1.3 充要条件-2025版河南省高职单招考试数学复习教材

2. B　 【解析】 因为集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},所以∁UA = {1,3,5} . 3. D　 【解析】∵ 集合 A = { - 1,0,1} 与集合 B = {0,2,4} 的所有元素为 - 1,0,1,2,4,∴ A ∪ B = { - 1,0,1,2,4} . 4. B　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},所以 A ∩ B = { - 2, - 1,0} . 5. C　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},所以 A ∪ B = {x | - 2 < x < 5} . 6. D　 【解析】 将集合 A,B 表示在数轴上,如图. 所以 A ∩ B = {x | 1 ≤ x < 3 } . 7. A　 【解析】 由 A ∪ B = A 得 B ⊆ A,故 x 的值为 2 或 3. 8. D　 【解析】 因为 U = {x | x > - 2},A = {x | x - 1 > 0} = {x | x > 1},所以∁U A = {x | - 2 < x ≤ 1} . 9. C　 【解析】 因为 A = {x | x2 - x = 0} = {x | x(x - 1) = 0} = {0,1},B = {1,2,3},所以 A ∪ B = {0,1} ∪ {1,2,3} = {0,1,2,3} . 10. ✕　 【解析】 由 A = {0,1,2},B = {x | x < 2} 及交集运算得 A ∩ B = {0,1} . 11. √　 【解析】 由集合 A = {1,2,3},B = ⌀ 及并集运算得 A ∪ ⌀ = {1,2,3} . 12. ✕　 【解析】∵ U = {0,1,2,3,4},B = {2,3},∴ ∁UB = {0,1,4},又集合 A = {1,2},∴ A ∪ (∁UB) = {0,1,2,4} . 13. {c}　 【解析】 因为集合 M = {b,c} 和 N = {c,d} 的所有公共元素为 c,所以 M ∩ N = {c} . 14. {0,1,2,3}　 【解析】 因为集合 A = {0,1,2} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{0,1,2,3},所以 A ∪ B = {0, 1,2,3} . 15. {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7}　 【解析】 易得 A = {x | x2 - 7x < 0} = {x | x(x - 7) < 0} = {x | 0 < x < 7},则∁RA = {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} . 1. 3　 充 要 条 件 1. A　 【解析】 由 a = 2⇒a > 0 知,“a = 2” 是“a > 0” 的充分条件. 由 a > 0⇒/ a = 2 知,“a = 2” 不是“a > 0” 的必要条件. 故 “a = 2” 是“a > 0” 的充分不必要条件. 2. B　 【解析】 由 a2 = 1⇒/ a = 1 知,“a2 = 1” 不是“a = 1” 的充分条件. 由 a = 1⇒a2 = 1 知,“a2 = 1” 是“a = 1” 的必要条 件. 故“a2 = 1” 是“a = 1” 的必要不充分条件. 3. B　 【解析】 由“a < 5” 不能推出“a < 3”,所以充分性不成立. 由“a < 3” 能推出“a < 5”,所以必要性成立. 故“a < 5” 是 “a < 3” 的必要不充分条件. 4. C　 【解析】 当 x = 0 时,xy = 0;当 xy = 0 时,x = 0 或 y = 0. 故“x = 0” 是“xy = 0” 的充分不必要条件. 5. C　 【解析】a > 3⇔a - 3 > 0,所以“a > 3” 是“a - 3 > 0” 的充要条件. ·2· 6. B　 【解析】 由(x + 2)(x - 4) = 0 得 x = - 2 或 x = 4. 所以“(x + 2)(x - 4) = 0” 不能推出“x = 4”,即充分性不成立;由 “x = 4” 能推出“(x + 2)(x - 4) = 0”,即必要性成立. 故“(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的必要不充分条件. 7. A　 【解析】 由“ab > 0” 得“a > 0 且 b > 0” 或“a < 0 且 b < 0” . 因为命题“若 a > 0 且 b > 0,则 ab > 0” 为真命题,其逆 命题“若 ab > 0,则 a > 0 且 b > 0” 为假命题,所以“a > 0 且 b > 0” 是“ab > 0” 的充分不必要条件. 8. A　 【解析】x = 2,y = 3 时,点(x,y) 即(2,3) 位于第一象限,而第一象限的点有无数个,不一定有 x = 2,y = 3. 故“x = 2, y = 3” 是“点(x,y) 位于第一象限” 的充分不必要条件. 9. √　 【解析】 当 x = 1 时,(x - 1)(x + 2) = 0 成立,即“x = 1” 是“(x - 1)(x + 2) = 0” 的充分条件;由(x - 1)(x + 2) = 0 得 x = - 2 或 x = 1,所以“x = 1” 不是“(x - 1)(x + 2) = 0” 的必要条件. 故“x = 1” 是“(x - 1)(x + 2) = 0” 的充分 不必要条件. 10. ✕　 【解析】 当 x为整数时,2x + 1 必为整数;当 2x + 1 为整数时,x不一定为整数,如 2x + 1 = 2 时,x = 1 2 . 所以“x为整数” 是“2x + 1 为整数” 的充分不必要条件. 11. √　 【解析】 当 x = y 时,x2 = y2 ;由 x2 = y2 得 x = y 或 x = - y. 所以“x = y” 是“x2 = y2 ” 的充分不必要条件. 12. 充要 　 【解析】 由 | x | = 0 得 x = 0. 由 x2 = 0 得 x = 0. 故“ | x | = 0” 是“x2 = 0” 的充要条件. 第二章 　 不 　 等 　 式 2. 1　 不等式的基本性质 1. A　 【解析】 数集{x | - 3 < x ≤ 2,x ∈ R} 应用左开右闭的区间表示,可以表示为( - 3,2] . 2. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac = bc,故 A 错误;当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,此时 1 a = 1, 1 b = - 1 2 ,a2 = 1,b2 = 4, 1 a > 1 b ,a2 < b2 ,故 B,C 错误;不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 D 正确. 3. C　 【解析】 不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 A 错误. 当 a = 10,b = 1 时, 满足 a > b > 0,此时 a - 3 > b + 3,故 B 错误. 因为 a > b > 0,所以 ab > 0,a - b > 0,a + b > 0,所以 a b - b a = (a - b)(a + b) ab > 0,所以 a b > b a ,故 C 正确,D 错误. 4. D　 【解析】 当 a = 1,b = - 1,c = 1,d = - 2 时,满足 a > b,c > d,此时 a + d = - 1,b + c = 0,ac = 1,bd = 2,a + d < b + c, ac < bd,故 A,B 错误. 当 c = 0 时,ac2 = bc2 ,故 C 错误. 不等式 c > d 即 d < c 的两边同时乘同一个负数 - 1,不等号的 方向改变,所以 - d > - c. 又 a > b,所以由不等式的同向可加性得 a - d > b - c,故 D 正确. ·3· 10. (判断题) 已知集合 A = {0,1,2},B = {x | x < 2},则 A ∩ B = {0,1,2} . (　 　 ) 11. (判断题) 已知集合 A = {1,2,3},B = ⌀,则 A ∪ B = {1,2,3} . (　 　 ) 12. (判断题) 已知集合 U = {0,1,2,3,4},集合 A = {1,2},B = {2,3},则 A ∪ (∁UB) = {1,2,3} . (　 　 ) 13. 已知集合 M = {b,c},N = {c,d},则 M ∩ N = . 14. 已知集合 A = {0,1,2},B = {1,2,3},则 A ∪ B = . 15. 已知集合 A = {x | x2 - 7x < 0},则∁RA = . 1. 3　 充 要 条 件 考纲解读 命题预测 1. 了解充分条件、必要条件和充要条件的含义; 2. 能判断命题“若 p,则 q” 中条件与结论的关系(充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件) . 充要条件是部分院校的常考考点,一般结合方程、不 等式等以小题的形式考查,难度不大,但需要考生理 解命题中条件与结论的逻辑关系. 1. 命题 命题(能判断真假的陈述句) 真命题:判断为真 假命题:判断为假 一般形式:如果 p,那么 q ì î í ï ï ï ï 2. 充分条件与必要条件 “若 p,则 q” 为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q,称 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件,记 作 p⇒q. 在命题“若 x > 3,则 x > 2” 中,x > 3 称为命题的条件 p,x > 2 称为命题的结论 q. 一个数大于 3 时,这个数肯定大于 2,故 x > 3⇒x > 2(p⇒q), 因此,“x > 3” 是“x > 2” 的充分条件,“x > 2” 是“x > 3” 的必要条件. “小范围”⇒“大范围”,“大范围”⇒/ “小范围” ·11· 3. 充要条件 如果 p 是 q 的充分条件(p⇒q),p 又是 q 的必要条件(q⇒p),则称 p 是 q 的充要条件,记作 p⇔q. 4. p 与 q 的四种关系 p 与 q 的关系 结论 p⇒q,但 q⇒/ p p 是 q 的充分不必要条件(q 是 p 的必要不充分条件) q⇒p,但 p⇒/ q p 是 q 的必要不充分条件(q 是 p 的充分不必要条件) p⇒q,且 q⇒p p 与 q 互为充要条件 p⇒/ q,且 q⇒/ p p 是 q 的既不充分也不必要条件(q 是 p 的既不充分也不必要条件) 考点:充要条件的判断 (真题)“a = 0 且 b = 0” 是“ab = 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 由 ab = 0 得 a = 0 或 b = 0. 因为命题“若 a = 0 且 b = 0,则 ab = 0” 为真命题,其逆命题“若 ab = 0,则 a = 0 且 b = 0” 为假命题,即 a = 0 且 b = 0⇒ab = 0,ab = 0⇒/ a = 0 且 b = 0,所以“a = 0 且 b = 0” 是“ab = 0” 的充分不必要条件. A 已知 p:a2 = 1,q: | a | = 1,则 p 是 q 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 易知 a2 = 1,则 a = ± 1; | a | = 1,则 a = ± 1. 故 p 是 q 的充要条件. C (真题,判断题) “x2 - 3x + 2 = 0” 是“x - 1 = 0” 的充分不必要条件. (　 　 ) 易得方程 x2 - 3x + 2 = 0 的两根分别为 x1 = - ( - 3) + ( - 3) 2 - 4 × 1 × 2 2 × 1 = 2,x2 = ·21· - ( - 3) - ( - 3) 2 - 4 × 1 × 2 2 × 1 = 1. 由 x - 1 = 0 得 x = 1. 故命题“若 x2 - 3x + 2 = 0,则 x - 1 = 0” 是假命题,其逆命题“若 x - 1 = 0,则 x2 - 3x + 2 = 0” 是真 命题. 故“x2 - 3x + 2 = 0” 是“x - 1 = 0” 的必要不充分条件. ✕ (判断题)“x > 1” 是“x > 0” 的充分不必要条件. (　 　 ) 易知集合{x | x > 1} ⫋ {x | x > 0},所以“x > 1” 是“x > 0” 的充分不必要条件. √ 1. “a = 2” 是“a > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 　 　 　 D. 既不充分也不必要条件 2. “a2 = 1” 是“a = 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 　 　 　 D. 既不充分也不必要条件 3. “a < 5” 是“a < 3” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若 x,y ∈ R,则“x = 0” 是“xy = 0” 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. “a > 3” 是“a - 3 > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ·31· 6. “(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. (真题)“a > 0 且 b > 0” 是“ab > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. “x = 2,y = 3” 是“点(x,y) 位于第一象限” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 9. (判断题)“x = 1” 是“(x - 1)(x + 2) = 0” 的充分不必要条件. (　 　 ) 10. (判断题)“x 为整数” 是“2x + 1 为整数” 的必要不充分条件. (　 　 ) 11. (判断题) 设 x,y ∈ R,则“x = y” 是“x2 = y2” 的充分不必要条件. (　 　 ) 12. “ | x | = 0” 是“x2 = 0” 的 条件. (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不 必要”) ·41·