3.2 函数的性质 -2025版河南省高职单招考试数学复习教材

3. 2　 函数的性质 考纲解读 命题预测 1. 理解函数的单调性,掌握函数单调性的判断方法,能够利用函数 单调性求解不等式及函数最值; 2. 理解函数的奇偶性,掌握函数奇偶性的判断方法,能够利用函数 奇偶性解决相关问题. 本节是考试的重点,难度中等,主要考查利用函数的 单调性、奇偶性比较实数大小、求函数值及解不等式 等问题. 1. 函数的单调性 (1) 增函数、减函数 单调递增 单调递减 条件 如果 ∀x1 ,x2 ∈ D(区间 D 为定义域 I 的子集),当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) < f(x2 ) f(x1 ) > f(x2 ) 结论 称函数 y = f(x) 在区间 D 上单调递增 称函数 y = f(x) 在区间 D 上单调递减 当函数 f(x) 在定义域 I 上单调递增时, 称 f(x) 是增函数 当函数 f(x) 在定义域 I 上单调递减时, 称 f(x) 是减函数 图示 图像特征 函数 f(x) 的图像是上升的 函数 f(x) 的图像是下降的 　 　 (2) 单调区间 如果函数 y = f(x) 在区间 D 上单调递增或单调递减,那么区间 D 叫做函数 y = f(x) 的单调区间. (3) 判断函数单调性的方法 ① 定义法 在区间 D 中, ·43· x1 < x2 时,f(x1) < f(x2)⇔ 函数 f(x) 单调递增; x1 > x2 时,f(x1) < f(x2)⇔ 函数 f(x) 单调递减. ② 图像法 在区间 D 中, 图像上升 ⇔ 函数 f(x) 单调递增; 图像下降 ⇔ 函数 f(x) 单调递减. ③ 利用常见函数单调性法 若 k > 0,则 kf(x),kf(x) + C(C 为常数) 的单调性与 f(x) 相同; 若 k < 0,则 kf(x),kf(x) + C(C 为常数) 的单调性与 f(x) 相反; 函数 f(x)( f(x) > 0) 与 f(x) 的单调性相同,与 1 f(x) 的单调性相反. (4) 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 y = ax + b(a ≠ 0) a > 0 在 R 上单调递增 a < 0 在 R 上单调递减 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) a > 0 在( - ∞ ,0),(0, + ∞ ) 上单调递减 a < 0 在( - ∞ ,0),(0, + ∞ ) 上单调递增 二次函数 y = a(x - m) 2 + n(a ≠ 0) a > 0 在( - ∞ ,m] 上单调递减,[m, + ∞ ) 上单调递增 a < 0 在( - ∞ ,m] 上单调递增,[m, + ∞ ) 上单调递减 　 　 (5) 函数的最值 最大值 最小值 条件 ∃x0 ∈ I( I 为定义域),使得 f(x0 ) = M,且 ∀x ∈ I,都有 f(x) ≤ M f(x) ≥ M 结论 那么就称 M 为函数 y = f(x) 的最大值 那么就称 M 为函数 y = f(x) 的最小值 几何意义 f(x) 图像上最高点的纵坐标 f(x) 图像上最低点的纵坐标 2. 函数的奇偶性 (1) 点的对称 ① 点 P(x,y) 关于 x 轴的对称点的坐标为(x, - y),关于 y 轴的对称点的坐标为( - x,y) . ② 点 P(x,y) 关于原点对称的点的坐标为( - x, - y) . (2) 奇函数、偶函数的定义 前提 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果 ∀x ∈ I,都有 - x ∈ I 条件 f( - x) = - f(x) f( - x) = f(x) 结论 f(x) 是奇函数 f(x) 是偶函数 定义域特征 奇函数与偶函数的定义域均关于原点对称 ·53· 　 　 (3) 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 　 　 判断函数奇偶性为什么一定要强调定义域关于原点对称呢? 这是由函数奇偶性的定义得到的. 定义:设函数 f(x) 的定义域为 I,如果 ∀x ∈ I,都有 - x ∈ I. 故当 x0 是定义域中的元素时, - x0 也应该是定义域中的元素,因此,具有奇偶性的函数的定 义域一定关于原点对称. ② 图像法 图像关于原点对称 ⇔ 奇函数; 图像关于 y 轴对称 ⇔ 偶函数. (4) 常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 y = ax + b(a ≠ 0) 当 b = 0 时,是奇函数 当 b ≠ 0 时,既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) 奇函数 二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 当 b = 0 时,是偶函数 当 b ≠ 0 时,既不是奇函数也不是偶函数 　 　 (5) 奇函数、偶函数的单调性 ① 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; ② 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. ·63· 考点一:函数的单调性 下列函数在( - ∞ ,0) 上单调递减的是 (　 　 ) A. y = - 1 x B. y = x2 C. y = - x2 D. y = x 函数 y = - 1 x 在( - ∞ ,0) 上单调递增,故 A 不正确; 函数 y = x2 在( - ∞ ,0) 上单调递减,故 B 正确; 函数 y = - x2 在( - ∞ ,0) 上单调递增,故 C 不正确; 函数 y = x 在( - ∞ ,0) 上单调递增,故 D 不正确. B 已知函数 y = f(x)(x ∈ R) 为增函数,则下列关系正确的是 (　 　 ) A. f( - 2) > f(3) B. f(2) < f(3) C. f( - 2) < f( - 3) D. f( - 1) > f(0) 因为函数 y = f(x)(x ∈ R) 为增函数,且 - 3 < - 2 < - 1 < 0 < 2 < 3, 所以 f( - 3) < f( - 2) < f( - 1) < f(0) < f(2) < f(3) . 结合四个选项知 B 正确. B 设函数 y = f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递减,实数 a 满足 f(2a - 1) > f(a + 4),则 a 的取值范 围是 (　 　 ) A. ( - ∞ ,5) B. 1 2 ,5( ) C. 1 2 , + ∞( ) D. (5, + ∞ ) 因为函数 y = f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递减,且 f(2a - 1) > f(a + 4), 所以 0 < 2a - 1 < a + 4,解得 1 2 < a < 5. B ·73· 考点二:函数的奇偶性 下列函数中是奇函数的是 (　 　 ) A. y = 2x + 1 B. y = - 2x2 + 3x - 1 C. y = 3x D. y = x2 易知函数 y = 2x,y = 3x 是奇函数,y = 1,y = - 2x2,y = x2 是偶函数,故 C 符合题意,D 不符 合题意. 由“奇 ± 偶不具有奇偶性” 知 y = 2x + 1,y = - 2x2 + 3x - 1 不具有奇偶性,故 A,B 不符合题意. C 已知函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数,当 x ≥ 0 时,f(x) = 2x - 1,则 f( - 1) = (　 　 ) A. - 1 B. - 1 2 C. 1 2 D. 1 因为当 x ≥ 0 时,f(x) = 2x - 1, 所以 f(1) = 21 - 1 = 1. 又函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数, 所以 f( - 1) = - f(1) = - 1. A 若函数 f(x) = 3x2 + bx - 1(b ∈ R) 是偶函数,则 f( - 1) = (　 　 ) A. 4 B. - 4 C. 2 D. - 2 由函数 f(x) = 3x2 + bx - 1(b ∈ R) 是偶函数得 f( - x) = f(x),即 3x2 -bx - 1 = 3x2 + bx - 1, 即 2bx = 0 对任意的 x 恒成立, 所以 b = 0, 所以 f(x) = 3x2 - 1, 所以 f( - 1) = 3 - 1 = 2. C 已知定义在 R 上的函数 F(x) = f(x) - 2 是奇函数,满足F( - 1) = 1,则 f(0) +f( - 1) = (　 　 ) A. - 3 B. - 1 C. 2 D. 5 因为 F(x) 是 R 上的奇函数, 所以 F(0) = f(0) - 2 = 0,解得 f(0) = 2. 又 F( - 1) = f( - 1) - 2 = 1, 所以 f( - 1) = 3, 所以 f(0) + f( - 1) = 5. D ·83· 　 　 定义域在 R 上的奇函数 f(x) 在 x = 0 处的函数值为 0,证明如下: 因为奇函数 f(x) 满足 f( - x) = - f(x), 所以 f( - 0) = - f(0), 移项得 2f(0) = 0,解得 f(0) = 0. 考点三:函数性质的综合应用 已知偶函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上为增函数,若 a = f( - 3),b = f(1),c = f(2),则 (　 　 ) A. a > b > c B. a > c > b C. b > a > c D. c > b > a 因为函数 f(x) 为偶函数, 所以 a = f( - 3) = f(3) . 因为函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上为增函数,且 3 > 2 > 1, 所以 f(3) > f(2) > f(1),即 a > c > b. B 已知奇函数 f(x) 在 [ - 3,0] 上单调递减, 且 f( - 3) =2, 则 f(x) 在 [0,3] 上的最小 值为 . 因为 f(x) 为奇函数,且在[ - 3,0] 上单调递减, 所以 f(x) 在[0,3] 上单调递减, 所以 f(x) 在[0,3] 上的最小值为 f(3) . 由 f(x) 是奇函数,f( - 3) = 2 得 f(3) = - f( - 3) = - 2, 所以 f(x) 在[0,3] 上的最小值为 - 2. - 2 1. 函数 f(x) 在 R 上是减函数,则 (　 　 ) A. f(2) < f(5) B. f(2) ≤ f(5) C. f(2) > f(5) D. f(2) ≥ f(5) ·93· 2. 已知函数 f(x) 为偶函数,且 f(2) = 4,则 f( - 2) = (　 　 ) A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 3. 已知函数 f(x) 为定义在 R 上的奇函数,若 f( - 5) = - 4,则 f(5) = (　 　 ) A. - 2 B. 2 C. - 4 D. 4 4. 下列函数中,既是奇函数,又在区间(0, + ∞ ) 上单调递增的是 (　 　 ) A. y = x B. y =x2 C. y = 1 x D. y =x3 5. 已知 f(x) = ax + 1 x2 + 1 为偶函数,则 a = (　 　 ) A. 1 B. - 1 C. 0 D. 2 6. 下列函数 f(x) 中,满足对任意 x1,x2 ∈ (0, + ∞ ),当 x1 < x2 时,都有 f(x1) > f(x2) 的是 (　 　 ) A. f(x) = 1 x B. f(x) = x2 C. f(x) =| x | D. f(x) = ln x 7. 已知函数 f(x) = ax3 + bx(a ≠ 0) 满足 f( - 3) = 3,则 f(3) = (　 　 ) A. 2 B. - 2 C. - 3 D. 3 8. 若奇函数 f(x) 在[1,3] 上是增函数,且最小值是 1,则 f(x) 在[ - 3, - 1] 上是 (　 　 ) A. 增函数,最小值是 - 1 B. 增函数,最大值是 - 1 C. 减函数,最小值是 - 1 D. 减函数,最大值是 - 1 9. 若函数 y = f(x) 在 R 上单调递增,且 f(m2 + 1) < f( - m + 1),则实数 m 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - 1,0) B. ( - 2,1) C. (0,1) D. ( - ∞ , - 1) ∪ (0, + ∞ ) 10. 若偶函数 f(x) 在( - ∞ ,0] 上单调递增,则 (　 　 ) A. f - 3 2( ) < f( - 1) < f(2) B. f( - 1) < f - 3 2( ) < f(2) C. f(2) < f( - 1) < f - 3 2( ) D. f(2) < f - 3 2( ) < f( - 1) 11. 已知偶函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上单调递减,且 f(1) = - 1,若 f(2x - 1) ≥- 1,则 x 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - ∞ , - 1] B. [1, + ∞ ) C. [0,1] D. ( - ∞ ,0] ∪ [1, + ∞ ) 12. (判断题) 函数 y = 2x2 - 1 是偶函数. (　 　 ) ·04· 13. (判断题) 函数 y = x2 + 1 的最小值为 0. (　 　 ) 14. 若函数 f(x) =x3 + ax2 为奇函数,则实数 a = . 15. 已知函数 y = f(x) 是 R 上的奇函数, 且在( - ∞ ,0] 上单调递增, 若 f(a) ≥ f 1 3( ) , 则 a 的取值范 围是 . 3. 3　 常见函数的图像和性质 考纲解读 命题预测 1. 掌握一次函数的图像和性质; 2. 掌握反比例函数的图像和性质; 3. 掌握二次函数的图像和性质; 4. 了解幂函数的概念,了解常见幂函数的图像和性质. 一次函数、反比例函数、二次函数是基础函数,它们的图像与 性质是解题的基础,需要理解和掌握. 1. 一次函数的图像与性质 k > 0 k < 0 正比例函数 y = kx(k ≠ 0) 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0,b≠ 0) b > 0 b < 0 b > 0 b < 0 图像经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 ·14· 为 R,所以 y = 3 x3 与 y = x的定义域和对应关系都相同,故 C 符合题意. y = x 2 x 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ),与 y = x 的定义域不同,故 D 不符合题意. 10. C　 【解析】∵ f(x) = 2x - 1,∴ f(x + 2) = 2(x + 2) - 1 = 2x + 3. 11. ✕　 【解析】 由题意得 x + 1 ≥ 0, x ≠ 0,{ 解得 x ≥- 1 且 x ≠ 0,所以函数 y = x + 1 x 的定义域是[ - 1,0) ∪ (0, + ∞ ) . 12. ✕　 【解析】 函数 y = | x | 的定义域为 R,函数 y = x 的定义域为[0, + ∞ ),两函数的定义域不同,故两函数不是同一 函数. 13. [0,6]　 【解析】 由函数 f(x) = - x2 + 6x 有意义得 - x2 + 6x ≥ 0,即 x(x - 6) ≤ 0,解得 0 ≤ x ≤ 6,所以函数 f(x) 的 定义域为[0,6] . 14. 1 2 ,1( ) 　 【解析】 由函数 y = 11 - x + log2(2x - 1) 有意义得 1 - x > 0, 2x - 1 > 0,{ 解得 1 2 < x < 1,所以函数 y = 1 1 - x + log2(2x - 1) 的定义域为 1 2 ,1( ) . 3. 2　 函数的性质 1. C　 【解析】 因为 f(x) 在 R 上是减函数,且 2 < 5,所以 f(2) > f(5) . 2. C　 【解析】 由偶函数的性质得 f( - 2) = f(2) = 4. 3. D　 【解析】 因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f(5) = - f( - 5) = 4. 4. D　 【解析】 对于 A,函数 y = x 的定义域为[0, + ∞ ),不关于原点对称,所以函数 y = x 不是奇函数,故 A 不符合题意;对 于 B,函数 y = f(x) = x2 的定义域为 R,因为 f( - x) = x2 ≠- f(x),所以函数 y = x2 不是奇函数,故 B 不符合题意;对于 C, 函数 y = f(x) = 1 x 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ),因为 f( - x) = - 1 x = - f(x),所以函数 y = 1 x 为奇函数,易知函 数 y = 1 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,故 C 不符合题意;对于 D,函数 y = f(x) =x3 的定义域为R,因为 f( - x) = -x3 = - f(x), 所以函数 y = x3 为奇函数,易知函数 y = x3 在区间(0, + ∞ ) 上单调递增,故 D 符合题意. 5. C　 【解析】 因为 f(x) 为偶函数,所以 f(x) = f( - x),所以 ax + 1 x2 + 1 = - ax + 1 ( - x) 2 + 1 ,即 2ax = 0 对于任意的 x 恒成 立,所以 a = 0. 6. A　 【解析】 对任意 x1 ,x2 ∈ (0, + ∞ ),当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) > f(x2 ),则函数 f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递减. 函数 f(x) = 1 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,A 符合题意;函数 f(x) = x2 在(0, + ∞ ) 上单调递增,B 不符合题意;函数 f(x) = | x | 在 (0, + ∞ ) 上单调递增,C 不符合题意;函数 f(x) = ln x 在(0, + ∞ ) 上单调递增,D 不符合题意. ·7· 7. C　 【解析】 易知函数 f(x) = ax3 + bx(a ≠ 0) 的定义域为 R,关于原点对称,又 f( - x) = a( - x) 3 + b( - x) = - (ax3 + bx) = - f(x),所以函数 f(x) = ax3 + bx(a ≠ 0) 为奇函数. 因为 f( - 3) = 3,所以 f(3) = - f( - 3) = - 3. 8. B　 【解析】 因为函数 f(x) 是奇函数,且在[1,3] 上是增函数,所以函数 f(x) 在 x = 1 处取得最小值,所以 f(1) = 1,所以函 数 f(x) 在[ - 3, - 1] 上是增函数,在 x = - 1 处取得最大值. 由奇函数的性质得 f( - 1) = - f(1) = - 1,所以 f(x) 在 [ - 3, - 1] 上的最大值为 - 1. 9. A　 【解析】 因为函数 y = f(x) 在 R 上单调递增,且 f(m2 + 1) < f( - m + 1),所以 m2 + 1 < - m + 1,即 m2 + m < 0,解得 - 1 < m < 0. 10. D　 【解析】 由偶函数的定义知 f(2) = f( - 2),又 f(x) 在( - ∞ ,0] 上单调递增,且 - 2 < - 3 2 < - 1,所以 f( - 2) < f - 3 2( ) < f( - 1),即 f(2) < f - 3 2( ) < f( - 1) . 11. C　 【解析】 由题可得 f(2x - 1) ≥ f(1) . 因为函数 f(x) 为偶函数,所以 f( | 2x - 1 | ) ≥ f(1) . 因为函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上 单调递减,所以 | 2x - 1 | ≤ 1,即 - 1 ≤ 2x - 1 ≤ 1,解得 0 ≤ x ≤ 1. 12. √　 【解析】∵ y = f(x) = 2x2 - 1 的定义域为 R,关于原点对称,f( - x) = 2( - x) 2 - 1 = f(x),∴ 函数 y = 2x2 - 1 是偶 函数. 13. ✕　 【解析】 易知函数 y = x2 + 1 在( - ∞ ,0) 上单调递减,(0, + ∞ ) 上单调递增,所以 x = 0 时,函数 y = x2 + 1 取得最 小值,为 02 + 1 = 1. 14. 0　 【解析】 因为 f(x) 为奇函数,所以 f( - x) + f(x) = ( - x) 3 + a( - x) 2 +x3 + ax2 = 0,化简得 2ax2 = 0,因为 x ∈ R, 所以 a = 0. 15. a ≥ 1 3 　 【解析】∵ y = f(x) 是R上的奇函数,且在( - ∞ ,0] 上单调递增,∴ y = f(x) 在[0, + ∞ ) 上也单调递增,∵ f(a) ≥ f 1 3( ) ,∴ a ≥ 1 3 . 3. 3　 常见函数的图像和性质 1. C　 【解析】 因为 k = 1 > 0,所以反比例函数的图像在第一、三象限. 又 x < 0,所以 y = 1 x (x < 0) 的图像在第三象限. 2. A　 【解析】 易知二次函数 y = - x2 的图像开口向下, 对称轴为直线 x = 0, 所以函数 y = - x2 的单调递增区间为 ( - ∞ ,0] . 3. A　 【解析】 易知函数 y = x2 + (1 - a)x + 2 的图像是开口向上,对称轴为直线 x = - 1 - a 2 = a - 1 2 的抛物线. 又函数 y = x2 + (1 - a)x + 2 在区间(4, + ∞ ) 上单调递增,所以 a - 1 2 ≤ 4,所以 a ≤ 9. 4. A　 【解析】 根据一次函数的性质可得 a + 1 > 0,解得 a > - 1. ·8·