2025版河南省高职单招历年数学真题汇编(2)

　 河南省高职单招历年真题汇编(二) 　 河南省高职单招历年真题汇编(二) 数　 　 学 一、选择题(本题共 20 小题,每小题 3 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 集合 A = {x | x2 - 4 = 0} 的所有真子集的个数为 (　 　 ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 设 a > b,a,b,c ∈ R,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. ac2 > bc2 B. a b > 1 C. a - c > b - c D. a2 > b2 3. 直线 y = - 2 3 x + 1 的斜率为 (　 　 ) A. 2 3 B. - 2 3 C. 4 3 D. 2 4. 将16 - 14 = 1 2 写成对数式为 (　 　 ) A. log - 14 16 = 1 2 B. log - 14 1 2 = 16 C. log 1 2 16 = - 1 4 D. log16 1 2 = - 1 4 5. AB→ -AC→ -BC→ = (　 　 ) A. 2BC→ B. 2CB→ C. 0 D. 0 6. 抛物线 x2 = 8y 的焦点到准线的距离是 (　 　 ) A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 7. 已知 sin α = 4 5 ,且 α 是第二象限的角,则 cos α = (　 　 ) A. - 3 5 B. 3 5 C. 4 3 D. - 4 3 ·5· 　 河南省高职单招历年真题汇编(二) 　 8. 下列函数中,在其定义域上是增函数的是 (　 　 ) A. f(x) = - x B. f(x) = x2 C. f(x) = 3x D. f(x) = 1 x 9. 如果向量 a = ( - 2,3),b = (x, - 6),且 a ⊥ b,那么 x 的值为 (　 　 ) A. 4 B. - 4 C. 9 D. - 9 10. 已知{an} 为等差数列,a4 + a6 = 12,则 a5 = (　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. 函数 y = 3cos(2x - 1) 的最大值为 (　 　 ) A. 1 B. - 1 C. 3 D. - 3 12. 一个正方体的棱长缩小到原来的一半,则它的体积缩小到原来的 (　 　 ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 16 13. 已知平面直角坐标系上两点 B(3,2),C(2,5),则 | CB→ | = (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 10 D. 13 14. 已知 2a = 2,2b = 3,则 2a+b = (　 　 ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 15. 直线 l 经过 A( - 1,0),B(1,2) 两点,则直线 l 的倾斜角是 (　 　 ) A. π 6 B. π 4 C. 2π 3 D. 3π 4 16. 已知函数 f(x) = 2x - 1,x < 1 2 , - 3x2 + 2x + 1,x ≥ 1 2 , ì î í ï ï ï ï ï ï 则 f( 1 4 ) + f(2) = (　 　 ) A. - 1 2 B. - 1 6 C. 1 3 D. - 15 2 ·6· 　 河南省高职单招历年真题汇编(二) 　 17. 从 1,2,3,4,5 这些数中任取两个不同的数,则取到的两个数是一奇一偶的概率为 (　 　 ) A. 1 3 B. 3 5 C. 1 2 D. 2 3 18. 直线 y = 2x - 1 与圆x2 + (y - 1) 2 = 1 的位置关系为 (　 　 ) A. 相切 B. 相交且直线过圆心 C. 相交但直线不过圆心 D. 相离 19. 已知 y = f(x),x ∈ [ - 3,5] 的图像如图所示,则该函数的单调递增区间为 (　 　 ) A. [ - 1,3] B. [ - 1,2] 和[4,5] C. [ - 1,2] D. [ - 3, - 1] 和[2,4] 20. 已知函数 f(x) = x2 - 2x + 3 在区间[0,t] 上的最大值是 3,最小值是 2,则实数 t 的取值范围是 (　 　 ) A. [1,2] B. (0,1] C. [1, + ∞ ) D. (0,2] 二、判断题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 21. 集合{x | x ≤ 5} 和{5,4,3,2,1} 表示同一集合. (　 　 ) 22. 第一象限角不一定是正角. (　 　 ) 23. 设 4,x,9 成等比数列,则 x = 6. (　 　 ) 24. 两个向量相加就是它们的模相加. (　 　 ) 25. 已知函数 f(x) = 2x + 1,x ≤ 2, | x - 5 | ,x > 2, ì î í ï ï ïï 则 f(1) = 4. (　 　 ) ·7· 　 河南省高职单招历年真题汇编(二) 　 三、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 26. 若事件 A 与事件 A 互为对立事件,且 P(A) = 0. 4,则 P(A) = . 27. 函数 y = 1 2x - 1 的定义域是 . 28. 在等比数列{an} 中,a2 = 3,a5 = - 3,则公比 q = . 29. 直线 2x + 3y + 6 = 0 在 y 轴上的截距是 . 30. 不等式 33-x > 9x 的解集是 . 四、解答题(本题共 10 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 31. 设圆心为点 C(1,1) 的圆经过点 M(1,2) . (1) 求圆的方程; (2) 若直线 x + y + m = 0 与圆交于 A,B 两点,且 ∠ACB 为直角,求实数 m 的值. ·8· 19. A　 【解析】 因为 f(x) 是定义在( - 1,1) 上的减函数,且 f(1 - a) < f(a2 - 1),所以 - 1 < 1 - a < 1, - 1 < a2 - 1 < 1, 1 - a > a2 - 1, ì î í ï ï ïï 解得 0 < a < 1, 即 a 的取值范围是(0,1) . 20. B　 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d. 由题意得 a3 = a1 + 2d = 4, S6 = 6a1 + 15d = 30, { 解得 a1 = 0, d = 2,{ 所以 a2 = a1 + d = 0 + 2 = 2. 21. ✕　 【解析】 空集中不含任何元素,但集合{0} 中含元素 0,所以{0} 不表示空集. 22. √　 【解析】 可能发生也可能不发生的事件是随机事件,故买彩票会中奖是随机事件. 23. ✕　 【解析】 空间中,垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,如正方体的同顶点的三条棱两两相互垂直. 24. √　 【解析】 由对数的运算法则知,若 x > 0,y > 0,则 ln x + ln y = ln xy. 25. ✕　 【解析】 由 A( - 3,8),B(1, - 2) 及中点坐标公式知线段 AB 的中点坐标为 - 3 + 1 2 ,8 - 2 2( ) ,即( - 1,3) . 26. 1 或 - 1　 【解析】∵ | x | = 1,∴ x = 1 或 x = - 1. 27. 6　 【解析】 易知数据 6,5. 8,6. 2,6. 1,5. 9 的平均数为 1 5 × (6 + 5. 8 + 6. 2 + 6. 1 + 5. 9) = 6. 28. - 1　 【解析】 由 - 1 ≤ 0 知 f( - 1) = 2 × ( - 1) + 1 = - 1;由 0 < 1 < 3 知 f(1) = 12 - 1 = 0.所以 f( - 1) + f(1) = - 1. 29. 120　 【解析】 因为数列{an} 是等差数列,d = 2,所以 a1 + a3 + a5 = a1 + (a1 + 2d) + (a1 + 4d) = 3a1 + 6 × 2 = 21,所 以 a1 = 3,所以 S10 = 10 × 3 + 10 × (10 - 1) 2 × 2 = 120. 30. ( - ∞ ,2) ∪ (5, + ∞ )　 【解析】 若方程 x2 + y2 - 2x + 6y = k2 - 7k,即(x - 1) 2 + (y + 3) 2 = k2 - 7k + 10 表示一个圆, 则 k2 - 7k + 10 > 0,解得 k > 5 或 k < 2. 31. 【解析】 因为圆的半径为 1,圆心在第一象限,且与 x 轴相切, 所以设圆心坐标为(a,1)(a > 0) . 因为圆与直线 4x - 3y - 12 = 0 相切, 所以 | 4a - 3 - 12 | 42 + 32 = 1,解得 a = 5 或 a = 5 2 , 所以圆的方程是(x - 5) 2 + (y - 1) 2 = 1 或(x - 5 2 ) 2 + (y - 1) 2 = 1. 河南省高职单招历年真题汇编(二) 1. B　 【解析】 解方程 x2 - 4 = 0 即(x - 2)(x + 2) = 0 得 x1 = 2,x2 = - 2,所以集合 A = {2, - 2},所以集合 A 的所有真子 集为 ∅,{2},{ - 2},共 3 个. 2. C　 【解析】 当 c = 0 时,ac2 = bc2 ,故 A 错误;当 b < a ≤ 0 时, a b < 1,a2 < b2 ,故 B,D 错误;因为 a > b,所以 a - c > b - c, 故 C 正确. 3. B　 【解析】 易知直线 y = - 2 3 x + 1 的斜率为 - 2 3 . 4. D　 【解析】 将16 - 14 = 1 2 写成对数式为log16 1 2 = - 1 4 . ·2· 5. B　 【解析】AB→ -AC→ -BC→ = CB→ -BC→ = CB→ +CB→ = 2CB→ . 6. B　 【解析】 由 x2 = 8y 知 p = 4. 由抛物线的几何性质可得焦点到准线的距离为 p = 4. 7. A　 【解析】 由 α 是第二象限的角, 知 cos α 的值为负数, 排除 B,C. 又 sin α = 4 5 ,sin2α + cos2α = 1, 所以 cos α = - 1 -sin2α = - 1 - 4 5( ) 2 = - 3 5 . 8. C　 【解析】 函数 f(x) = - x在定义域 R上为减函数,故 A 不符合题意;函数 f(x) = x2 在定义域 R上不单调,故 B 不符合题 意;函数 f(x) = 3x 在定义域R上为增函数,故 C符合题意;函数 f(x) = 1 x 在定义域{x | x≠ 0} 上不单调,故 D不符合题意. 9. D　 【解析】∵ a ⊥ b,∴ a·b = 0,即 - 2x + 3 × ( - 6) = 0,解得 x = - 9. 10. C　 【解析】 易知 a5 是 a4 和 a6 的等差中项,∴ a4 + a6 = 2a5 = 12,∴ a5 = 6. 11. C　 【解析】 易知 cos(2x - 1) ≤ 1,所以函数 y = 3cos(2x - 1) 的最大值为 3. 12. C　 【解析】 设原正方体的棱长为 1,则体积为 13 = 1. 正方体的棱长缩小到原来的一半后,棱长为 1 2 ,则体积为 1 2( ) 3 = 1 8 ,故它的体积缩小到原来的 1 8 . 13. C　 【解析】 由题意得CB→ = (1, - 3),所以 | CB→ | = 12 + ( - 3) 2 = 10 . 14. B　 【解析】2a+b = 2a·2b = 2 × 3 = 6. 15. B　 【解析】 设直线 l 的倾斜角为 α. 由题意得直线 l 的斜率 k = tan α = 2 - 0 1 + 1 = 1. 因为 α ∈ [0,π),所以 α = π 4 . 16. D　 【解析】 因为 f(x) = 2x - 1,x < 1 2 , - 3x2 + 2x + 1,x ≥ 1 2 , ì î í ï ï ï ï 所以 f 1 4( ) + f(2) = 2 × 1 4 - 1 - 3 × 4 + 2 × 2 + 1 = - 15 2 . 17. B　 【解析】1,2,3,4,5 这些数中有 3 个奇数,2 个偶数,则取到的两个数是一奇一偶的概率 P = C13 C12 C25 = 3 5 . 18. C　 【解析】 易知圆x2 + (y - 1) 2 = 1 的圆心坐标为(0,1),半径为 1. 因为圆心(0,1) 到直线 y = 2x - 1 即 2x - y - 1 = 0 的距离为 | 0 - 1 - 1 | 4 + 1 = 2 5 < 1,且圆心不在直线 y = 2x - 1 上,所以直线 y = 2x - 1 与圆x2 + (y - 1) 2 = 1 的位置关系 为相交但直线不过圆心. 19. B　 【解析】 由函数 y = f(x),x ∈ [ - 3,5] 的图像知该函数的单调递增区间为[ - 1,2] 和[4,5] . 20. A　 【解析】 易知二次函数 f(x) = x2 - 2x + 3 = (x - 1) 2 + 2 的图像开口向上,对称轴为直线 x = 1,∴ x = 0 在对称轴的 左侧. 易得 f(0) = 3,f(1) = 2. 又 f(x) 在[0,1] 上单调递减,且在[0,t] 上有最大值 3,最小值 2,∴ t ≥ 1. ∵ f(x) 的图像关 于直线 x = 1 对称,∴ f(2) = f(0) = 3,∴ t ≤ 2,∴ 1 ≤ t ≤ 2. 21. ✕　 【解析】 由集合相等的定义可知,集合{x | x ≤ 5} 和{5,4,3,2,1} 不能表示同一集合. 22. √　 【解析】 - 300° 是第一象限角,且 - 300° 是负角,故“第一象限角不一定是正角” 正确. 23. ✕　 【解析】 因为 4,x,9 成等比数列,所以 x2 = 4 × 9 = 36,所以 x = ± 6. 24. ✕　 【解析】 因为向量既有大小,又有方向,所以两个向量相加不是模相加. 25. ✕　 【解析】 f(1) = 21 + 1 = 3. 26. 0. 6　 【解析】P(A) = 1 - P(A) = 0. 6. ·3· 27. ( 1 2 , + ∞ )　 【解析】要保证函数 y = 1 2x - 1 有意义,则2x - 1 > 0,解得 x > 1 2 ,故函数 y = 1 2x - 1 的定义域是( 1 2 , + ∞ ). 28. - 1　 【解析】 由等比数列的性质知,a5 = a2q3 ,即 - 3 = 3q3 ,解得 q = - 1. 29. - 2　 【解析】 令 x = 0,得 3y + 6 = 0,即 y = - 2,故直线 2x + 3y + 6 = 0 在 y 轴上的截距为 - 2. 30. ( - ∞ ,1)　 【解析】 由 33-x > 9x,得 33-x > 32x,因为函数 y = 3x 为增函数,所以 3 - x > 2x,解得 x < 1,所以不等式的解集 为( - ∞ ,1) . 31. 【解析】(1) 因为圆心为点 C(1,1) 的圆经过点 M(1,2), 所以圆的半径 r = (1 - 1) 2 +(2 - 1) 2 = 1, 所以圆的方程为(x - 1) 2 +(y - 1) 2 = 1. (2) 由题意可知 | CA | = | CB | = 1,且 ∠ACB = 90°, 所以圆心 C(1,1) 到直线 x + y + m = 0 的距离为 2 2 ,即| 1 + 1 + m | 12 + 12 = 2 2 ,解得 m = - 1 或 m = - 3. 河南省高职单招历年真题汇编(三) 1. C　 【解析】∵ 集合 A = {1,2,7,8},B = {2,3,5,8},∴ A ∩ B = {2,8} . 2. B　 【解析】( - 3) 3 × 3 = - 27 × 3 = - 81. 3. B　 【解析】 若 c = 0,则 ac = bc = 0,故 A 不满足题意;因为 a > b,所以 a + 1 > b,故 B 满足题意;当 a = 3,b = 2 时,满足 a > b,但 a - 1 < b + 1,故 C 不满足题意;当 a = - 1,b = - 2 时,满足 a > b,但 a2 < b2 ,故 D 不满足题意. 4. B　 【解析】 因为 f(x) = 3x - 5,所以 f( - 1) = - 3 - 5 = - 8. 5. D　 【解析】 要使函数 y = 1 - 2x 有意义,须 1 - 2x ≥ 0,解得 x ≤ 1 2 ,所以函数 y = 1 - 2x 的定义域为 - ∞ , 1 2( ] . 6. D　 【解析】 因为向量 a = (2, - 4),b = (2,1),所以 a + 2b = (2, - 4) + 2(2,1) = (6, - 2) . 7. B　 【解析】∵ y = x2 - 2x - 1 = (x - 1) 2 - 2,∴ 当 x = 1 时,ymin = - 2. 8. C　 【解析】 因为 x ∈ R,所以 sin x ∈ [ - 1,1],所以 f(x) = - 2sin x + 1 的最大值为( - 2) × ( - 1) + 1 = 3. 9. A　 【解析】 判断函数的单调性的方法:第一类(x 右上方的数为正奇数),y = ax + b,y = ax3 ,看 x 前面的数 a 是正数还是负 数,若 a为正数,则增,若 a为负数,则减;第二类(x右上方的数为正偶数),y = ax2 ,看 x前面的数 a是正数还是负数,若 a为 正数,则在( - ∞ ,0) 上减,(0, + ∞ ) 上增,若 a为负数,则在( - ∞ ,0) 上增,(0, + ∞ ) 上减;第三类(x在分母上),在( - ∞ , 0) 或(0, + ∞ ) 上,y = 1 x 与 y = x的单调性相反. 在(0, + ∞ ) 上,对于 A 选项,y = x + 1,x前面的数为正数,增;对于 B 选 项,y = - 2x2,x前面的数为负数,减;对于C选项,y = - x2 ,x前面的数为负数,减;对于D选项,y = - 3x3,x前面的数为负数,减. 10. A　 【解析】 等差数列{an} 中,因为 a2 = 5,a3 = 6,所以 a1 + d = 5, a1 + 2d = 6, { 解得 d = 1, a1 = 4. { 11. B　 【解析】 易知点 P( - 3,4) 到坐标原点的距离为 ( - 3) 2 + 42 = 5,又点 P( - 3,4) 在角 α 的终边上,所以 cos α = - 3 5 = - 3 5 . 12. B　 【解析】 f(x) = x2 的定义域为 R,但 f( - x) = x2 ≠- f(x),所以函数 f(x) = x2 不是奇函数,故 A 不满足题意;f(x) = 1 x 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ),且 f( - x) = - 1 x = - f(x),所以函数 f(x) = 1 x 是奇函数,故 B 满足题意;f(x) = ·4·