3.3 常见函数的图像和性质 -2025版河南省高职单招考试数学复习教材

13. (判断题) 函数 y = x2 + 1 的最小值为 0. (　 　 ) 14. 若函数 f(x) =x3 + ax2 为奇函数,则实数 a = . 15. 已知函数 y = f(x) 是 R 上的奇函数, 且在( - ∞ ,0] 上单调递增, 若 f(a) ≥ f 1 3( ) , 则 a 的取值范 围是 . 3. 3　 常见函数的图像和性质 考纲解读 命题预测 1. 掌握一次函数的图像和性质; 2. 掌握反比例函数的图像和性质; 3. 掌握二次函数的图像和性质; 4. 了解幂函数的概念,了解常见幂函数的图像和性质. 一次函数、反比例函数、二次函数是基础函数,它们的图像与 性质是解题的基础,需要理解和掌握. 1. 一次函数的图像与性质 k > 0 k < 0 正比例函数 y = kx(k ≠ 0) 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0,b≠ 0) b > 0 b < 0 b > 0 b < 0 图像经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 ·14· 　 　 k,b 符号的确定方法 ① 若一次函数图像从左向右呈上升趋势,则 k > 0;若呈下降趋势,则 k < 0; ② 若一次函数图像与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,则 b > 0;若在 y 轴的负半轴上, 则 b < 0;若在原点,则 b = 0. 2. 反比例函数的图像与性质 定义及表达式 图像 图像特征 性质 形如 y = k x (k 为常 数,k ≠ 0) 的函数称 为反比例函数,其中 x 是自变量,y 是函 数. 自变量的取值范 围是 x ≠ 0 k > 0 k < 0 双曲线关于原 点对称,关于直 线 y = ± x 对称 图像位于第一、 三象限, 在每个象限 内,y 随 x 的增大而减小 图像位于第二、 四象限, 在每个象限 内,y 随 x 的增大而增大 3. 二次函数 (1) 二次函数的定义 一般地,如果 y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数,a ≠ 0),那么 y 叫做 x 的二次函数. (2) 二次函数的解析式 一般式 f(x) = ax2 + bx + c 顶点式 f(x) = a(x - h) 2 + k,图像的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线 x = h 零点式 f(x) = a(x - x1 )(x - x2 ),图像与 x 轴交于(x1 ,0),(x2 ,0) 两点,对称轴是直线 x = x1 + x2 2 　 　 (3) 二次函数的图像与性质 函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) y = ax2 + bx + c(a < 0) 大致图像 图像开口方向 开口向上 开口向下 定义域 R 值域 4ac - b2 4a , + ∞[ ) - ∞ ,4ac - b 2 4a( ] ·24· 续表 函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) y = ax2 + bx + c(a < 0) 对称轴 直线 x = - b 2a 顶点坐标 - b 2a ,4ac - b2 4a( ) 奇偶性 当 b = 0 时是偶函数,当 b ≠ 0 时是非奇非偶函数 单调性 在 - ∞ , - b 2a( ] 上单调递减, 在 - b 2a , + ∞[ ) 上单调递增 在 - ∞ , - b 2a( ] 上单调递增, 在 - b 2a , + ∞[ ) 上单调递减 　 　 一般地,抛物线 y = a(x - h) 2 + k 与 y = ax2 形状相同,位置不同. 把抛物线 y = ax2 向上(下) 向 左(右) 平移,可以得到抛物线 y = a(x - h) 2 + k. 平移的方向、距离要根据 h,k 的值来决定. 4. 幂函数 (1) 幂函数的定义 一般地,形如 y = xα(α ∈ R,α ≠ 0) 的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,指数 α 为常数. (2) 常见的 5 种幂函数的图像和性质 解析式 y = x y = x2 y = x3 y = x 1 2 y = x -1 定义域 R R R [0, + ∞ ) {x | x ≠ 0} 值域 R [0, + ∞ ) R [0, + ∞ ) {y | y ≠ 0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在( - ∞ ,0) 上减, 在(0, + ∞ ) 上增 增 增 在( - ∞ ,0) 和 (0, + ∞ ) 上减 过定点 (0,0),(1,1) (1,1) 图像 ·34· 考点一:幂函数性质的应用 若函数 y = (2m - 1)x + 2 为增函数,则常数 m 的取值范围为 . ∵ y = (2m - 1)x + 2 为增函数, ∴ 2m - 1 > 0,解得 m > 1 2 . 1 2 , + ∞( ) 已知 a,b ∈ R,且 a > b,则下列不等式中正确的是 (　 　 ) A. a2 > b2 B. ab < b2 C. 1 a + 1 < 1 b + 1 D. a3 > b3 A 项,函数 y = x2 在定义域内不具有单调性,所以 a,b ∈ R,且 a > b 时,a2 > b2 不成立,故 A错误; B 项,当 a = 2,b = 1 时,满足 a > b,但不满足 ab < b2,故 B错误; C 项,函数 y = 1 x + 1 在定义域内不具有单调性,所以 a,b ∈ R,且 a > b 时, 1 a + 1 < 1 b + 1 不成立, 故 C 错误; D 项,易知函数 f(x) = x3 在 R 上是增函数,所以 a,b ∈ R,且 a > b 时,a3 > b3 成立,故 D 正确. D 下列函数中,在(0,2) 上单调递增的是 (　 　 ) A. f(x) = x - 1 B. f(x) = x2 - 2x C. f(x) = 1 x D. f(x) = x 1 2 A 项,f(x) = x - 1 的定义域为[1, + ∞ ),不符合题意; B 项,f(x) = x2 - 2x 在(0,1) 上单调递减,不符合题意; C 项,f(x) = 1 x 在(0,2) 上单调递减,不符合题意; D 项,f(x) = x 1 2 = x 在(0,2) 上单调递增,符合题意. D ·44· 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0, + ∞ ) 上单调递减的是 (　 　 ) A. y = x -2 B. y = x -1 C. y = x2 D. y = x 1 2 由幂函数性质知:y = x -2,y = x2 为偶函数,y = x -1 为奇函数,y = x 1 2 为非奇非偶函数;在(0, + ∞ ) 上 y = x -2 单调递减,y = x2 单调递增. 故 A 符合题意. A 考点二:二次函数的图像与性质 已知二次函数 y = x2 - 2x + 3,则当 - 2 ≤ x ≤ 2 时,下列说法正确的是 (　 　 ) A. 有最小值 11 B. 有最小值 3 C. 有最小值 2 D. 有最大值 3 ∵ 二次函数 y = x2 - 2x + 3 =(x - 1) 2 + 2 的图像开口向上,对称轴是直线 x = 1, ∴ 二次函数 y = x2 - 2x + 3 =(x - 1) 2 + 2 在[ - 2,1] 上单调递减,在[1,2] 上单调递增, ∴ 在 x = 1 处取得最小值 2. ∵ 当 x = - 2 时,y = 11,当 x = 2 时,y = 3,3 < 11, ∴ 在 x = - 2 处取得最大值 11. C 考点三:二次函数的实际应用 某公司共有 60 位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构对公司员工 进行培训. 培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加培训员工支付的 400 元培训材料费;另一部 分是给培训机构缴纳的培训费. 若参加培训的员工人数不超过 30,则每人收取培训费 1 000 元;若参加培 训的员工人数超过 30,则每超过 1 人,人均培训费减少 20 元. 设该公司参加培训的员工人数为 x,此次培 训的总费用为 y 元. (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 试预算该公司此次培训的总费用最多需要多少元. (1) 当 0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N 时,y = 400x + 1 000x = 1 400x; 当 30 < x ≤ 60,x ∈ N 时,y = 400x + [1 000 - 20(x - 30)]·x = - 20x2 + 2 000x. 故 y = 1 400x,0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N, - 20x2 + 2 000x,30 < x ≤ 60,x ∈ N.{ (2) 当 0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N 时,函数在 x = 30 时取得最大值,最大值为 1 400 × 30 = 42 000; ·54· 当 30 < x ≤ 60,x ∈ N 时,y = - 20(x - 50) 2 + 50 000,当 x = 50 时 y 取得最大值,最大值为 50 000. 综上,该公司此次培训的总费用最多需要 50 000 元. 1. 反比例函数 y = 1 x (x < 0) 的图像位于 (　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数 y = - x2 的单调递增区间为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,0] B. [0, + ∞ ) C. ( - ∞ , + ∞ ) D. ( - 1, + ∞ ) 3. 如果函数 y = x2 + ( 1 - a) x + 2 在区间( 4, + ∞ ) 上单调递增,那么实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - ∞ ,9] B. ( - ∞ , - 3] C. [5, + ∞ ) D. ( - ∞ ,7] 4. 若函数 y = (a + 1)x + b 是增函数,则 (　 　 ) A. a > - 1 B. a < - 1 C. b > 0 D. b < 0 5. 若函数 y = ax + 1 在[1,2] 上的最大值与最小值的差为 2,则实数 a 的值是 (　 　 ) A. 2 B. - 2 C. 2 或 - 2 D. 0 6. 若函数 f(x) = k x 在区间[2,4] 上的最小值为 5,则 k 的值为 (　 　 ) A. 10 B. 10 或 20 C. 20 D. 无法确定 7. 关于函数 f(x) = x -2,下列说法错误的是 (　 　 ) A. 函数的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) B. 函数的值域为(0, + ∞ ) C. 函数在( - ∞ ,0) 上单调递减,在(0, + ∞ ) 上单调递增 D. 函数是偶函数 8. 已知函数 f(x) = x3,不等式 f(1 - x) + f(1) > 0 的解集为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,2) B. (2, + ∞ ) C. ( - ∞ ,1) D. (1, + ∞ ) ·64· 9. 设 α ∈ { - 1, 1 2 , 1, 2, 3},则使函数 y = xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 的值为 (　 　 ) A. - 1,1 B. 1,3 C. 1,2,3 D. 1 2 ,1,3 10. 若 a = 1 3( ) 2 3 ,b = 1 5( ) 2 3 ,c = 4 9( ) 1 3 ,则 a,b,c 的大小关系是 (　 　 ) A. a < b < c B. c < a < b C. b < c < a D. b < a < c 11. 若二次函数 y = f(x) 的图像的对称轴为直线 x = 1,函数的最小值为 - 1,且 f(0) = 0. (1) 求 f(x) 的解析式; (2) 若关于 x 的不等式 f(x) > m - 2x 在区间[0,3] 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ·74· 7. C　 【解析】 易知函数 f(x) = ax3 + bx(a ≠ 0) 的定义域为 R,关于原点对称,又 f( - x) = a( - x) 3 + b( - x) = - (ax3 + bx) = - f(x),所以函数 f(x) = ax3 + bx(a ≠ 0) 为奇函数. 因为 f( - 3) = 3,所以 f(3) = - f( - 3) = - 3. 8. B　 【解析】 因为函数 f(x) 是奇函数,且在[1,3] 上是增函数,所以函数 f(x) 在 x = 1 处取得最小值,所以 f(1) = 1,所以函 数 f(x) 在[ - 3, - 1] 上是增函数,在 x = - 1 处取得最大值. 由奇函数的性质得 f( - 1) = - f(1) = - 1,所以 f(x) 在 [ - 3, - 1] 上的最大值为 - 1. 9. A　 【解析】 因为函数 y = f(x) 在 R 上单调递增,且 f(m2 + 1) < f( - m + 1),所以 m2 + 1 < - m + 1,即 m2 + m < 0,解得 - 1 < m < 0. 10. D　 【解析】 由偶函数的定义知 f(2) = f( - 2),又 f(x) 在( - ∞ ,0] 上单调递增,且 - 2 < - 3 2 < - 1,所以 f( - 2) < f - 3 2( ) < f( - 1),即 f(2) < f - 3 2( ) < f( - 1) . 11. C　 【解析】 由题可得 f(2x - 1) ≥ f(1) . 因为函数 f(x) 为偶函数,所以 f( | 2x - 1 | ) ≥ f(1) . 因为函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上 单调递减,所以 | 2x - 1 | ≤ 1,即 - 1 ≤ 2x - 1 ≤ 1,解得 0 ≤ x ≤ 1. 12. √　 【解析】∵ y = f(x) = 2x2 - 1 的定义域为 R,关于原点对称,f( - x) = 2( - x) 2 - 1 = f(x),∴ 函数 y = 2x2 - 1 是偶 函数. 13. ✕　 【解析】 易知函数 y = x2 + 1 在( - ∞ ,0) 上单调递减,(0, + ∞ ) 上单调递增,所以 x = 0 时,函数 y = x2 + 1 取得最 小值,为 02 + 1 = 1. 14. 0　 【解析】 因为 f(x) 为奇函数,所以 f( - x) + f(x) = ( - x) 3 + a( - x) 2 +x3 + ax2 = 0,化简得 2ax2 = 0,因为 x ∈ R, 所以 a = 0. 15. a ≥ 1 3 　 【解析】∵ y = f(x) 是R上的奇函数,且在( - ∞ ,0] 上单调递增,∴ y = f(x) 在[0, + ∞ ) 上也单调递增,∵ f(a) ≥ f 1 3( ) ,∴ a ≥ 1 3 . 3. 3　 常见函数的图像和性质 1. C　 【解析】 因为 k = 1 > 0,所以反比例函数的图像在第一、三象限. 又 x < 0,所以 y = 1 x (x < 0) 的图像在第三象限. 2. A　 【解析】 易知二次函数 y = - x2 的图像开口向下, 对称轴为直线 x = 0, 所以函数 y = - x2 的单调递增区间为 ( - ∞ ,0] . 3. A　 【解析】 易知函数 y = x2 + (1 - a)x + 2 的图像是开口向上,对称轴为直线 x = - 1 - a 2 = a - 1 2 的抛物线. 又函数 y = x2 + (1 - a)x + 2 在区间(4, + ∞ ) 上单调递增,所以 a - 1 2 ≤ 4,所以 a ≤ 9. 4. A　 【解析】 根据一次函数的性质可得 a + 1 > 0,解得 a > - 1. ·8· 5. C　 【解析】 由题意知 a ≠ 0.当 a > 0 时,函数 y = ax + 1 在[1,2] 上单调递增,由题意得(2a + 1) - (a + 1) = 2,解得 a = 2;当 a < 0 时,函数 y = ax + 1 在[1,2] 上单调递减,由题意得(a + 1) - (2a + 1) = 2,解得 a = - 2.综上,a = 2 或 a = - 2. 6. C　 【解析】 由题意知 k > 0,则 f(x) = k x 在[2,4] 上单调递减,故 f(4) = k 4 = 5,解得 k = 20. 7. C　 【解析】 f(x) = x -2 = 1 x2 ,由 x2 ≠ 0 得 x ≠ 0,所以函数 f(x) = x -2 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ),关于原点对称. 因 为 f( - x) = ( - x) -2 = 1 ( - x) 2 = 1 x2 = x -2 = f(x),所以 f(x) 为偶函数,故 A,D 不符合题意. 因为当 x ∈ ( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 时,x2 > 0,所以 1 x2 > 0,所以 x -2 > 0,即 f(x) > 0,所以函数 f(x) 的值域为(0, + ∞ ),故 B 不符合题意. 对任意的 x1 , x2 ∈ ( - ∞ ,0), 且 x1 < x2 , 则 x2 - x1 > 0,x2 + x1 < 0, (x1x2 ) 2 > 0, 所以 f(x1 ) - f(x2 ) = 1 x21 - 1 x22 = x22 - x21 (x1x2 ) 2 = (x2 - x1 )(x2 + x1 ) (x1x2 ) 2 < 0,所以 f(x1 ) < f(x2 ),即 f(x) 在( - ∞ ,0) 上单调递增,又 f(x) 为偶函数,图像关于 y 轴对称,所以 f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递减,故 C 符合题意. 8. A　 【解析】 易知 f(x) = x3 是在R上单调递增的奇函数,所以 f( - 1) = - f(1) . 由 f(1 - x) + f(1) > 0,得 f(1 - x) > - f(1), 即 f(1 - x) > f( - 1),所以 1 - x > - 1,解得 x < 2,所以不等式 f(1 - x) + f(1) > 0 的解集是( - ∞ ,2) . 9. B　 【解析】 因为 y = x -1 ,y = x 1 2 的定义域都不是 R,函数 y = x2 是定义域为 R 的偶函数,所以 y = x -1 ,y = x 1 2 ,y = x2 均 不满足题意. 易知 y = x,y = x3 的定义域为 R,且为奇函数,均符合题意,所以满足题意的 α 的值为 1,3. 10. D　 【解析】 易知 c = 4 9( ) 1 3 = 2 3( ) 2 3 . 因为 y = x 2 3 在(0, + ∞ ) 上单调递增,且 1 5 < 1 3 < 2 3 ,所以 1 5( ) 2 3 < 1 3( ) 2 3 < 2 3( ) 2 3 ,即 b < a < c. 11. 【解析】(1) 由 f(x) 为二次函数,设 f(x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) . ∵ f(x) 图像的对称轴为直线 x = 1,函数的最小值为 - 1,且 f(0) = 0, ∴ - b 2a = 1, c = 0, 4ac - b2 4a = - 1, ì î í ï ï ï ï ï ï 解得 a = 1, b = - 2, c = 0, ì î í ï ï ï ï ∴ f(x) = x2 - 2x. (2) 易知不等式 f(x) > m - 2x 在区间[0,3] 上恒成立,等价于 m < x2 在[0,3] 上恒成立, 又当 x ∈ [0,3] 时,x2 ≥ 0, ∴ m < 0, ∴ 实数 m 的取值范围为( - ∞ ,0) . ·9·