4.1 实数指数幂和指数函数-2025版河南省高职单招考试数学复习教材

第四章 　 指数函数与对数函数 4. 1　 实数指数幂和指数函数 1. C　 【解析】 由实数指数幂的运算法则可知(2a)·(ab) = 2a2b. 2. B　 【解析】 因为 e > 2,所以 4 (2 - e) 4 = | 2 - e | = e - 2. 又( - 8) 2 3 = 3 ( - 8) 2 = 4,所以 4 (2 - e) 4 +( - 8) 2 3 = e + 2. 3. A　 【解析】 3 4 · 2 = 4 1 3 × 2 1 2 = (22 ) 1 3 × 2 1 2 = 2 2 3 + 1 2 = 2 7 6 . 4. D　 【解析】 因为 aras = ar+s(a > 0,r,s ∈ R),所以 2m+n = 2m·2n . 又 2m = 3,2n = 5,所以2m+n = 2m·2n = 3 × 5 = 15. 5. B　 【解析】 因为 x < 1,所以 x - 1 < 0,所以 (x - 1) 2 = | x - 1 | = 1 - x. 6. A　 【解析】 由指数函数 f(x) = 2x 在 R 上单调递增,得 f(0) < f(1) < f(2) . 7. A　 【解析】 由指数函数的性质可知,函数 f(x) = ax 在定义域上严格单调. 因为 f(2) > f(3),所以函数 f(x) = ax 为减函数, 所以 0 < a < 1. 8. A　 【解析】 因为 3 > 1,所以 y = 3x 单调递增,且恒过点(0,1),故 A 选项符合题意. 9. C　 【解析】∵ 当 x ≤ 2 时,f(x) = 2x + 2,∴ f(1) = 21 + 2 = 4. 10. C　 【解析】 由题意得3x - 27 ≥ 0,即3x ≥33 . 因为指数函数 y = 3x 在 R 上单调递增,所以 x ≥ 3,故 y = 3x - 27 的定义 域为[3, + ∞ ) . 11. D　 【解析】 易得 f(2) = 22 - 1 = 3,又 f(x) 是偶函数,所以 f( - 2) = f(2) = 3. 12. C　 【解析】 根据指数函数性质知 3a - 2 > 1,解得 a > 1. 13. B　 【解析】 易知 0 < 4 3( ) -0. 1 < 4 3( ) 0 = 1,即 0 < a < 1, 3 4( ) -0. 1 > 3 4( ) 0 = 1,即 b > 1, 5 - 3 = - 5 3 < 0, 即c < 0,所以 c < 0 < a < 1 < b. 14. √　 【解析】∵ a0 = 1(a > 0 且 a ≠ 1) 恒成立,∴ 指数函数 y = ax 图像一定过点(0,1),故该说法正确. 15. √　 【解析】 当 a > 1 时,y = ax 为增函数;当 0 < a < 1 时,y = ax 为减函数. 所以 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 是单调函数,故 该说法正确. 16. ✕　 【解析】 当 a > 1 时,y = ax 是增函数,∴ 由 ax > 1 = a0 可得 x > 0;当 0 < a < 1 时,y = ax 是减函数,∴ 由 ax > 1 = a0 可得 x < 0. 故 x 的取值范围与 a 有关,∴ 该说法错误. ·01· 17. ( - ∞ , - 1]　 【解析】 易知指数函数 y = 1 2( ) x 在定义域内单调递减. 要使 f(x) = 1 2( ) x - 2 有意义,须 1 2( ) x - 2 ≥ 0,即 1 2( ) x ≥ 1 2( ) -1 ,解得 x ≤- 1,故函数 f(x) 的定义域为( - ∞ , - 1] . 18. (2, + ∞ )　 【解析】 由函数 y = 4x 的值域为(0, + ∞ ),得函数 y = 4x + 2 的值域为(2, + ∞ ) . 4. 2　 对数和对数函数 1. A　 【解析】 由 lg x = 2 可得 x = 102 = 100. 2. D　 【解析】 lg 6 = lg(2 × 3) = lg 2 + lg 3 = a + b. 3. B　 【解析】 1 2( ) 3 = 1 8 化为对数式为log 1 2 1 8 = 3. 4. C　 【解析】 f(2) = log2(6 - 2) = log24 = log222 = 2. 5. C　 【解析】 要使函数 y = lg(1 - x) 有意义,须 1 - x > 0,解得 x < 1,所以函数 y = lg(1 - x) 的定义域为( - ∞ ,1) . 6. C　 【解析】 因为函数 y = log2x 在(0, + ∞ ) 上单调递增,所以当 2 ≤ x ≤ 8 时,1 ≤ log2x ≤ 3,所以函数 f(x) = log2x 在[2, 8] 上的取值范围为[1,3] . 7. B　 【解析】 易知指数函数 y = 2x 在 R 上单调递增,y = log2x 在(0, + ∞ ) 上单调递增,只有 B 选项满足. 8. B　 【解析】 由函数 f(x) = 1 ln x 有意义得 x > 0, ln x ≠ 0, { 解得 x > 0 且 x ≠ 1, 故函数 f(x) = 1ln x 的定义域是(0,1) ∪ (1, + ∞ ) . 9. B　 【解析】 因为函数 y = log3x在(0, + ∞ ) 上单调递增,y = log5x在(0, + ∞ ) 上单调递增,所以 1 2 = log3 3 < a = log32 < 1,b = log52 < log5 5 = 1 2 . 又 c = 3a = 3 log32 = 2,所以 b < a < c. 10. A　 【解析】 因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时,f(x) = log3x,所以 f( - 3) = - f(3) = - log33 = - 1. 11. √　 【解析】∵ 0 < 1 2 < 1,∴ y = log 1 2 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,∴ 当 x > 1 时,y < log 1 2 1 = 0,故该说法正确. 12. ✕　 【解析】∵ 10 = lg x,∴ x = 1010 . 13. ✕　 【解析】 若 x = - 1,y = - 2,满足 x > y,但 ln x,ln y 无意义,所以该说法错误. 14. 2　 【解析】2log510 - log54 = log5100 - log54 = log5 100 4 = log525 = 2. 15. - 1　 【解析】 由 f(x) = ex(x ≤ 0), ln x(x > 0) { 知 f( - 1) = e -1 ,则 f[ f( - 1)] = f(e -1 ) = ln e -1 = - 1. ·11· 第四章 　　 指数函数与对数函数 　　 4. 1　 实数指数幂和指数函数 考纲解读 命题预测 1. 理解实数指数幂,掌握其运算法则; 2. 理解指数函数的定义,掌握指数函数的特点,能识别指数函数; 3. 理解指数函数的图像与性质,能利用指数函数的性质解决相关问题. 本节的命题点是利用指数的运算法则进行简单的计 算,利用指数函数的图像和性质解决不等式、最值等 综合问题,难度不大. 1. 实数指数幂 (1)n 次方根的概念与性质 概念 如果 bn = a(n > 1,n ∈ N∗ ),那么 b 叫做 a 的 n 次方根 性质 ① 当 n 是奇数时,实数 a 的 n 次方根存在且只有一个,表示为n a; ② 当 n为偶数时,正实数 a有两个 n次方根,且这两个数互为相反数,分别为n a, - n a,其中n a 称为 a的 n次算术根, 负实数 a 没有偶次方根; ③ 0 的 n(n ∈ N∗ ) 次方根为 0 　 　 (2) 根式的概念与性质 概念 当 n a 有意义时,式子n a(n > 1,n ∈ N∗ ) 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数 性质 ①( n a) n = a(n ∈ N + ,且 a > 1); ② 当 n 为奇数时, n an = a; ③ 当 n 为偶数时, n an = | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0{ ·84· 　 　 (3) 指数幂 ① 正整数指数幂 an =a·a·a·…·a·a·aüþ ýï ï ï ï ï ï ï ï ï n个a (a ≠ 0,n ∈ N∗) . ② 零指数幂 a0 = 1(a ≠ 0) . ③ 负整数指数幂 a -n = 1 an (a ≠ 0,n ∈ N∗) . (4) 分数指数幂 ① 正数的正分数指数幂:a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,n > 1); ② 正数的负分数指数幂:a - mn = 1 a m n = 1 n am (a > 0,m,n ∈ N∗,n > 1); ③ 0 的分数指数幂:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义,00 没有意义. (5) 实数指数幂的运算法则 ①aras = ar+s(a > 0,r,s ∈ R); ②(ar) s = ars(a > 0,r,s ∈ R); ③(ab) r = arbr(a > 0,b > 0,r ∈ R) . 2. 指数函数的概念 一般地,形如函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 是指数函数的底数. 3. 指数函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图像与性质 解析式 y = ax(0 < a < 1) y = ax(a > 1) 图像 定义域 R 值域 (0, + ∞ ) 性质 当 x = 0 时,y = 1,即图像过定点(0,1) 当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1 当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 4. 指数函数模型及其用法 (1) 指数函数模型 y = bax + c(a,b,c 为常数,b ≠ 0,a > 0,a ≠ 1) . ·94· (2) 应用指数函数模型解决简单实际问题的步骤 审题 → 归纳指数模型 → 根据指数运算及指数函数的图像与性质进行求解 考点一:根式的意义 函数 f(x) = x -1 + x 1 2 的定义域为 (　 　 ) A. ( - ∞ , + ∞ ) B. ( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) C. [0, + ∞ ) D. (0, + ∞ ) 要使 f(x) = x -1 + x 1 2 = 1 x + x 有意义,须 x ≠ 0, x ≥ 0,{ 解得 x > 0, 故函数 f(x) 的定义域为(0, + ∞ ) . D 函数 f(x) = 1 x - 2 +(x - 3) 0 的定义域是 (　 　 ) A. [2, + ∞ ) B. (2, + ∞ ) C. (2,3) ∪ (3, + ∞ ) D. [3, + ∞ ) 要使函数有意义,须 x - 2 > 0, x - 3 ≠ 0,{ 解得 x > 2 且 x ≠ 3, 所以该函数的定义域为(2,3) ∪ (3, + ∞ ) . C 考点二:分数指数幂与根式的互化 用分数指数幂的形式表示 a3· a (a > 0) 的结果是 (　 　 ) A. a 5 2 B. a 7 2 C. a4 D. a 3 2 ∵ a > 0, ∴ a3· a = a3·a 1 2 = a3 + 12 = a 7 2 . B 已知 x5 = 6,则 x = (　 　 ) A. 6 B. 5 6 C. - 5 6 D. ± 5 6 ·05· 因为 x5 = 6, 所以 x = 5 6 . B 考点三:指数与指数幂的运算 对任意实数 x,y 各式正确的是 (　 　 ) A. 3x + 3y = 3x+y B. 3x - 3y = 3x-y C. 3x·3y = 3xy D. 1 3x = 3 -x 易得 3x·3y = 3x+y,3 x 3y = 3x-y,所以选项 A,B,C 不正确; 1 3x = (3x) -1 = 3 -x,故选 D. D 若 2x = 3,2y = 4,则 2x+y 的值为 (　 　 ) A. 7 B. 10 C. 12 D. 34 因为 2x = 3,2y = 4, 所以 2x+y = 2x·2y = 3 × 4 = 12. C 考点四:指数函数的图像与性质 函数 f(x) =3x + 2x,x ∈ [ - 1,1] 的值域是 (　 　 ) A. 1, 5 3 é ë êê ù û úú B. [ - 1,5] C. - 5 3 ,5é ë êê ù û úú D. [0,1] 易知函数 y =3x + 2x 在[ - 1,1] 上单调递增, 所以当 x ∈ [ - 1,1] 时,3 -1 - 2 ≤3x + 2x ≤ 3 + 2,即 - 5 3 ≤ f(x) ≤ 5, 所以函数 f(x) =3x + 2x,x ∈ [ - 1,1] 的值域是 - 5 3 ,5é ë êê ù û úú . C ·15· 指数函数 y = ax 与 y =bx 的大致图像如图所示,则 (　 　 ) A. a > 1,0 < b < 1 B. a > 1,b > 1 C. 0 < a < 1,b > 1 D. 0 < a < 1,0 < b < 1 因为函数 y = ax 的图像是下降的, 所以 0 < a < 1. 因为函数 y =bx 的图像是上升的, 所以 b > 1. C 已知 a = 60. 7,b =0. 76,c = 20,则 a,b,c 的大小关系为 (　 　 ) A. a > c > b B. c > a > b C. b > a > c D. a > b > c 由指数函数的性质可知 a > 1,b < 1,c = 1, 所以 a,b,c 的大小关系为 a > c > b. A 函数 y = ax 在[0,1] 上的最大值与最小值之和为 3,则 a = (　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 因为 y = ax 为单调函数, 所以 a0 + a1 = 3,即 1 + a = 3, 所以 a = 2. C 若函数 y =(2a - 3) x 在 R 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. a < 2 B. a > 3 2 C. 3 2 < a < 2 D. a < 3 2 ·25· ∵ 函数 y =(2a - 3) x 在 R 上单调递减, ∴ 0 < 2a - 3 < 1,解得 3 2 < a < 2, ∴ 实数 a 的取值范围是 3 2 < a < 2. C 已知函数 f(x) = 2x - 1 2( ) x ,则 (　 　 ) A. f(x) 是奇函数,且在 R 上单调递增 B. f(x) 是偶函数,且在(0, + ∞ ) 上是单调递增 C. f(x) 是奇函数,且在 R 上单调递减 D. f(x) 是偶函数,且在(0, + ∞ ) 上是单调递减 因为 f(x) 的定义域为 R,关于原点对称,且 f( - x) = 2 -x - 1 2( ) -x = 1 2( ) x - 2x = - f(x), 所以 f(x) 是奇函数. 又 y = 2x 在 R 上单调递增,y = 1 2( ) x 在 R 上单调递减, 所以函数 f(x) = 2x - 1 2( ) x 在 R 上单调递增. A 1. 计算(2a)·(ab) = (　 　 ) A. 2ab B. 3ab C. 2a2b D. 3a2b 2. 4 (2 - e) 4 +( - 8) 2 3 = (　 　 ) A. - 6 + e B. 2 + e C. - 2 - e D. 6 - e 3. 将3 4 · 2 化成分数指数幂的形式是 (　 　 ) A. 2 7 6 B. 2 17 6 C. 2 1 3 D. 2?? 5 6 ·35· 4. 已知2m = 3,2n = 5,则2m+n = (　 　 ) A. 5 3 B. 2 C. 8 D. 15 5. 已知 x < 1,则 (x - 1) 2 = (　 　 ) A. x - 1 B. 1 - x C. - x - 1 D. x + 1 6. 已知函数 f(x) = 2x,则下列关系正确的是 (　 　 ) A. f(0) < f(1) B. f(0) = f(1) C. f(2) < f(1) D. f(0) > f(2) 7. 已知 f(x) =ax(a > 0,且 a ≠ 1),且 f(2) > f(3),则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. 0 < a < 1 B. a > 1 C. a < 1 D. a > 0 8. 函数 y = 3x 的图像大致为 (　 　 ) A. B. C. D. 9. 已知函数 f(x) = x - 2,x > 2, 2x + 2,x ≤ 2,{ 则 f(1) = (　 　 ) A. - 1 B. 2 C. 4 D. 8 10. 函数 y = 3x - 27 的定义域为 (　 　 ) A. ( - ∞ , 3 ] B. ( - ∞ , 3 ) C. [3, + ∞ ) D. (3, + ∞ ) 11. 已知 f(x) 是偶函数,当 x ≥ 0 时,f(x) = 2x - 1,则 f( - 2) = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. - 3 D. 3 ·45· 12. 已知当 x > 0 时,函数 f(x) = (3a - 2) x 的值总大于 1,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. 2 3 ,1( ) B. ( - ∞ ,1) C. (1, + ∞ ) D. 0, 2 3( ) 13. 已知 a = 4 3( ) -0. 1 ,b = 3 4( ) -0. 1 ,c = 5 - 3 ,则 (　 　 ) A. b > c > a B. b > a > c C. a > b > c D. c > b > a 14. (判断题) 指数函数的图像一定过点(0,1) . (　 　 ) 15. (判断题) 函数 y =ax(a > 0 且 a ≠ 1) 是单调函数. (　 　 ) 16. (判断题) 若 ax > 1,则 x > 0. (　 　 ) 17. 函数 f(x) = 1 2( ) x - 2 的定义域为 . 18. 函数 y = 4x + 2 的值域是 . 4. 2　 对数和对数函数 考纲解读 命题预测 1. 理解对数的概念,掌握指数与对数的互化; 2. 理解对数的运算法则,能够进行简单的对数化简,求值; 3. 理解对数函数的概念、图像及性质. 本节难度中等,主要考查利用对数函数的图像与性 质解决不等式、最值等综合问题. 1. 对数 (1) 对数的概念 一般地,如果 ab = N(a > 0,且 a ≠ 1),那么数 b 称为以 a 为底 N 的对数,记作 b =logaN. 其中 a 称为对数的底数,N 称为真数. ·55·