1.1 集合的概念与集合之间的关系-2025版河南省高职单招考试数学复习教材

第一章　 集合与充要条件 1. 1　 集合的概念与集合之间的关系 1. D　 【解析】 因为集合 M 是由 1,2,3 三个元素组成的,所以用列举法表示集合 M = {1,2,3} . 2. B　 【解析】 因为集合 A = {x | x < 2} 表示所有小于 2 的实数组成的集合,所以 2 ∉ A,2 024 ∉ A,0 ∈ A, 3 ∈ A. 3. D　 【解析】 学生中的跑步能手, 中国科技创新人才, 地球周围的行星中包含的对象都不确定, 不能构成集合. 唐宋散文八 大家分别为柳宗元、韩愈、欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩,能构成集合. 4. A　 【解析】⌀ 是不含任何元素的集合,故 A 正确,D 错误;⌀ 是集合{0} 的真子集,即 ⌀ ⫋ {0},故 B 错误;对于 C,元素与集 合之间的关系只能是属于或不属于,故 C 错误. 5. B　 【解析】 因为 A 是非空集合,所以 A ⊆ A,⌀ ⊆ A,⌀ ⫋ A,但 A 不是 A 的真子集. 6. C　 【解析】 因为 N 是自然数集,Z 是整数集,Q 是有理数集,所以 1 2 ∉ N, 1 2 ∉ Z, 1 3 ∈ Q,故 A,B 不符合题意,C 符合题 意. ⌀ 中没有任何元素,所以 0 ∉ ⌀,故 D 不符合题意. 7. D　 【解析】{ - 1} 和{ - 1,2} 都是集合,集合间不是“∈”“∉” 关系,A 错误;3 是实数,故 3 ∈ R,B 错误;1 是元素,且 1 ∈ {x | 0 ≤ x ≤ 1},C 错误;空集是任何集合的子集,D 正确. 8. B　 【解析】 空集和集合 A都是集合,不是“∈”“∉” 关系,故 A 错误;因为 - 2 < - 1,A = {x | x > - 1},所以 - 2 ∉ A,故 B 正 确,C 错误;由 - 2 ∉ A 知{ - 2} ⊈ A,故 D 错误. 9. B　 【解析】 集合 A = {1,2,3} 的真子集有 ⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 10. √　 【解析】 因为 A = {x ∈ Z | x < 3} = {…, - 2, - 1,0,1,2},所以 2 是集合 A 中的元素,2 ∈ A. 11. ✕　 【解析】11 以内的非负偶数有 0,2,4,6,8,10,所以 11 以内的非负偶数构成的集合为{0,2,4,6,8,10} . 12. √　 【解析】 由 x + 1 > 0 得 x > - 1. 由 3x + 1 ≥ 4x - 2 得 x ≤ 3. 所以不等式组 x + 1 > 0, 3x + 1 ≥ 4x - 2 { 的解集为 {x | - 1 < x ≤ 3} . 13. ✕　 【解析】 由集合 M = {1,2,3},N = {0,1} 知,集合 N 中的元素 0 不在集合 M 中,所以 N 不是 M 的子集. 14. √　 【解析】 因为 A = {1,3, m},B = {1,2},B ⊆ A,所以 1,2 是集合 A 中的元素,所以 m = 2,解得 m = 4. 1. 2　 集合的运算 1. B　 【解析】∵ 集合 A = {1,2,3} 与 B = {1,3} 的所有公共元素为 1,3,∴ A ∩ B = {1,3} . ·1· 第一章 集合与充要条件 1. 1　 集合的概念与集合之间的关系 考纲解读 命题预测 1. 了解集合的概念,理解元素与集合之间的关系,能正确使用符号 表示元素与集合之间的关系; 2. 掌握集合的表示法、常用数集的表示符号;会用列举法和描述法 表示集合; 3. 理解集合与集合之间的关系(包含、相等关系),能识别给定集合 的子集、真子集,能熟练判断集合与集合间的关系. 本节是集合知识的基础,一般以选择题、判断题的形 式出现,难度不大,主要考查元素与集合之间的关 系,空集、子集的基本概念等相关问题. 1. 集合及元素 (1) 定义 集合(简称为集):由某些确定的对象组成的整体. 元素:组成这个集合的对象称为这个集合的元素. ⌀(空集):不含任何元素的集合. 　 　 集合中元素的特性 确定性(每个对象可以确定是或不是集合的元素) 互异性({1,2,2,3,3,3} 是错误的,正确的表示为{1,2,3}) 无序性({1,2,3} 与{3,2,1} 表示的是同一个集合) ì î í ï ï ï ï ·1· (2) 集合与元素的表示及关系 元素 集合(集) 表示 a,b,c A,B,C 关系 a ∈ A(a 是 A 中的元素) 或 a ∉ A(a 不是 A 中的元素) 　 　 元素与集合的关系只有两种: ∈ 和 ∉. 若集合 A = {1,2,3},则 1 ∈ A,0 ∉ A. (3) 常用的数集及其关系 ① 实数系 实数 有理数 整数 正整数 　 0 } 自然数(0,1,2,…) 负整数(…, - 3, - 2, - 1) ì î í ï ï ï ï 分数 正分数 负分数 { } 有限小数或无限循环小数 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï 无理数 正无理数 负无理数 { } 无限不循环小数 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ② 常用的数集及其记法 R(实数集) Q(有理数集) Z(整数集) N(自然数集) N∗ 或 N + (正整数集) 实数组成的集合 整数和分数组成的集合 {…, - 1,0,1,…} {0,1,2,…} {1,2,3,…} 2. 集合的表示法 (1) 列举法 将集合的元素一一列出,用逗号隔开,并写在花括号“{}” 内. “1 ~ 5 之间的所有偶数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍” 为 2,4􀪍,“1 ~ 5 之间的所有偶数” 构成的集合为{2,4}􀪍􀪍􀪍. 　 　 　 ↓ 研究对象 　 　 　 ↓ 元素 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ↓ 集合 (2) 描述法 {x | x 具有的特征性质},其中 x 为集合的代表元素. 如{x | x ≥ 0} 表示所有大于等于 0 的实数组成的集合. ·2· 3. 集合之间的关系 子集 真子集 集合相等 概念 集合 A 的元素都是集合 B 的元素 集合 A ⊆ B,但存在 x ∈ B,且x ∉ A 集合 A 的元素与集合 B 的元素相同 记法 A ⊆ B(或 B ⊇ A) A ⫋ B(或 B ⫌ A) A = B 读法 “A 包含于 B”(或“B 包含 A”) “A 真包含于 B”(或“B 真包含 A”) “集合 A 等于 B” 图示 已知集合 A = {1,2},B = {1,2,3},C = {1},D = {2,1},则 A ⫋ B:集合 A 中的所有元素 1,2 都是集合 B 的元素,且 B 中元素 3 不是 A 中元素. A ⫌ C:集合 C 中的所有元素 1 是集合 A 的元素,且 A 中元素 2 不是 C 中元素. A = D:集合 A 与集合 D 的元素相同,都为 1,2. A ⫋ B⇒A ⊆ B,A ⫌ C⇒A ⊇ C,A = D⇒ A ⊆ D, D ⊆ A.{ 　 　 ① 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. ② 任何一个集合都是它自身的子集,即 A ⊆ A. ③ 对于集合 A,B,C,如果 A ⊆ B,且 B ⊆ C,那么 A ⊆ C. ④ 若集合 A 不是集合 B 的子集,记作 A ⊈ B 或 B ⊉ A. 考点一:集合的概念 以下对象的全体能构成集合的是 (　 　 ) A. 接近 5 的所有实数 B. 地球上的小河流 C. 1,2,3,4 D. 高一(2) 班成绩好的同学 因为接近 5,小河流,成绩好均没有确定的标准,所以接近 5 的所有实数、地球上的小河流、 高一(2) 班成绩好的同学均不能构成集合,故 A,B,D 不符合题意; ·3· 1,2,3,4 是确定的,且互不相同,能构成集合{1,2,3,4},故 C 符合题意. C 判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打“✕”) . (1)(真题){0} 表示空集. (　 　 ) (2)(真题){1,2} 与{2,1} 是不同的集合. (　 　 ) (1) 集合{0} 中含有元素 0,空集中没有任何元素, 所以{0} 不表示空集. (2) 因为集合{1,2} 与{2,1} 中的所有元素都相同, 所以集合{1,2} 与{2,1} 是同一集合. (1)✕　 (2)✕ 考点二:元素与集合的关系 下列关系中,正确的有 (　 　 ) ① 1 2 ∈ R;② 5 ∉ Q;③ | - 3 | ∈ N;④ | - 3 | ∈ Q. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 1 2 为实数, 5 是无理数, | - 3 | = 3 是自然数, | - 3 | = 3 是无理数,故 ①②③ 正确,④ 错 误. 综上,正确的有 3 个. C 已知集合 A = {x | 1 < x < 3},则下列关系正确的是 (　 　 ) A. 1 ∈ A B. 3 ∈ A C. 1 ∉ A D. 2 ∉ A 由题意易知,集合 A 中不含 1 和 3 这两个元素, 所以 1 ∉ A,3 ∉ A,故 A,B 选项错误,C 正确; 元素 2 属于集合 A,故选项 D 错误. C 若 1 ∈ {0,a},则实数 a = . 因为 1 ∈ {0,a}, 所以 1 是集合{0,a} 中的元素, ·4· 所以 a = 1. 1 考点三:集合的表示方法 集合{x ∈ Z | 0 < x < 5} 用列举法表示正确的是 (　 　 ) A. {1,2,3,4} B. {0,1,2,3,4} C. {0,1,2,3,4,5} D. {1,2,3,4,5} ∵ x ∈ Z 且 0 < x < 5, ∴ x 所有可能的取值为 1,2,3,4, ∴ {x ∈ Z | 0 < x < 5} = {1,2,3,4} . A 考点四:集合间的关系 设集合 A = {1,2,3,4},B = {1,2,3,a},且 A = B,则 a = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由 A = B 知,集合 A = {1,2,3,4} 与 B = {1,2,3,a} 的元素相同, 所以 a = 4. D (判断题) 已知集合 A = {x | x > - 1},则{0} ∈ A. (　 　 ) {0} 是集合,集合与集合之间不能用“∈”“∉” 符号连接,正确是{0} ⊆ A. ✕ (判断题) 若集合 A = {1,2,3},则 A 的子集有 8 个. (　 　 ) 易知集合 A 的子集有 ⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3},共 8 个. √ 1. 已知 M 是由 1,2,3 三个元素组成的集合,则集合 M 可表示为 (　 　 ) A. {x | x = 1} B. {x | x = 2} C. {1,2} D. {1,2,3} ·5· 2. 设集合 A = {x | x < 2},则 (　 　 ) A. 2 ∈ A　 　 B. 3 ∈ A C. 2 024 ∈ A　 D. 0 ∉ A 3. 下列各组对象能构成集合的是 (　 　 ) A. 学生中的跑步能手 B. 中国科技创新人才 C. 地球周围的行星 D. 唐宋散文八大家 4. 下列关系中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∉ ⌀ B. {0} ⊆ ⌀ C. 0 ⊆ ⌀ D. 0 ∈ ⌀ 5. 已知 A 是非空集合,则下列关系不正确的是 (　 　 ) A. A ⊆ A B. A ⫋ A C. ⌀ ⊆ A D. ⌀ ⫋ A 6. 下列元素与集合的关系表示正确的是 (　 　 ) A. 1 2 ∈ N B. 1 2 ∈ Z C. 1 3 ∈ Q D. 0 ∈ ⌀ 7. 下列关系正确的是 (　 　 ) A. { - 1} ∈ { - 1,2} B. 3 ∉ R C. 1 ⊆ {x | 0 ≤ x ≤ 1} D. ⌀ ⊆ {0} 8. 设集合 A = {x | x > - 1},则 (　 　 ) A. ⌀ ∉ A B. - 2 ∉ A C. - 2 ∈ A D. { - 2} ⊆ A 9. 设集合 A = {1,2,3},则 A 的真子集的个数是 (　 　 ) A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 10. (判断题) 已知集合 A = {x ∈ Z | x < 3},则 2 ∈ A. (　 　 ) 11. (判断题) 用列举法表示 11 以内的非负偶数构成的集合为{2,4,6,8,10} . (　 　 ) 12. (判断题) 用描述法表示不等式组 x + 1 > 0, 3x + 1 ≥ 4x - 2{ 的解集为{x | - 1 < x ≤ 3} . (　 　 ) 13. (判断题) 设集合 M = {1,2,3},N = {0,1},则 N ⊆ M. (　 　 ) 14. (判断题) 已知集合 A = {1,3, m },B = {1,2},B ⊆ A,则 m = 4. (　 　 ) ·6·