 1 2 . 12. A　 【解析】 点 A(2,3) 到直线 3x - 4y - 11 = 0 的距离为| 3 × 2 - 4 × 3 - 11 | 32 +( - 4) 2 = 17 5 . 13. D　 【解析】 由题得 a2 = 16,解得 a = 4(负值舍去),故椭圆 x 2 16 + y 2 9 = 1 的长轴长 2a = 8. 14. A　 【解析】 由 sin α + cos α = 2 ,得(sin α + cos α) 2 = ( 2 ) 2 ,即 sin2α + cos2α + 2sin αcos α = 2,即 2sin αcos α = 2 - 1,得 sin αcos α = 1 2 . 15. D　 【解析】 易知圆心为 C( - 2, - 4),且相切于 y轴的圆的半径等于点 C( - 2, - 4) 到 y轴的距离,为 2,故圆心为 C( - 2, - 4),且相切于 y 轴的圆的方程是(x + 2) 2 +(y + 4) 2 = 4. 16. A　 【解析】 易知底面半径 r = 4,高 h = 8 的圆柱的侧面积为 2πrh = 2π × 4 × 8 = 64π. 设所求球的半径为 R,则 4πR2 = 64π,解得 R = 64 4 = 4. 17. D　 【解析】 因为{an} 是公差为 - 2 的等差数列,且 a4 + 2a6 = 4,所以(a1 - 6) + 2(a1 - 10) = 4,解得 a1 = 10,所以S10 = 10a1 + 45d = 10 × 10 - 2 × 45 = 10. 18. C　 【解析】 函数 y = cos 2x + 1 的最大值为 1 + 1 = 2. 19. B　 【解析】 | AB→ +BC→ -AD→ | = | AC→ -AD→ | = | DC→ | = 1. 20. B　 【解析】 易知函数 y = a-x 的图像经过(0,1),y = logax 的图像经过(1,0),故排除 D.由 a > 1 知,y = logax 为增函数,0 < 1 a < 1,则 y = a -x = 1 a( ) x 为减函数,故选 B. 21. ✕　 【解析】 空集不是它本身的真子集. ·6· 22. ✕　 【解析】 因为 a > b > 0,所以 a2 > b2 > 0,所以 1 a2 < 1 b2 ,即 a -2 < b -2 . 23. ✕　 【解析】 由x2 - 9 > 0 得x2 > 9,解得 x > 3 或 x < - 3,所以不等式x2 - 9 > 0 的解为 x > 3 或 x < - 3. 24. √　 【解析】20 = 1. 25. ✕　 【解析】 由向量 a = ( - 1,2),b = (3, - 4) 得 a + b = ( - 1 + 3,2 - 4) = (2, - 2) . 26. (4, + ∞ )　 【解析】 由 2x - 8 > 0 得 2x > 8,解得 x > 4,∴ 不等式 2x - 8 > 0 的解集为(4, + ∞ ) . 27. 3　 【解析】 因为等差数列{an} 的通项公式为 an = 3n - 5,所以 a1 = 3 × 1 - 5 = - 2,a2 = 3 × 2 - 5 = 1,所以公差 d = a2 - a1 = 1 - ( - 2) = 3. 28. π　 【解析】y = sin 2x 的最小正周期是2π 2 = π. 29. - 120 169 　 【解析】∵ sin α = 5 13 ,α ∈ π 2 ,π( ) ,∴ cos α = - 12 13 ,∴ sin 2α = 2sin αcos α = - 120 169 . 30. 5 　 【解析】 易知双曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 的渐近线方程为 y = ± b a x. 因为一条渐近线与直线 2x - y + 3 = 0,即 y = 2x + 3 平 行,所以 b a = 2,所以离心率 e = c a = 1 + b 2 a2 = 5 . 31. 【解析】(1) 因为等比数列{an} 是递增数列, 所以a1 < a2 , 因为a1a2 = 8,a1 +a2 = 6, 所以a1 = 2,a2 = 4, 因此数列{an} 的公比 q = a2 a1 = 2, 则an = a1 ·qn -1 = 2n . (2) 由(1) 得bn = 2an + 3 = 2n +1 + 3, 所以Tn = b1 +b2 + … +bn = 4(1 -2n) 1 - 2 + 3n = 2n+2 + 3n - 4. 河南省高职单招历年真题汇编(五) 1. B　 【解析】 因为集合 A = {x | - 1 ≤ x < 1},B = { - 1,0,2},所以 A ∩ B = { - 1,0} . 2. D　 【解析】 要使函数 f(x) = x - 1 x - 2 有意义,须 x - 1 ≥ 0, x - 2 ≠ 0,{ 解得 x ≥ 1 且 x ≠ 2,所以函数 f(x) 的定义域为[1,2) ∪ (2, + ∞). 3. C　 【解析】AB→ +CA→ +BC→ = AB→ +BC→ +CA→ = AC→ +CA→ = 0. 4. B　 【解析】 易知函数 y = - x的定义域为R,且 y = - x是减函数,故A不符合题意. 易知函数 y =x3 的定义域为R,且 y = x3 是 增函数,故 B 符合题意. 易知函数 y = ln x 的定义域为(0, + ∞ ),故 C 不符合题意. 易知函数 y = | x | = x,x ≥ 0, - x,x < 0{ 的定义 域为 R,且函数在 R 上不单调,故 D 不符合题意. 5. B　 【解析】 由题意可知 a1 = 1,a4 = - 8,所以 q3 = a4 a1 = - 8,解得 q = - 2. ·7·