2.1 不等式的基本性质-2025版河南省高职单招考试数学复习教材

第二章 不 　 等 　 式 2. 1　 不等式的基本性质 考纲解读 命题预测 1. 理解不等式的基本性质,能熟练运用这些基本性质对不等式进行 等价变形; 2. 掌握区间的含义及表示方法,能将不等式(组) 的解集表示为区间 形式; 3. 掌握一元一次不等式(组) 的解法. 本节是不等式知识的基础,一般以选择题的形式考 查,难度不大,其中一元一次不等式(组) 的解法是 主要的考查方向. 1. 比较实数的大小 关于实数 a,b 的大小关系,可以通过以下运算来表示: a > b⇔a - b > 0, a = b⇔a - b = 0, a < b⇔a - b < 0. ì î í ï ï ï ï 比较两个实数(或代数式) 的大小,可以转化为比较它们的差与 0 的大小. 2. 不等式的基本性质 (1) 如果 a > b,那么 a + c > b + c. 不等式两边同时加上(或减去) 同一个数(或代数式),不等号的方向不变. (2) 如果 a > b,c > 0,那么 ac > bc. 不等式两边同时乘(或除以) 同一个正数,不等号的方向不变. ·51· (3) 如果 a > b,c < 0,那么 ac < bc. 不等式两边同时乘(或除以) 同一个负数,不等号的方向改变. (4)(传递性) 如果 a > b,b > c,那么 a > c. 3. 区间 集合表示 区间名称 区间表示 数轴表示 {x | a ≤ x ≤ b} 闭区间 [a,b] {x | a < x < b} 开区间 (a,b) {x | a ≤ x < b} 左闭右开区间 [a,b) {x | a < x ≤ b} 左开右闭区间 (a,b] {x | x ≥ a} 无限区间 [a, + ∞ ) {x | x > a} 无限区间 (a, + ∞ ) {x | x ≤ a} 无限区间 ( - ∞ ,a] {x | x < a} 无限区间 ( - ∞ ,a) R 无限区间 ( - ∞ , + ∞ ) 4. 一元一次不等式的解法 ① 去分母;② 去括号;③ 移项;④ 合并同类项;⑤ 未知数的系数化为 1. 例如一元一次不等式 x + 1 2 - 1 > 2 + 2 - x 4 的解法如下: 第一步:去分母(不等式两边同乘 4),得 2(x + 1) - 4 > 8 + (2 - x) . 第二步:去括号,得 2x + 2 - 4 > 8 + 2 - x. 第三步:移项,得 2x + x > 8 + 2 - 2 + 4. 第四步:合并同类项,得 3x > 12. 第五步:系数化为 1,得 x > 4. 5. 一元一次不等式组的解法 x < 1, x < 2{ 的解为 x < 1,即“同小取小”; x > 1, x > 2{ 的解为 x > 2,即“同大取大”; ·61· x > 1, x < 2{ 的解为 1 < x < 2,即“大小小大中间找”; x < 1, x > 2{ 无解,即“大大小小无解” . 考点一:利用不等式的性质比大小 若 a > b,b > c,那么 a c. (　 　 ) A. < B. = C. > D. 不能确定 由 a > b,b > c 及不等式的传递性得,a > c. C 若 a > b,c > d,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. a - c > b - d B. a + c > b + d C. ac > bd D. a c < b d 当 a = 2,b = - 2,c = 1,d = - 4 时,满足 a > b,c > d,此时 a - c = 1,b - d = 2,ac = 2,bd = 8, a c = 2, b d = 1 2 ,所以 a - c < b - d,ac < bd, a c > b d ,故 A,C,D 错误. 当 a > b,c > d 时,由同向不等式的可加性得 a + c > b + d,故 B 正确. B 已知 a > 0,b > 0,试比较 a2 + b2 与 2ab 的大小. ∵ a2 + b2 - 2ab = (a - b) 2 ≥ 0. ∴ a2 + b2 ≥ 2ab. 　 　 如果 a > 0,b > 0,我们用 a , b 分别代替“a2 + b2 ≥ 2ab” 中的 a,b,得 a + b ≥ 2 ab (a > 0,b > 0) . ① 等号成立的条件:a = b. ② 若 m > 0,则 m + 4 m ≥ 2 m· 4 m = 4. ·71· 考点二:解一元一次不等式(组) 不等式 5x - 3 ≤ 2 的解集是 (　 　 ) A. {x | x ≤ 1} B. {x | x ≤- 1} C. {x | x ≥- 1} D. {x | x ≥ 1} 不等式 5x - 3 ≤ 2 两边同时加上 3 得 5x ≤ 5, 不等式 5x ≤ 5 两边同时除以 5 得 x ≤ 1. 故不等式 5x - 3 ≤ 2 的解集为{x | x ≤ 1} . A 不等式组 3 - 3x ≥ 0, - x < 1{ 的解集在数轴上表示正确的是 (　 　 ) A. B. C. D. 3 - 3x ≥ 0,① - x < 1,②{ 解不等式 ① 得 x ≤ 1;解不等式 ② 得 x > - 1. 故不等式组的解集为{x | - 1 < x ≤ 1},在数轴上表示正确的是 B. B 若 1 x - 2 有意义,则 x 的取值范围为 . (用区间表示) 由 1 x - 2 有意义,得 x - 2 ≥ 0, x - 2 ≠ 0.{ 由 x - 2 ≥ 0,得 x ≥ 2, 由 x - 2 ≠ 0,得 x ≠ 2, 所以不等式组的解集为{x | x > 2}, 所以 x 的取值范围为(2, + ∞ ) . (2, + ∞ ) 考点三:区间的表示 数集{x | - 1 ≤ x < 2,x ∈ R} 用区间表示为 (　 　 ) A. ( - 1,2) B. ( - 1,2] C. [ - 1,2) D. [1,2] 易知数集{x | - 1 ≤ x < 2,x ∈ R} 用区间表示为[ - 1,2) . C ·81· 1. 数集{x | - 3 < x ≤ 2,x ∈ R} 用区间表示为 (　 　 ) A. ( - 3,2] B. ( - 3,2) C. [ - 3,2) D. [ - 3,2] 2. 若 a > b,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. ac > bc B. 1 a < 1 b C. a2 > b2 D. a + c > b + c 3. 若 a > b > 0,则不等式成立的是 (　 　 ) A. a + c < b + c B. a - 3 < b + 3 C. a b > b a D. ab < 0 4. 若 a > b,c > d,a,b,c,d ∈ R,则下列关系正确的是 (　 　 ) A. a + d > b + c B. ac > bd C. ac2 > bc2 D. a - d > b - c 5. 不等式组 2x + 2 > 0, x - 4 ≤ 2 - 2x{ 的解集在数轴上表示正确的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 已知 a > b,c ∈ R,则下列不等式恒成立的是 (　 　 ) A. a - c > b - c B. a + c > b - c C. ac > bc D. a c > b c 7. (真题) 若 0 < x < 1,则下列式子正确的是 (　 　 ) A. x3 > x2 > x B. x > x2 > x3 C. x2 > x3 > x D. x > x3 > x2 8. 若 a > b,则下列不等式成立的是 (　 　 ) A. a < b + 2 B. a - b > 0 C. | a | > | b | D. a + b > 0 ·91· 9. 已知 a,b ∈ R,设 M = a2 - ab,N = ab - b2,则 M 与 N 的值的大小关系是 (　 　 ) A. M < N B. M ≤ N C. M > N D. M ≥ N 10. 已知 x > 0,则 x + 4 x 的最小值是 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 若 3x - 1 有意义,则 x 的取值范围用区间表示为 . 12. 不等式组 x + 2 > 3, 2x - 1 < 5{ 的解集为 . 2. 2　 一元二次不等式及其解法 考纲解读 命题预测 1. 会解一元二次方程; 2. 掌握一元二次不等式的解法; 3. 会利用一元二次不等式解决相关问题. 在本节的学习中,一元二次不等式的解法是重点内容,一 般以选择题的形式考查,难度不大. 1. 公式法解一元二次方程 (1) 把方程变为标准形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) . (2) 求出 Δ = b2 - 4ac 的值,判断 Δ 的符号. (3) 当 Δ > 0 时,x1 = - b + b2 - 4ac 2a ,x2 = - b - b2 - 4ac 2a ; 当 Δ = 0 时,x1 = x2 = - b 2a ; 当 Δ < 0 时,一元二次方程没有实数根. ·02· 6. B　 【解析】 由(x + 2)(x - 4) = 0 得 x = - 2 或 x = 4. 所以“(x + 2)(x - 4) = 0” 不能推出“x = 4”,即充分性不成立;由 “x = 4” 能推出“(x + 2)(x - 4) = 0”,即必要性成立. 故“(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的必要不充分条件. 7. A　 【解析】 由“ab > 0” 得“a > 0 且 b > 0” 或“a < 0 且 b < 0” . 因为命题“若 a > 0 且 b > 0,则 ab > 0” 为真命题,其逆 命题“若 ab > 0,则 a > 0 且 b > 0” 为假命题,所以“a > 0 且 b > 0” 是“ab > 0” 的充分不必要条件. 8. A　 【解析】x = 2,y = 3 时,点(x,y) 即(2,3) 位于第一象限,而第一象限的点有无数个,不一定有 x = 2,y = 3. 故“x = 2, y = 3” 是“点(x,y) 位于第一象限” 的充分不必要条件. 9. √　 【解析】 当 x = 1 时,(x - 1)(x + 2) = 0 成立,即“x = 1” 是“(x - 1)(x + 2) = 0” 的充分条件;由(x - 1)(x + 2) = 0 得 x = - 2 或 x = 1,所以“x = 1” 不是“(x - 1)(x + 2) = 0” 的必要条件. 故“x = 1” 是“(x - 1)(x + 2) = 0” 的充分 不必要条件. 10. ✕　 【解析】 当 x为整数时,2x + 1 必为整数;当 2x + 1 为整数时,x不一定为整数,如 2x + 1 = 2 时,x = 1 2 . 所以“x为整数” 是“2x + 1 为整数” 的充分不必要条件. 11. √　 【解析】 当 x = y 时,x2 = y2 ;由 x2 = y2 得 x = y 或 x = - y. 所以“x = y” 是“x2 = y2 ” 的充分不必要条件. 12. 充要 　 【解析】 由 | x | = 0 得 x = 0. 由 x2 = 0 得 x = 0. 故“ | x | = 0” 是“x2 = 0” 的充要条件. 第二章 　 不 　 等 　 式 2. 1　 不等式的基本性质 1. A　 【解析】 数集{x | - 3 < x ≤ 2,x ∈ R} 应用左开右闭的区间表示,可以表示为( - 3,2] . 2. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac = bc,故 A 错误;当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,此时 1 a = 1, 1 b = - 1 2 ,a2 = 1,b2 = 4, 1 a > 1 b ,a2 < b2 ,故 B,C 错误;不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 D 正确. 3. C　 【解析】 不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 A 错误. 当 a = 10,b = 1 时, 满足 a > b > 0,此时 a - 3 > b + 3,故 B 错误. 因为 a > b > 0,所以 ab > 0,a - b > 0,a + b > 0,所以 a b - b a = (a - b)(a + b) ab > 0,所以 a b > b a ,故 C 正确,D 错误. 4. D　 【解析】 当 a = 1,b = - 1,c = 1,d = - 2 时,满足 a > b,c > d,此时 a + d = - 1,b + c = 0,ac = 1,bd = 2,a + d < b + c, ac < bd,故 A,B 错误. 当 c = 0 时,ac2 = bc2 ,故 C 错误. 不等式 c > d 即 d < c 的两边同时乘同一个负数 - 1,不等号的 方向改变,所以 - d > - c. 又 a > b,所以由不等式的同向可加性得 a - d > b - c,故 D 正确. ·3· 5. C　 【解析】 由 2x + 2 > 0 得 x > - 1,由 x - 4 ≤ 2 - 2x 得 x ≤ 2,所以不等式组的解集是{x | - 1 < x ≤ 2},在数轴上表示 如下. 6. A　 【解析】 不等式 a > b 的两边同时减去同一个数 c,不等号的方向不变,则 a - c > b - c,故 A 正确;当 a = 1,b = 0,c = - 1 时,a + c = 0,b - c = 1,a + c < b - c,故 B 错误;当 c = 0 时,ac = bc,故 C 错误;当 a = 1,b = 0,c = - 1 时, a c = - 1, b c = 0, a c < b c ,故 D 错误. 7. B　 【解析】 由 0 < x < 1 不妨取 x = 1 2 ,∵ 1 2 > ( 1 2 ) 2 > ( 1 2 ) 3 ,∴ x > x2 > x3 . 8. B　 【解析】 当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,但 a > b + 2,a + b = - 1 < 0, | a | < | b | ,故 A,C,D 错误. 不等式 a > b 两 边同时减去同一个数 b,不等号的方向不变,所以 a - b > 0,故 B 正确. 9. D　 【解析】 因为 M = a2 - ab,N = ab - b2 ,所以M - N = a2 - ab - (ab - b2 ) = (a - b) 2 ≥ 0,当且仅当 a = b时等号成立, 故 M ≥ N. 10. C　 【解析】 由 x > 0,得 x + 4 x ≥ 2 x· 4 x = 4,当且仅当 x = 4 x ,即 x = 2 时等号成立,所以当 x = 2 时,x + 4 x 取得最 小值 4. 11. 1 3 , + ∞[ ) 　 【解析】 要使 3x - 1 有意义,须 3x - 1 ≥ 0,解得 x ≥ 13 ,所以 x 的取值范围是 1 3 , + ∞[ ) . 12. {x | 1 < x < 3}　 【解析】 x + 2 > 3①, 2x - 1 < 5②, { 解不等式 ① 得 x > 1,解不等式 ② 得 x < 3,∴ 不等式组的解集是{x | 1 < x < 3} . 2. 2　 一元二次不等式及其解法 1. D　 【解析】 由 x2 + 4x = 0,得 x(x + 4) = 0,解得 x1 = 0,x2 = - 4. 2. A　 【解析】 易得方程 x2 - 3x = 0,即 x(x - 3) = 0 的两根分别为 3,0. 因为函数 y = x2 - 3x 的图像开口向上,所以不等式 x2 - 3x > 0 的解集为{x | x < 0 或 x > 3} . 3. B　 【解析】 要使 x2 - 1 有意义,须x2 - 1 ≥ 0,即x2 ≥ 1. 易知方程 x2 = 1 的两根分别为 - 1,1. 由函数 y = x2 的图像开口 向上知,x2 ≥ 1 的解集为{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1},所以 x 的取值范围是{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1} . 4. B　 【解析】 由方程(2x + 1)(x - 3) = 0,得 2x + 1 = 0 或 x - 3 = 0,解得 x = - 1 2 或 x = 3,因为二次项系数为 2 > 0,所 ·4·