3.1 函数的概念及表示法-2025版河南省高职单招考试数学复习教材

第三章 函 　　 数 3. 1　 函数的概念及表示法 考纲解读 命题预测 1. 理解函数的概念、表示方法,能求函数定义域和函数值; 2. 了解函数图像的平移关系; 3. 了解简单的分段函数,并能进行简单的计算和应用; 4. 在实际情境中,会选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法) 表 示函数. 本节内容是常考内容,考查形式多为选择、判断、填 空,主要考查题型为分段函数求值、函数定义域的求 法、由函数图像判断函数值域等,偶尔涉及常见函数 图像的平移变换. 1. 函数的概念 一般地,设D是非空数集,对于D中的每一个 x,按照某个确定的对应法则 f,都有唯一确定的值 y与它对 应,那么就称 y 为 x 的函数,记作 y = f(x),x ∈ D. 其中,x 称为自变量,x 的取值范围 D 称为函数的定义域. 当x0 ∈ D 时, 与 x0 相对应的值 y0 称为函数在点 x0 处的函数值, 记作 y0 = f( x0) . 函数值的集合 {y | y = f(x),x ∈ D} 称为函数的值域. 如:一次函数 y = 2x + 1 的定义域为 R,值域为 R,也可记为 f(x) = 2x + 1. 对应法则 　 x → 2x + 1 2 → 2 × 2 + 1 = 5 2. 函数的两要素 定义域、对应法则是函数的两要素. ·72· (1) 定义域 求函数定义域时,须使函数的解析式有意义. (2) 同一函数 ① 一个函数的定义域和对应法则确定了,这个函数也就确定了. ② 当两个函数的定义域和对应法则都相同时,这两个函数表示同一函数. 如:f(x) = x 与 g(x) = x 2 x 不是同一函数,因为它们的定义域不同. 3. 函数的表示方法 (1) 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法. 如:y = kx + b,y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 等都是利用解析法表示的函数. (2) 列表法 列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法. 如:下表表示购买签字笔的数量 x(单位:支) 和应付款 y(单位:元) 之间的函数关系. x / 支 1 2 3 4 y / 元 6. 5 13 19. 5 26 　 　 由表知,函数的定义域为{1,2,3,4},值域为{6. 5,13,19. 5,26} . (3) 图像法 用图像表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图像法. 如:下图表示某市居民每户每年应缴水费 y(单位:元) 和用水量 x(单位:m3) 之间的函数关系. 4. 分段函数 自变量在不同范围内取值时,需要用不同的解析式来表示,称这样的函数为分段函数. 如:函数 y = 5x,0 ≤ x ≤ 180, 7x - 360,180 < x ≤ 260, 9x - 880,x > 260 ì î í ï ï ï ï 是分段函数,针对 x 不同的范围,有不同的解析式. ·82· 　 　 ① 分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围集合的并集. ② 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数. ③ 求分段函数的函数值 f(x0) 时,首先要判断x0 所属的取值范围,然后再将x0 代入相应的解析式中 进行计算. ④ 作分段函数的图像时,分别在各段不同取值范围内,根据相应解析式,作出相应部分 的图像. 考点一:函数的定义域 求下列函数的定义域. (1)y = 3 - 1 2 x; (2)y = (x + 1) 0 x + 2 ; (3)y = 5 - x | x | - 3 ; (4)y = 6 x2 - 2x - 8 . (1) 若 y = 3 - 1 2 x 有意义,则 x ∈ R, ∴ y = 3 - 1 2 x 的定义域为 R. (2) 要使函数 y = (x + 1) 0 x + 2 有意义,须 x + 1 ≠ 0, x + 2 > 0,{ 解得 x > - 2 且 x ≠- 1, ∴ y = (x + 1) 0 x + 2 的定义域为{x | x > - 2 且 x ≠- 1} . (3) 要使函数 y = 5 - x | x | - 3 有意义,须 5 - x ≥ 0, | x | - 3 ≠ 0,{ 解得 x ≤ 5 且 x ≠ ± 3, ∴ y = 5 - x | x | - 3 的定义域为{x | x ≤ 5 且 x ≠ ± 3} . (4) 要使函数 y = 6 x2 - 2x - 8 有意义,须 x2 - 2x - 8 ≠ 0,解得 x ≠- 2 且 x ≠ 4, ∴ y = 6 x2 - 2x - 8 的定义域为{x | x ≠- 2 且 x ≠ 4} . ·92· 函数自变量的取值范围 ① 整式型:自变量的取值是全体实数. ② 分式型:自变量的取值要使得分母不等于 0. ③ 偶次根式型:自变量的取值要使得被开方数为非负数. ④ 含有零(负整数) 次幂:自变量的取值要使得底数不为 0. ⑤ 实际问题中的函数:自变量的取值除了要使得函数本身有意义,还要使得实际问题有意义. 考点二:求函数值 (真题) 已知函数 f(x) = x + 1 x - 1 ,则 f( - 2) = (　 　 ) A. - 1 3 B. 1 3 C. 1 D. 3 因为 f(x) = x + 1 x - 1 , 所以 f( - 2) = - 2 + 1 - 2 - 1 = 1 3 . B 设函数 f(x) = x2 + 1,x ≤ 1, 2 x ,x > 1, ì î í ï ï ïï 则 f[ f(2)] = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ∵ f(x) = x2 + 1,x ≤ 1, 2 x ,x > 1, ì î í ï ï ïï 2 > 1, ∴ f(2) = 2 2 = 1, ∴ f[ f(2)] = f(1) = 12 + 1 = 2. B (真题) 设函数 f(x) = 2x + 1,则 f(x + 1) = . 因为 f(x) = 2x + 1, 所以 f(x + 1) = 2(x + 1) + 1 = 2x + 3. 2x + 3 ·03· 已知 f(x) = x2 + 2a,且 f(2) = 6,则 a = (　 　 ) A. 2 B. - 1 C. 1 D. 3 由 f(x) = x2 + 2a 得 f(2) = 22 + 2a = 4 + 2a, 又 f(2) = 6, ∴ 4 + 2a = 6,解得 a = 1. C 　 　 ① 求某一点的函数值,直接把 x 的值代入解析式即可,如例 2. ② 求分段函数某一点的函数值,首先确定 x 值的范围,然后把 x 的值代入对应的解析式, 如例 3. 考点三:分段函数 已知函数 f(x) = log2x,x > 1, (x - 2) 3,x ≤ 1,{ 下列各式正确的是 (　 　 ) A. f(1) = 1 B. f(1) = 0 C. f(2) = 1 D. f(2) = 0 由题意得 f(1) = (1 - 2) 3 = - 1,f(2) = log22 = 1. C 已知函数 f(x) = lg x,x > 0, 10x,x ≤ 0,{ 若 f 1 10( ) = t,则 f( t) = (　 　 ) A. - 1 B. 1 10 C. 1 D. 10 因为 t = f 1 10( ) = lg 1 10 = - 1, 所以 f( t) = f( - 1) = 10 -1 = 1 10 . B ·13· 考点四:函数图像的平移变换 把函数 y = 1 x + 1 的图像沿 x 轴向左平移一个单位后,得到图像的解析式为 . 将函数 y = 1 x + 1 的图像沿 x 轴向左平移一个单位后得到函数 y = 1 x + 1 + 1 = 1 x + 2 的图像. y = 1 x + 2 　 　 f(x) 的图像(a > 0) 左移 a → f(x + a) 的图像; 右移 a → f(x - a) 的图像; 上移 a → f(x) + a 的图像; 下移 a → f(x) - a 的图像. ì î í ï ï ï ïï ï ï ï ï 1. 函数 f(x) = 1 1 - x 的定义域是 (　 　 ) A. (0, + ∞ ) B. ( - ∞ ,1) ∪ (1, + ∞ ) C. R D. (1, + ∞ ) 2. 函数 f(x) = x - 1 x - 2 的定义域为 (　 　 ) A. [1, + ∞ ) B. (1, + ∞ ) C. [1,2) D. [1,2) ∪ (2, + ∞ ) 3. 函数 y = 5 -| x | 的定义域为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,5) ∪ (5, + ∞ ) B. ( - ∞ ,5] ∪ [5, + ∞ ) C. ( - 5,5) D. [ - 5,5] 4. 已知函数 f(x) = x + 3 + 1 x + 2 ,则 f(1) = (　 　 ) A. 1 B. 5 3 C. 7 3 D. 13 3 ·23· 5. 已知函数 f(x) = 2x - 1,x < 0, 2x,x ≥ 0,{ 则 f(3) + f( - 1) = (　 　 ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 已知函数 f(x) = 3x - 1,x ≥ 2, - x2 + 4x,x < 2,{ 则 f[ f(1)] 的值为 (　 　 ) A. 7 B. 3 C. 9 D. 8 7. 已知函数 f(x) = x3 - 1,x ≥ 0, 2x,x < 0,{ 设 f(0) = a,则 f(a) = (　 　 ) A. - 2 B. - 1 C. 1 2 D. 0 8. 函数 f(x) = - x2 + x - 2,x ∈ [ - 1,1] 的值域为 (　 　 ) A. - 4, - 7 4 é ë êê ù û úú B. - 4, - 5 4 é ë êê ù û úú C. [ - 4, - 2] D. - 2, - 7 4 é ë êê ù û úú 9. 下列函数与 y = x 为同一函数的是 (　 　 ) A. y = ( x ) 2 B. y = x2 C. y = 3 x3 D. y = x 2 x 10. 设 f(x) = 2x - 1,则 f(x + 2) = (　 　 ) A. 2x - 3 B. x - 3 C. 2x + 3 D. x + 3 11. (判断题) 函数 y = x + 1 x 的定义域是[ - 1, + ∞ ) . (　 　 ) 12. (判断题) 函数 y =| x | 和 y = x 表示同一个函数. (　 　 ) 13. 函数 f(x) = - x2 + 6x 的定义域为 . 14. 函数 y = 1 1 - x + log2(2x - 1) 的定义域是 . ·33· 9. 4 或 - 4　 【解析】 由 | 2x | - 8 = 0 得 | 2x | = 8,即 | x | = 4,解得 x = 4 或 x = - 4. 10. 3 2 　 【解析】 由题意得 a > 0. 由 | x - 1 2 | < a 得 - a < x - 1 2 < a,解得 1 2 - a < x < 1 2 + a,∴ 1 2 - a = - 1, 1 2 + a = 2, ì î í ï ï ï ï 解得 a = 3 2 . 第三章 　 函 　 　 数 3. 1　 函数的概念及表示法 1. B　 【解析】 要使函数 f(x) = 1 1 - x 有意义,须 1 - x ≠ 0,解得 x ≠ 1,故 f(x) = 1 1 - x 的定义域是( - ∞ ,1) ∪ (1, + ∞ ) . 2. D　 【解析】 由 f(x) = x - 1 x - 2 有意义得 x - 1 ≥ 0, x - 2 ≠ 0,{ 解得 x ≥ 1 且 x ≠ 2, 所以函数 f(x) = x - 1 x - 2 的定义域为[1, 2) ∪ (2, + ∞ ) . 3. D　 【解析】 易知函数 f(x) 的表达式是二次根式,故被开方数大于等于零. 由题意得 5 -| x | ≥ 0,即 | x | ≤ 5,解得 - 5 ≤ x≤ 5,所以函数 y = 5 -| x | 的定义域为[ - 5,5] . 4. C　 【解析】 f(1) = 1 + 3 + 1 1 + 2 = 2 + 1 3 = 7 3 . 5. D　 【解析】 因为函数 f(x) = 2x - 1,x < 0, 2x,x ≥ 0, { 且 3 ≥ 0, - 1 < 0,所以 f(3) + f(- 1) = 23 + 2 × (- 1) - 1 = 5. 6. D　 【解析】当 x < 2时,f(x) = - x2 + 4x,1 < 2,所以 f(1) = - 1 + 4 = 3. 又当 x≥ 2时,f(x) = 3x - 1,3 ≥ 2,所以 f[ f(1)] = f(3) = 3 × 3 - 1 = 8. 7. C　 【解析】∵ 函数 f(x) = x3 - 1,x ≥ 0, 2x,x < 0, { 且 0 ≥ 0,∴ f(0) = 03 - 1 = - 1 = a,∴ f(a) = f( - 1) = 2 -1 = 12 . 8. A　 【解析】 因为二次函数 y = - x2 + x - 2 = - x - 1 2( ) 2 - 7 4 的图像开口向下,对称轴为直线 x = 1 2 ,所以函数 f(x) 在 - 1, 1 2[ ] 上单调递增,在 1 2 ,1[ ] 上单调递减,所以 f(x) max = f ( 12 ) = - 7 4 . 又 f( - 1) = - 4,f(1) = - 2,所以函数 f(x) = - x2 + x - 2,x ∈ [ - 1,1] 的值域为 - 4, - 7 4[ ] . 9. C　 【解析】 易知同一函数的定义域和对应关系都相同,函数 y = x 的定义域为 R. y = ( x ) 2 的定义域为[0, + ∞ ),与 y = x 的定义域不同,故 A 不符合题意. y = x2 = | x | 与 y = x的对应关系不同,故 B 不符合题意. 易知 y = 3 x3 = x的定义域 ·6· 为 R,所以 y = 3 x3 与 y = x的定义域和对应关系都相同,故 C 符合题意. y = x 2 x 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ),与 y = x 的定义域不同,故 D 不符合题意. 10. C　 【解析】∵ f(x) = 2x - 1,∴ f(x + 2) = 2(x + 2) - 1 = 2x + 3. 11. ✕　 【解析】 由题意得 x + 1 ≥ 0, x ≠ 0,{ 解得 x ≥- 1 且 x ≠ 0,所以函数 y = x + 1 x 的定义域是[ - 1,0) ∪ (0, + ∞ ) . 12. ✕　 【解析】 函数 y = | x | 的定义域为 R,函数 y = x 的定义域为[0, + ∞ ),两函数的定义域不同,故两函数不是同一 函数. 13. [0,6]　 【解析】 由函数 f(x) = - x2 + 6x 有意义得 - x2 + 6x ≥ 0,即 x(x - 6) ≤ 0,解得 0 ≤ x ≤ 6,所以函数 f(x) 的 定义域为[0,6] . 14. 1 2 ,1( ) 　 【解析】 由函数 y = 11 - x + log2(2x - 1) 有意义得 1 - x > 0, 2x - 1 > 0,{ 解得 1 2 < x < 1,所以函数 y = 1 1 - x + log2(2x - 1) 的定义域为 1 2 ,1( ) . 3. 2　 函数的性质 1. C　 【解析】 因为 f(x) 在 R 上是减函数,且 2 < 5,所以 f(2) > f(5) . 2. C　 【解析】 由偶函数的性质得 f( - 2) = f(2) = 4. 3. D　 【解析】 因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f(5) = - f( - 5) = 4. 4. D　 【解析】 对于 A,函数 y = x 的定义域为[0, + ∞ ),不关于原点对称,所以函数 y = x 不是奇函数,故 A 不符合题意;对 于 B,函数 y = f(x) = x2 的定义域为 R,因为 f( - x) = x2 ≠- f(x),所以函数 y = x2 不是奇函数,故 B 不符合题意;对于 C, 函数 y = f(x) = 1 x 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ),因为 f( - x) = - 1 x = - f(x),所以函数 y = 1 x 为奇函数,易知函 数 y = 1 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,故 C 不符合题意;对于 D,函数 y = f(x) =x3 的定义域为R,因为 f( - x) = -x3 = - f(x), 所以函数 y = x3 为奇函数,易知函数 y = x3 在区间(0, + ∞ ) 上单调递增,故 D 符合题意. 5. C　 【解析】 因为 f(x) 为偶函数,所以 f(x) = f( - x),所以 ax + 1 x2 + 1 = - ax + 1 ( - x) 2 + 1 ,即 2ax = 0 对于任意的 x 恒成 立,所以 a = 0. 6. A　 【解析】 对任意 x1 ,x2 ∈ (0, + ∞ ),当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) > f(x2 ),则函数 f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递减. 函数 f(x) = 1 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,A 符合题意;函数 f(x) = x2 在(0, + ∞ ) 上单调递增,B 不符合题意;函数 f(x) = | x | 在 (0, + ∞ ) 上单调递增,C 不符合题意;函数 f(x) = ln x 在(0, + ∞ ) 上单调递增,D 不符合题意. ·7·