1.2 集合的运算-2025版河南省高职单招考试数学复习教材

1. 2　 集合的运算 考纲解读 命题预测 1. 掌握两个集合的并集与交集的概念; 2. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义; 3. 会求给定集合的交集、并集、补集运算. 集合的运算是常考考点,命题通常以小题的形式考 查两个集合的交、并、补基本运算,其中交集、补集运 算是考查热点. 1. 交集 (1) 交集的概念 A ∩ B(读作“A 交 B”):集合 A,B 的所有公共元素组成的新集合. 用符号语言表示为 A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} . 交集(∩):取公共元素(Venn 图中的阴影部分) A ∩ B = {2,3} 　 A ∩ B = A 　 A ∩ B = A = B 　 A ∩ B = ⌀ (2) 交集的性质 对于任意集合 A,B,有 ①A ∩ B = B ∩ A; ②A ∩ A = A,A ∩ ⌀ = ⌀; ③A ∩ B ⊆ A,A ∩ B ⊆ B. 2. 并集 (1) 并集的概念 A ∪ B(读作“A并 B”):把集合 A,B 的元素合在一起,且公共元素只出现一次. 用符号语言表示为 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} . ·7· 并集(∪):取全部元素(Venn 图中的阴影部分) A ∪ B = {a,b,c} 　 A ∪ B = B 　 A ∪ B = A = B 　 A ∪ B = {1,2,3} (2) 并集的性质 对于任意集合 A,B,有 ①A ∪ B = B ∪ A; ②A ∪ A = A,A ∪ ⌀ = A; ③A ⊆ (A ∪ B),B ⊆ (A ∪ B) . 3. 补集 (1) 全集 全集通常为给定的集合 U. 所研究集合为全集 U 的一个子集. (2) 补集 ∁UA(读作“A 在 U 中的补集”):全集 U 中,剔除集合 A 的所有元素,剩下的元素组成的新集合. 用符号语言表示为∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} . 补集(∁UA):取集合 A 剩下元素(Venn 图中的阴影部分) U = {1,2,3,4},A = {2} 在{1,2,3,4} 中剔除元素 2 → ∁UA = {1,3,4} . 考点一:交集运算 (真题) 已知集合 A = {1,3,5},B = {1,2,3,4},则 A ∩ B = (　 　 ) A. {1,3} B. {1,3,5} C. {1,2,3,4} D. {1,2,3,4,5} 由集合 A = {1,3,5},B = {1,2,3,4} 的所有共同元素为 1,3 知 A ∩ B = {1,3} . A (真题) 设集合 M = {1,2,3,6,9}, N = {x | 2 < x < 12},则 M ∩ N 中元素的个数为 (　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ·8· 因为 M = {1,2,3,6,9}, N = {x | 2 < x < 12}, 所以 M ∩ N = {3,6,9}, 所以 M ∩ N 中元素的个数为 3. A 已知集合 A = {x | x > - 1},B = {x | x ≤ 3},则 A ∩ B = . 将集合 A = {x | x > - 1},B = {x | x ≤ 3} 在数轴上表示出来,如图所示. 阴影部分即 A = {x | x > - 1} 与 B = {x | x ≤ 3} 的交集, 所以 A ∩ B = {x | - 1 < x ≤ 3} . {x | - 1 < x ≤ 3} 考点二:并集运算 (真题) 已知集合 A = {1,3,5},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {1,3} B. {2,5} C. {1} D. {1,2,3,5} 因为集合 A = {1,3,5} 与 B = {1,2,3} 的所有元素为 1,2,3,5, 所以 A ∪ B = {1,2,3,5} . D 若集合 A = {x | 0 < x < 2 },B = {x | 1 ≤ x < 2},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {x | x ≤ 0} B. {x | x ≥ 2} C. {x | 0 ≤ x ≤ 2 } D. {x | 0 < x < 2} 将集合 A,B 表示在数轴上,如图. 由数轴可知 A ∪ B = {x | 0 < x < 2} . D 考点三:补集运算 设全集 U = {1,3,5,7},集合 A = {3,5},则∁UA = (　 　 ) A. {1,7} B. {1,5} C. {3,7} D. {5,7} 将全集 U = {1,3,5,7} 中的元素剔除 A = {3,5} 中的元素后为 1,7, 所以∁UA = {1,7} . A ·9· (判断题) 已知 U = R,B = {x | 3 - x < 0},则∁UB = {x | x < 3} . (　 　 ) 易知 B = {x | 3 - x < 0} = {x | x > 3} . 又 U = R,∴ ∁UB = {x | x ≤ 3} . ✕ 1. 已知集合 A = {1,2,3},B = {1,3},那么 A ∩ B = (　 　 ) A. {1,2,3} B. {1,3} C. {1,2} D. {2} 2. 设集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},则∁UA = (　 　 ) A. {2,4} B. {1,3,5} C. {0,2,4} D. {0,1,2,3,4,5} 3. 已知集合 A = { - 1,0,1},B = {0,2,4},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0} B. { - 1,1,2,4} C. { - 1,1} D. { - 1,0,1,2,4} 4. 已知集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},则 A ∩ B = (　 　 ) A. { - 2, - 1,0,1} B. { - 2, - 1,0} C. { - 1,0} D. { - 1,0,1} 5. 已知集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {x | x ≤- 2 或 x ≥ 5} B. {x | x ≤ 1 或 x > 3} C. {x | - 2 < x < 5} D. {x | 1 < x ≤ 3} 6. 若集合 A = {x | - 1 < x < 3 },B = {x | 1 ≤ x < 2},则 A ∩ B = (　 　 ) A. {x | x ≤- 1}　 　 B. {x | x ≥ 2} C. {x | - 1 ≤ x ≤ 3 } D. {x | 1 ≤ x < 3 } 7. 已知集合 A = {1,2,3},B = {1,x},若 A ∪ B = A,则 x 的值为 (　 　 ) A. 2 或 3 B. 2 C. 3 D. 1 或 2 或 3 8. 已知全集 U = {x | x > - 2},集合 A = {x | x - 1 > 0},则∁U A = (　 　 ) A. {x | x < 1} B. {x | x ≤ 1} C. {x | - 2 < x < 1} D. {x | - 2 < x ≤ 1} 9. 已知集合 A = {x | x2 - x = 0},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0,1} B. {1,2,3} C. {0,1,2,3} D. { - 1,0,1,2,3} ·01· 10. (判断题) 已知集合 A = {0,1,2},B = {x | x < 2},则 A ∩ B = {0,1,2} . (　 　 ) 11. (判断题) 已知集合 A = {1,2,3},B = ⌀,则 A ∪ B = {1,2,3} . (　 　 ) 12. (判断题) 已知集合 U = {0,1,2,3,4},集合 A = {1,2},B = {2,3},则 A ∪ (∁UB) = {1,2,3} . (　 　 ) 13. 已知集合 M = {b,c},N = {c,d},则 M ∩ N = . 14. 已知集合 A = {0,1,2},B = {1,2,3},则 A ∪ B = . 15. 已知集合 A = {x | x2 - 7x < 0},则∁RA = . 1. 3　 充 要 条 件 考纲解读 命题预测 1. 了解充分条件、必要条件和充要条件的含义; 2. 能判断命题“若 p,则 q” 中条件与结论的关系(充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件) . 充要条件是部分院校的常考考点,一般结合方程、不 等式等以小题的形式考查,难度不大,但需要考生理 解命题中条件与结论的逻辑关系. 1. 命题 命题(能判断真假的陈述句) 真命题:判断为真 假命题:判断为假 一般形式:如果 p,那么 q ì î í ï ï ï ï 2. 充分条件与必要条件 “若 p,则 q” 为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q,称 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件,记 作 p⇒q. 在命题“若 x > 3,则 x > 2” 中,x > 3 称为命题的条件 p,x > 2 称为命题的结论 q. 一个数大于 3 时,这个数肯定大于 2,故 x > 3⇒x > 2(p⇒q), 因此,“x > 3” 是“x > 2” 的充分条件,“x > 2” 是“x > 3” 的必要条件. “小范围”⇒“大范围”,“大范围”⇒/ “小范围” ·11· 第一章　 集合与充要条件 1. 1　 集合的概念与集合之间的关系 1. D　 【解析】 因为集合 M 是由 1,2,3 三个元素组成的,所以用列举法表示集合 M = {1,2,3} . 2. B　 【解析】 因为集合 A = {x | x < 2} 表示所有小于 2 的实数组成的集合,所以 2 ∉ A,2 024 ∉ A,0 ∈ A, 3 ∈ A. 3. D　 【解析】 学生中的跑步能手, 中国科技创新人才, 地球周围的行星中包含的对象都不确定, 不能构成集合. 唐宋散文八 大家分别为柳宗元、韩愈、欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩,能构成集合. 4. A　 【解析】⌀ 是不含任何元素的集合,故 A 正确,D 错误;⌀ 是集合{0} 的真子集,即 ⌀ ⫋ {0},故 B 错误;对于 C,元素与集 合之间的关系只能是属于或不属于,故 C 错误. 5. B　 【解析】 因为 A 是非空集合,所以 A ⊆ A,⌀ ⊆ A,⌀ ⫋ A,但 A 不是 A 的真子集. 6. C　 【解析】 因为 N 是自然数集,Z 是整数集,Q 是有理数集,所以 1 2 ∉ N, 1 2 ∉ Z, 1 3 ∈ Q,故 A,B 不符合题意,C 符合题 意. ⌀ 中没有任何元素,所以 0 ∉ ⌀,故 D 不符合题意. 7. D　 【解析】{ - 1} 和{ - 1,2} 都是集合,集合间不是“∈”“∉” 关系,A 错误;3 是实数,故 3 ∈ R,B 错误;1 是元素,且 1 ∈ {x | 0 ≤ x ≤ 1},C 错误;空集是任何集合的子集,D 正确. 8. B　 【解析】 空集和集合 A都是集合,不是“∈”“∉” 关系,故 A 错误;因为 - 2 < - 1,A = {x | x > - 1},所以 - 2 ∉ A,故 B 正 确,C 错误;由 - 2 ∉ A 知{ - 2} ⊈ A,故 D 错误. 9. B　 【解析】 集合 A = {1,2,3} 的真子集有 ⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 10. √　 【解析】 因为 A = {x ∈ Z | x < 3} = {…, - 2, - 1,0,1,2},所以 2 是集合 A 中的元素,2 ∈ A. 11. ✕　 【解析】11 以内的非负偶数有 0,2,4,6,8,10,所以 11 以内的非负偶数构成的集合为{0,2,4,6,8,10} . 12. √　 【解析】 由 x + 1 > 0 得 x > - 1. 由 3x + 1 ≥ 4x - 2 得 x ≤ 3. 所以不等式组 x + 1 > 0, 3x + 1 ≥ 4x - 2 { 的解集为 {x | - 1 < x ≤ 3} . 13. ✕　 【解析】 由集合 M = {1,2,3},N = {0,1} 知,集合 N 中的元素 0 不在集合 M 中,所以 N 不是 M 的子集. 14. √　 【解析】 因为 A = {1,3, m},B = {1,2},B ⊆ A,所以 1,2 是集合 A 中的元素,所以 m = 2,解得 m = 4. 1. 2　 集合的运算 1. B　 【解析】∵ 集合 A = {1,2,3} 与 B = {1,3} 的所有公共元素为 1,3,∴ A ∩ B = {1,3} . ·1· 2. B　 【解析】 因为集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},所以∁UA = {1,3,5} . 3. D　 【解析】∵ 集合 A = { - 1,0,1} 与集合 B = {0,2,4} 的所有元素为 - 1,0,1,2,4,∴ A ∪ B = { - 1,0,1,2,4} . 4. B　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},所以 A ∩ B = { - 2, - 1,0} . 5. C　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},所以 A ∪ B = {x | - 2 < x < 5} . 6. D　 【解析】 将集合 A,B 表示在数轴上,如图. 所以 A ∩ B = {x | 1 ≤ x < 3 } . 7. A　 【解析】 由 A ∪ B = A 得 B ⊆ A,故 x 的值为 2 或 3. 8. D　 【解析】 因为 U = {x | x > - 2},A = {x | x - 1 > 0} = {x | x > 1},所以∁U A = {x | - 2 < x ≤ 1} . 9. C　 【解析】 因为 A = {x | x2 - x = 0} = {x | x(x - 1) = 0} = {0,1},B = {1,2,3},所以 A ∪ B = {0,1} ∪ {1,2,3} = {0,1,2,3} . 10. ✕　 【解析】 由 A = {0,1,2},B = {x | x < 2} 及交集运算得 A ∩ B = {0,1} . 11. √　 【解析】 由集合 A = {1,2,3},B = ⌀ 及并集运算得 A ∪ ⌀ = {1,2,3} . 12. ✕　 【解析】∵ U = {0,1,2,3,4},B = {2,3},∴ ∁UB = {0,1,4},又集合 A = {1,2},∴ A ∪ (∁UB) = {0,1,2,4} . 13. {c}　 【解析】 因为集合 M = {b,c} 和 N = {c,d} 的所有公共元素为 c,所以 M ∩ N = {c} . 14. {0,1,2,3}　 【解析】 因为集合 A = {0,1,2} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{0,1,2,3},所以 A ∪ B = {0, 1,2,3} . 15. {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7}　 【解析】 易得 A = {x | x2 - 7x < 0} = {x | x(x - 7) < 0} = {x | 0 < x < 7},则∁RA = {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} . 1. 3　 充 要 条 件 1. A　 【解析】 由 a = 2⇒a > 0 知,“a = 2” 是“a > 0” 的充分条件. 由 a > 0⇒/ a = 2 知,“a = 2” 不是“a > 0” 的必要条件. 故 “a = 2” 是“a > 0” 的充分不必要条件. 2. B　 【解析】 由 a2 = 1⇒/ a = 1 知,“a2 = 1” 不是“a = 1” 的充分条件. 由 a = 1⇒a2 = 1 知,“a2 = 1” 是“a = 1” 的必要条 件. 故“a2 = 1” 是“a = 1” 的必要不充分条件. 3. B　 【解析】 由“a < 5” 不能推出“a < 3”,所以充分性不成立. 由“a < 3” 能推出“a < 5”,所以必要性成立. 故“a < 5” 是 “a < 3” 的必要不充分条件. 4. C　 【解析】 当 x = 0 时,xy = 0;当 xy = 0 时,x = 0 或 y = 0. 故“x = 0” 是“xy = 0” 的充分不必要条件. 5. C　 【解析】a > 3⇔a - 3 > 0,所以“a > 3” 是“a - 3 > 0” 的充要条件. ·2·