2.2 一元二次不等式及其解法-2025版河南省高职单招考试数学复习教材

9. 已知 a,b ∈ R,设 M = a2 - ab,N = ab - b2,则 M 与 N 的值的大小关系是 (　 　 ) A. M < N B. M ≤ N C. M > N D. M ≥ N 10. 已知 x > 0,则 x + 4 x 的最小值是 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 若 3x - 1 有意义,则 x 的取值范围用区间表示为 . 12. 不等式组 x + 2 > 3, 2x - 1 < 5{ 的解集为 . 2. 2　 一元二次不等式及其解法 考纲解读 命题预测 1. 会解一元二次方程; 2. 掌握一元二次不等式的解法; 3. 会利用一元二次不等式解决相关问题. 在本节的学习中,一元二次不等式的解法是重点内容,一 般以选择题的形式考查,难度不大. 1. 公式法解一元二次方程 (1) 把方程变为标准形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) . (2) 求出 Δ = b2 - 4ac 的值,判断 Δ 的符号. (3) 当 Δ > 0 时,x1 = - b + b2 - 4ac 2a ,x2 = - b - b2 - 4ac 2a ; 当 Δ = 0 时,x1 = x2 = - b 2a ; 当 Δ < 0 时,一元二次方程没有实数根. ·02· 2. 一元二次不等式的解法 (1) 一元二次不等式的概念及一般形式 概念:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的不等式. 一般形式:ax2 + bx + c > 0(≥ 0),ax2 + bx + c < 0(≤ 0),a ≠ 0. (2) 一元二次不等式的解法 ① 一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 在一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 根的判别式 Δ = b2 - 4ac 的不同情况下,对应函数的图像与 x 轴的位置关系及对应不等式的解集如下表所示. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图像 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根 x1 ,x2(x1 < x2 ) x0 没有实数根 ax2 + bx + c > 0(a > 0) 的解集 ( - ∞ ,x1 ) ∪ (x2 , + ∞ ) 大号取两边 ( - ∞ ,x0 ) ∪ (x0 , + ∞ ) R ax2 + bx + c < 0(a > 0) 的解集 (x1 ,x2 ) 小号取中间 ⌀ ⌀ ax2 + bx + c ≥ 0(a > 0) 的解集 ( - ∞ ,x1 ] ∪ [x2 , + ∞ ) 大号取两边 R R ax2 + bx + c ≤ 0(a > 0) 的解集 [x1 ,x2 ] 小号取中间 {x0 } ⌀ 　 　 ② 解一元二次不等式的步骤 ·12· 考点一:一元二次不等式的解法 不等式 x2 + 5x > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x < 0 或 x > 5} B. {x | 0 < x < 5} C. {x | x < - 5 或 x > 0} D. {x | - 5 < x < 0} 易得方程 x2 + 5x = 0 即 x(x + 5) = 0 的两根分别为 - 5,0. 因为二次项系数为 1 > 0, 所以不等式 x2 + 5x > 0 的解集为{x | x < - 5 或 x > 0} . C 不等式x2 - 2x - 3 ≤ 0 的解集是 (　 　 ) A. [ - 1,3] B. [ - 3,1] C. ( - ∞ , - 1) ∪ [3, + ∞ ) D. ( - ∞ , - 3) ∪ [1, + ∞ ) 易 得 方 程 x2 - 2x - 3 = 0 的 解 分 别 为 x1 = 2 + ( - 2)2 - 4 × ( - 3) 2 × 1 = 3,x2 = 2 - ( - 2)2 - 4 × ( - 3) 2 × 1 = - 1. 因为二次项系数为 1 > 0, 所以不等式x2 - 2x - 3 ≤ 0 的解集是[ - 1,3] . A 不等式(x + 1)(x - 5) > 0 的解集是 (　 　 ) A. [ - 1,5] B. ( - 1,5) C. ( - ∞ , - 1] ∪ [5, + ∞ ) D. ( - ∞ , - 1) ∪ (5, + ∞ ) 易得方程(x + 1)(x - 5) = 0 有两根,分别为 - 1,5. 又不等式(x + 1)(x - 5) > 0 的二次项系数为 1 > 0, 所以(x + 1)(x - 5) > 0 的解集为( - ∞ , - 1) ∪ (5, + ∞ ) . D 考点二:一元二次不等式的实际应用 有纯农药液一桶,倒出 8 升后用水加满,然后又倒出 4 升后再用水加满,若此时桶中所含的纯 农药液不超过桶的容积的 28%,则桶的容积最大为多少升? ·22· 设桶的容积为 x 升,显然 x > 8. 依题意得 x - 8 - 4(x - 8) x ≤ 28%·x,整理得 9x2 - 150x + 400 ≤ 0,即(3x - 10)(3x - 40) ≤ 0,解得 10 3 ≤ x ≤ 40 3 , 所以 8 < x ≤ 40 3 , 故桶的容积最大为 40 3 升. 1. 一元二次方程 x2 + 4x = 0 的解为 (　 　 ) A. x = 0 B. x = 4 C. x1 = - 4,x2 = 4 D. x1 = 0,x2 = - 4 2. 不等式 x2 - 3x > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x < 0 或 x > 3} B. {x | 0 < x < 3} C. {x | x < - 3 或 x > 0} D. {x | - 3 < x < 0} 3. 要使 x2 - 1 有意义,则 x 的取值范围是 (　 　 ) A. {x | x ≠ 1} B. {x | x ≥ 1 或 x ≤- 1} C. {x | x > 1} D. {x | x < - 1} 4. 不等式(2x + 1)(x - 3) ≤ 0 的解集为 (　 　 ) A. x x ≤- 1 2{ } B. x - 1 2 ≤ x ≤ 3{ } C. x x ≤- 1 2 或 x ≥ 3{ } D. {x | x ≥ 3} 5. “x < - 1” 是“x2 - 1 > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 将进货价为每个 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,每涨价 1 元,销售量就减少 20 个,为了使 商家利润有所增加,则售价 a(单位:元 / 个) 的取值范围是 (　 　 ) A. 90 < a < 100 B. 90 < a < 110 C. 100 < a < 110 D. 80 < a < 100 7. 若关于 x 的方程 x2 - mx + 9 = 0 有实数根,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. {m | - 6 ≤ m ≤ 6} B. {m | m ≤- 6 或 m ≥ 6} C. {m | m < - 6 或 m > 6} D. {m | - 6 < m < 6} ·32· 8. 不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的解集为 . 9. 不等式(x + 1)(x + 2) ≤ 0 的解集是 . 10. 若不等式 x2 + ax + 1 > 0 的解集为 R,则 a 的取值范围是 . 2. 3　 含绝对值不等式的解法 考纲解读 命题预测 1. 了解绝对值的概念及几何意义; 2. 掌握含绝对值的不等式的解法. 本节内容是易考考点,含绝对值的不等式的解法是 主要的考查方向. 1. 绝对值的概念及几何意义 (1) 数轴上表示实数 a 对应的点到原点的距离叫做 a 的绝对值. (2) 性质: | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 2. 含绝对值的不等式 | x | > a 和 | x | < a(a > 0) 的含义 | x | > a 的解集就是到原点的距离大于 a 的点的集合所对应的数集; | x | < a(a > 0) 的解集就是到原点的距离小于 a 的点的集合所对应的数集. 3. 不等式 | ax + b | < c 和 | ax + b | > c(c > 0) 的解法 类别 解法步骤 解集 | ax + b | < c(a > 0,c > 0) ① 去绝对值: - c < ax + b < c ② 解不等式组 ax + b > - c, ax + b < c{ x - c - b a < x < c - b a{ } | ax + b | > c(a > 0,c > 0) ① 去绝对值:ax + b < - c 或 ax + b > c ② 解不等式:ax + b < - c 或 ax + b > c x x < - c - b a 或 x > c - b a{ } ·42· 5. C　 【解析】 由 2x + 2 > 0 得 x > - 1,由 x - 4 ≤ 2 - 2x 得 x ≤ 2,所以不等式组的解集是{x | - 1 < x ≤ 2},在数轴上表示 如下. 6. A　 【解析】 不等式 a > b 的两边同时减去同一个数 c,不等号的方向不变,则 a - c > b - c,故 A 正确;当 a = 1,b = 0,c = - 1 时,a + c = 0,b - c = 1,a + c < b - c,故 B 错误;当 c = 0 时,ac = bc,故 C 错误;当 a = 1,b = 0,c = - 1 时, a c = - 1, b c = 0, a c < b c ,故 D 错误. 7. B　 【解析】 由 0 < x < 1 不妨取 x = 1 2 ,∵ 1 2 > ( 1 2 ) 2 > ( 1 2 ) 3 ,∴ x > x2 > x3 . 8. B　 【解析】 当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,但 a > b + 2,a + b = - 1 < 0, | a | < | b | ,故 A,C,D 错误. 不等式 a > b 两 边同时减去同一个数 b,不等号的方向不变,所以 a - b > 0,故 B 正确. 9. D　 【解析】 因为 M = a2 - ab,N = ab - b2 ,所以M - N = a2 - ab - (ab - b2 ) = (a - b) 2 ≥ 0,当且仅当 a = b时等号成立, 故 M ≥ N. 10. C　 【解析】 由 x > 0,得 x + 4 x ≥ 2 x· 4 x = 4,当且仅当 x = 4 x ,即 x = 2 时等号成立,所以当 x = 2 时,x + 4 x 取得最 小值 4. 11. 1 3 , + ∞[ ) 　 【解析】 要使 3x - 1 有意义,须 3x - 1 ≥ 0,解得 x ≥ 13 ,所以 x 的取值范围是 1 3 , + ∞[ ) . 12. {x | 1 < x < 3}　 【解析】 x + 2 > 3①, 2x - 1 < 5②, { 解不等式 ① 得 x > 1,解不等式 ② 得 x < 3,∴ 不等式组的解集是{x | 1 < x < 3} . 2. 2　 一元二次不等式及其解法 1. D　 【解析】 由 x2 + 4x = 0,得 x(x + 4) = 0,解得 x1 = 0,x2 = - 4. 2. A　 【解析】 易得方程 x2 - 3x = 0,即 x(x - 3) = 0 的两根分别为 3,0. 因为函数 y = x2 - 3x 的图像开口向上,所以不等式 x2 - 3x > 0 的解集为{x | x < 0 或 x > 3} . 3. B　 【解析】 要使 x2 - 1 有意义,须x2 - 1 ≥ 0,即x2 ≥ 1. 易知方程 x2 = 1 的两根分别为 - 1,1. 由函数 y = x2 的图像开口 向上知,x2 ≥ 1 的解集为{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1},所以 x 的取值范围是{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1} . 4. B　 【解析】 由方程(2x + 1)(x - 3) = 0,得 2x + 1 = 0 或 x - 3 = 0,解得 x = - 1 2 或 x = 3,因为二次项系数为 2 > 0,所 ·4· 以不等式(2x + 1)(x - 3) ≤ 0 的解集为 x - 1 2 ≤ x ≤ 3{ } . 5. A　 【解析】 由 x2 - 1 > 0,可得 x < - 1 或 x > 1,所以 x < - 1 可以推出 x2 - 1 > 0,但 x2 - 1 > 0 不能推出 x < - 1,所以 “x < - 1” 是“x2 - 1 > 0” 的充分不必要条件. 6. A　 【解析】 设每个商品涨价 x 元后的利润与原利润之差为 y 元,则 a = x + 90,y = (10 + x)·(400 - 20x) - 10 × 400 = - 20x2 + 200x. 要使商家利润有所增加,须 y > 0,即 x2 - 10x < 0,可得 x(x - 10) < 0,解得 0 < x < 10,∴ 90 < x + 90 < 100,∴ a 的取值范围为 90 < a < 100. 7. B　 【解析】 由题意得( - m) 2 - 4 × 9 ≥ 0,即m2 - 36 ≥ 0,解得 m ≤- 6 或 m ≥ 6,所以 m 的取值范围是{m | m ≤- 6 或m ≥ 6} . 8. ( - 1,5)　 【解析】易知方程 x2 - 4x - 5 = 0的两根分别为 x1 = 4 - ( - 4) 2 + 4 × 5 2 = - 1,x2 = 4 + ( - 4) 2 + 4 × 5 2 = 5. 因为不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的二次项系数为 1 > 0,所以不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的解集为( - 1,5) . 9. [ - 2, - 1]　 【解析】 由(x + 1)(x + 2) ≤ 0 可得 - 2 ≤ x ≤- 1,所以不等式(x + 1)(x + 2) ≤ 0 的解集为[ - 2, - 1] . 10. ( - 2,2)　 【解析】 若不等式 x2 + ax + 1 > 0 的解集为 R,则二次函数y = x2 + ax + 1 的图像开口向上,且与 x轴没有交点, 所以方程 x2 + ax + 1 = 0 的根的判别式 Δ = a2 - 4 < 0,解得 - 2 < a < 2,所以实数 a 的取值范围是( - 2,2) . 2. 3　 含绝对值不等式的解法 1. A　 【解析】 由 | x - 3 | > 2 得 x - 3 > 2 或 x - 3 < - 2,解得 x > 5 或 x < 1,所以不等式 | x - 3 | > 2 的解集为( - ∞ , 1) ∪ (5, + ∞ ) . 2. C　 【解析】 由 | 2x - 6 | < 3 得 - 3 < 2x - 6 < 3,解得 3 2 < x < 9 2 ,所以不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为 3 2 , 9 2( ) . 3. A　 【解析】 由 | x - 2 023 | ≥ 1 得 x - 2 023 ≥ 1 或 x - 2 023 ≤- 1,解得 x ≥ 2 024 或 x ≤ 2 022,所以不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) . 4. A　 【解析】 易知由 x > 1 可推出 | x | > 1,故充分性成立;由 | x | > 1 可得 x > 1 或 x < - 1,则 x > 1 或 x < - 1 不能推出 x > 1,故必要性不成立. 故“x > 1” 是“ | x | > 1” 的充分不必要条件. 5. D　 【解析】 由 | 3x - 18 | > 3 得 3x - 18 > 3 或 3x - 18 < - 3,解得 x > 7 或 x < 5,所以不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) . 6. B　 【解析】 由题意及绝对值的几何意义知,所求集合中的元素满足不等式 | x | ≤ 3. 易知不等式 | x | ≤ 3的解集为{x | - 3 ≤ x ≤ 3},故所求集合为{x | - 3 ≤ x ≤ 3} . 7. B　 【解析】 由 | x - 1 | < 1,得 - 1 < x - 1 < 1,解得 0 < x < 2,故 B = {x | | x - 1 | < 1} = {x | 0 < x < 2} . 又 A = {1, 2,3},所以 A ∩ B = {1} . 8. √　 【解析】 | - 5 | - 22 = 5 - 4 = 1. ·5·