2.3 含绝对值不等式的解法-2025版河南省高职单招考试数学复习教材

8. 不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的解集为 . 9. 不等式(x + 1)(x + 2) ≤ 0 的解集是 . 10. 若不等式 x2 + ax + 1 > 0 的解集为 R,则 a 的取值范围是 . 2. 3　 含绝对值不等式的解法 考纲解读 命题预测 1. 了解绝对值的概念及几何意义; 2. 掌握含绝对值的不等式的解法. 本节内容是易考考点,含绝对值的不等式的解法是 主要的考查方向. 1. 绝对值的概念及几何意义 (1) 数轴上表示实数 a 对应的点到原点的距离叫做 a 的绝对值. (2) 性质: | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 2. 含绝对值的不等式 | x | > a 和 | x | < a(a > 0) 的含义 | x | > a 的解集就是到原点的距离大于 a 的点的集合所对应的数集; | x | < a(a > 0) 的解集就是到原点的距离小于 a 的点的集合所对应的数集. 3. 不等式 | ax + b | < c 和 | ax + b | > c(c > 0) 的解法 类别 解法步骤 解集 | ax + b | < c(a > 0,c > 0) ① 去绝对值: - c < ax + b < c ② 解不等式组 ax + b > - c, ax + b < c{ x - c - b a < x < c - b a{ } | ax + b | > c(a > 0,c > 0) ① 去绝对值:ax + b < - c 或 ax + b > c ② 解不等式:ax + b < - c 或 ax + b > c x x < - c - b a 或 x > c - b a{ } ·42· 考点一:绝对值的概念 已知 | x | = 5,则 x = . 当 x < 0 时,由 | x | = 5 得 - x = 5,则 x = - 5. 当 x ≥ 0 时,由 | x | = 5 得 x = 5. 综上,x = - 5 或 x = 5. - 5 或 5 考点二:含绝对值不等式的解法 (真题) 不等式 | x - 1 | > 2 的解集为 (　 　 ) A. {x | x > 3} B. {x | x > 3 或 x < - 1} C. {x | x < - 1} D. {x | x > 0} 由 | x - 1 | > 2 得 x - 1 > 2 或 x - 1 < - 2,解得 x > 3 或 x < - 1, 所以原不等式的解集为{x | x > 3 或 x < - 1} . B (真题) 不等式 | 2x - 1 | < 3 的解集是 (　 　 ) A. ( - ∞ ,2) B. ( - 1, + ∞ ) C. ( - 1,2) D. ( - ∞ , - 1) ∪ (2, + ∞ ) 由 | 2x - 1 | < 3 得, - 3 < 2x - 1 < 3, - 3 + 1 < 2x < 3 + 1, - 1 < x < 2, 故不等式 | 2x - 1 | < 3 的解集是( - 1,2) . C 不等式 | 6 - 2x | ≤ 2 的解集是 (　 　 ) A. (2,4) B. [ - 4, - 2] C. ( - ∞ ,2) ∪ (4, + ∞ ) D. [2,4] 不等式 | 6 - 2x | ≤ 2 等价于 | 2x - 6 | ≤ 2. 由 | 2x - 6 | ≤ 2,得 - 2 ≤ 2x - 6 ≤ 2,解得 2 ≤ x ≤ 4, 所以不等式 | 6 - 2x | ≤ 2 的解集是[2,4] . D ·52· 1. 不等式 | x - 3 | > 2 的解集为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) B. ( - ∞ ,1) C. (5, + ∞ ) D. (1,5) 2. 不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为 (　 　 ) A. - ∞ , 3 2( ) ∪ 9 2 , + ∞( ) B. 12 , 7 2( ) C. 3 2 , 9 2( ) D. - ∞ , 1 2( ) ∪ 7 2 , + ∞( ) 3. 不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是 (　 　 ) A. ( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) B. ( - ∞ ,2 021] C. ( - ∞ ,2 021] ∪ [2 024, + ∞ ) D. [2 022,2 024] 4. “x > 1” 是“ | x | > 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 (　 　 ) A. [5,7] B. ( - ∞ , - 7) ∪ ( - 5, + ∞ ) C. (5,7) D. ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) 6. 在数轴上与原点距离不大于 3 的点表示的数的集合是 (　 　 ) A. {x | x ≤- 3 或 x ≥ 3} B. {x | - 3 ≤ x ≤ 3} C. {x | x ≤- 3} D. {x | x ≥ 3} 7. 已知集合 A = {1,2,3},集合 B = {x | | x - 1 | < 1},则 A ∩ B = (　 　 ) A. ⌀ B. {1} C. {1,2} D. {1,2,3} 8. (判断题) | - 5 | - 22 = 1. (　 　 ) 9. 若 | 2x | - 8 = 0,则 x = . 10. 设不等式 | x - 1 2 | < a 的解集为{x | - 1 < x < 2},则 a = . ·62· 第三章 函 　　 数 3. 1　 函数的概念及表示法 考纲解读 命题预测 1. 理解函数的概念、表示方法,能求函数定义域和函数值; 2. 了解函数图像的平移关系; 3. 了解简单的分段函数,并能进行简单的计算和应用; 4. 在实际情境中,会选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法) 表 示函数. 本节内容是常考内容,考查形式多为选择、判断、填 空,主要考查题型为分段函数求值、函数定义域的求 法、由函数图像判断函数值域等,偶尔涉及常见函数 图像的平移变换. 1. 函数的概念 一般地,设D是非空数集,对于D中的每一个 x,按照某个确定的对应法则 f,都有唯一确定的值 y与它对 应,那么就称 y 为 x 的函数,记作 y = f(x),x ∈ D. 其中,x 称为自变量,x 的取值范围 D 称为函数的定义域. 当x0 ∈ D 时, 与 x0 相对应的值 y0 称为函数在点 x0 处的函数值, 记作 y0 = f( x0) . 函数值的集合 {y | y = f(x),x ∈ D} 称为函数的值域. 如:一次函数 y = 2x + 1 的定义域为 R,值域为 R,也可记为 f(x) = 2x + 1. 对应法则 　 x → 2x + 1 2 → 2 × 2 + 1 = 5 2. 函数的两要素 定义域、对应法则是函数的两要素. ·72· 以不等式(2x + 1)(x - 3) ≤ 0 的解集为 x - 1 2 ≤ x ≤ 3{ } . 5. A　 【解析】 由 x2 - 1 > 0,可得 x < - 1 或 x > 1,所以 x < - 1 可以推出 x2 - 1 > 0,但 x2 - 1 > 0 不能推出 x < - 1,所以 “x < - 1” 是“x2 - 1 > 0” 的充分不必要条件. 6. A　 【解析】 设每个商品涨价 x 元后的利润与原利润之差为 y 元,则 a = x + 90,y = (10 + x)·(400 - 20x) - 10 × 400 = - 20x2 + 200x. 要使商家利润有所增加,须 y > 0,即 x2 - 10x < 0,可得 x(x - 10) < 0,解得 0 < x < 10,∴ 90 < x + 90 < 100,∴ a 的取值范围为 90 < a < 100. 7. B　 【解析】 由题意得( - m) 2 - 4 × 9 ≥ 0,即m2 - 36 ≥ 0,解得 m ≤- 6 或 m ≥ 6,所以 m 的取值范围是{m | m ≤- 6 或m ≥ 6} . 8. ( - 1,5)　 【解析】易知方程 x2 - 4x - 5 = 0的两根分别为 x1 = 4 - ( - 4) 2 + 4 × 5 2 = - 1,x2 = 4 + ( - 4) 2 + 4 × 5 2 = 5. 因为不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的二次项系数为 1 > 0,所以不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的解集为( - 1,5) . 9. [ - 2, - 1]　 【解析】 由(x + 1)(x + 2) ≤ 0 可得 - 2 ≤ x ≤- 1,所以不等式(x + 1)(x + 2) ≤ 0 的解集为[ - 2, - 1] . 10. ( - 2,2)　 【解析】 若不等式 x2 + ax + 1 > 0 的解集为 R,则二次函数y = x2 + ax + 1 的图像开口向上,且与 x轴没有交点, 所以方程 x2 + ax + 1 = 0 的根的判别式 Δ = a2 - 4 < 0,解得 - 2 < a < 2,所以实数 a 的取值范围是( - 2,2) . 2. 3　 含绝对值不等式的解法 1. A　 【解析】 由 | x - 3 | > 2 得 x - 3 > 2 或 x - 3 < - 2,解得 x > 5 或 x < 1,所以不等式 | x - 3 | > 2 的解集为( - ∞ , 1) ∪ (5, + ∞ ) . 2. C　 【解析】 由 | 2x - 6 | < 3 得 - 3 < 2x - 6 < 3,解得 3 2 < x < 9 2 ,所以不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为 3 2 , 9 2( ) . 3. A　 【解析】 由 | x - 2 023 | ≥ 1 得 x - 2 023 ≥ 1 或 x - 2 023 ≤- 1,解得 x ≥ 2 024 或 x ≤ 2 022,所以不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) . 4. A　 【解析】 易知由 x > 1 可推出 | x | > 1,故充分性成立;由 | x | > 1 可得 x > 1 或 x < - 1,则 x > 1 或 x < - 1 不能推出 x > 1,故必要性不成立. 故“x > 1” 是“ | x | > 1” 的充分不必要条件. 5. D　 【解析】 由 | 3x - 18 | > 3 得 3x - 18 > 3 或 3x - 18 < - 3,解得 x > 7 或 x < 5,所以不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) . 6. B　 【解析】 由题意及绝对值的几何意义知,所求集合中的元素满足不等式 | x | ≤ 3. 易知不等式 | x | ≤ 3的解集为{x | - 3 ≤ x ≤ 3},故所求集合为{x | - 3 ≤ x ≤ 3} . 7. B　 【解析】 由 | x - 1 | < 1,得 - 1 < x - 1 < 1,解得 0 < x < 2,故 B = {x | | x - 1 | < 1} = {x | 0 < x < 2} . 又 A = {1, 2,3},所以 A ∩ B = {1} . 8. √　 【解析】 | - 5 | - 22 = 5 - 4 = 1. ·5· 9. 4 或 - 4　 【解析】 由 | 2x | - 8 = 0 得 | 2x | = 8,即 | x | = 4,解得 x = 4 或 x = - 4. 10. 3 2 　 【解析】 由题意得 a > 0. 由 | x - 1 2 | < a 得 - a < x - 1 2 < a,解得 1 2 - a < x < 1 2 + a,∴ 1 2 - a = - 1, 1 2 + a = 2, ì î í ï ï ï ï 解得 a = 3 2 . 第三章 　 函 　 　 数 3. 1　 函数的概念及表示法 1. B　 【解析】 要使函数 f(x) = 1 1 - x 有意义,须 1 - x ≠ 0,解得 x ≠ 1,故 f(x) = 1 1 - x 的定义域是( - ∞ ,1) ∪ (1, + ∞ ) . 2. D　 【解析】 由 f(x) = x - 1 x - 2 有意义得 x - 1 ≥ 0, x - 2 ≠ 0,{ 解得 x ≥ 1 且 x ≠ 2, 所以函数 f(x) = x - 1 x - 2 的定义域为[1, 2) ∪ (2, + ∞ ) . 3. D　 【解析】 易知函数 f(x) 的表达式是二次根式,故被开方数大于等于零. 由题意得 5 -| x | ≥ 0,即 | x | ≤ 5,解得 - 5 ≤ x≤ 5,所以函数 y = 5 -| x | 的定义域为[ - 5,5] . 4. C　 【解析】 f(1) = 1 + 3 + 1 1 + 2 = 2 + 1 3 = 7 3 . 5. D　 【解析】 因为函数 f(x) = 2x - 1,x < 0, 2x,x ≥ 0, { 且 3 ≥ 0, - 1 < 0,所以 f(3) + f(- 1) = 23 + 2 × (- 1) - 1 = 5. 6. D　 【解析】当 x < 2时,f(x) = - x2 + 4x,1 < 2,所以 f(1) = - 1 + 4 = 3. 又当 x≥ 2时,f(x) = 3x - 1,3 ≥ 2,所以 f[ f(1)] = f(3) = 3 × 3 - 1 = 8. 7. C　 【解析】∵ 函数 f(x) = x3 - 1,x ≥ 0, 2x,x < 0, { 且 0 ≥ 0,∴ f(0) = 03 - 1 = - 1 = a,∴ f(a) = f( - 1) = 2 -1 = 12 . 8. A　 【解析】 因为二次函数 y = - x2 + x - 2 = - x - 1 2( ) 2 - 7 4 的图像开口向下,对称轴为直线 x = 1 2 ,所以函数 f(x) 在 - 1, 1 2[ ] 上单调递增,在 1 2 ,1[ ] 上单调递减,所以 f(x) max = f ( 12 ) = - 7 4 . 又 f( - 1) = - 4,f(1) = - 2,所以函数 f(x) = - x2 + x - 2,x ∈ [ - 1,1] 的值域为 - 4, - 7 4[ ] . 9. C　 【解析】 易知同一函数的定义域和对应关系都相同,函数 y = x 的定义域为 R. y = ( x ) 2 的定义域为[0, + ∞ ),与 y = x 的定义域不同,故 A 不符合题意. y = x2 = | x | 与 y = x的对应关系不同,故 B 不符合题意. 易知 y = 3 x3 = x的定义域 ·6·