空间向量与立体几何专项训练-2025届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何专项训练 空间向量与立体几何专项训练 一、单选题 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（    ） A．4 B． C．10 D． 3．（23-24高二上·广东清远·期末）如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东东莞·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B．2 C．6 D． 6．（23-24高二上·广东深圳·期末）正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·广东深圳·期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·广东江门·期末）如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（    ） A．四点共面 B． C．为直线的方向向量 D． 11．（23-24高二上·广东珠海·期末）在下列四个选项，其中正确的有（   ） A．与向量同方向的单位向量 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 三、填空题 12．（23-24高二上·广东河源·期末）已知点，，若直线的一个方向向量为，则 . 13．（23-24高二上·广东广州·期末）在棱长为2的正四面体中，是的中点，则 . 14．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知矩形中，将矩形沿着对角线对折，形成一个空间四边形，当时，二面角的余弦值为 . 四、解答题 15．（23-24高二下·广东清远·期末）如图，在正四棱锥中. (1)求证:; (2)若，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值. 16．（23-24高二下·广东江门·期末）如图，四边形与四边形是全等的矩形，，，P为上的动点． (1)若P为的中点，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（23-24高二下·广东·期末）如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，，点、分别在、上，且，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 18．（23-24高二下·广东·期末）如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（23-24高一下·广东广州·期末）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何专项训练 空间向量与立体几何专项训练 一、单选题 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以在上投影的长度为， 所以点到直线的距离为. 故选：C 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（    ） A．4 B． C．10 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，解得. 故选：C 3．（23-24高二上·广东清远·期末）如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 故选：A 4．（23-24高二上·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是空间的一个基底，故不共面， A选项， 设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； B选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； C选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； D选项，设， 则，得 ， 故共面， 故不可构成空间的一个基底. 故选：D 5．（23-24高二上·广东东莞·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【详解】由题意，所以，解得. 故选：A. 6．（23-24高二上·广东深圳·期末）正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则， 得， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：D 7．（23-24高二上·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因构成空间的一个基底，故不共面， 对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误； 对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误； 对于C项，因，故共面，即C项正确； 对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误. 故选：C. 8．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，易知，所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以， , 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二上·广东深圳·期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点， 则两两夹角为，， 所以， 对于A，，正确； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为，所以， 所以，正确； 对于D，因为， 所以，错误. 故选：AC 10．（23-24高二上·广东江门·期末）如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（    ） A．四点共面 B． C．为直线的方向向量 D． 【答案】AC 【详解】在四面体中，，，，分别是，，，的中点，则，， 于是得四边形是平行四边形，故，，，四点共面，即A正确 因平行四边形两条对角线不一定垂直，即不一定垂直，则不一定成立，B不正确； 因，，则为直线的方向向量，C正确； 平行四边形中，是和的交点，则是中点，对空间任意一点， 则，D不正确. 故选：AC. 11．（23-24高二上·广东珠海·期末）在下列四个选项，其中正确的有（   ） A．与向量同方向的单位向量 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】对A：由向量， 则与其同方向的单位向量为，故A正确； 对B：由，故不能得到P，A，B，C四点共面，故B错误； 对C：因为三个不共面的向量可以成为空间的一个基底， 所以当两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底时， 则这两个向量共线，故C正确； 对D：在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（23-24高二上·广东河源·期末）已知点，，若直线的一个方向向量为，则 . 【答案】 【详解】易知，显然方向向量与共线， 即，解得，所以； 因此可得； 故答案为： 13．（23-24高二上·广东广州·期末）在棱长为2的正四面体中，是的中点，则 . 【答案】2 【详解】在棱长为2的正四面体中，， 所以. 故答案为：2 14．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知矩形中，将矩形沿着对角线对折，形成一个空间四边形，当时，二面角的余弦值为 . 【答案】/0.75 【详解】在和中，分别过点作， 由，代入, 得，所以， 同理，，，所以， 设二面角大小为， 则与夹角为， 由， 平方得，， 所以，解得， 所以二面角的余弦值为 四、解答题 15．（23-24高二下·广东清远·期末）如图，在正四棱锥中. (1)求证:; (2)若，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，连接， 则平面，而平面，则， 由正方形，得，又平面， 因此平面，而平面， 所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然平面的法向量，设平面CPD与平面PBD的夹角为， 则， 所以平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值为. 16．（23-24高二下·广东江门·期末）如图，四边形与四边形是全等的矩形，，，P为上的动点． (1)若P为的中点，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意知，又四边形为矩形，得， 且平面平面， 所以平面，又平面，所以. 因为，点为的中点，所以，所以， 同理，所以，即. 又由于，所以，且， 又平面平面， 所以平面， （2）由（1）知，平面，又，故平面， 所以是直线在平面内的射影， 所以就是直线与平面所成的角，即， 即，设，则. 又由（1）知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则， 设平面的一个法向量为， 由于，所以，即， 令，则，即， 设平面的一个法向量为， ， 由于，所以，即， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为，可知为锐角， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 17．（23-24高二下·广东·期末）如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，，点、分别在、上，且，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)⋅ 【详解】（1）在线段上取一点，使，连结、， 在中，因为，，所以， 所以且， 因为，，且， 所以，且， 所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 因为底面是正三角形，，所以点，点， 点，点，点， 因为，所以点， 则，，， 设平面的一个法向量为． 由，令， 得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为⋅ 18．（23-24高二下·广东·期末）如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取上的点，使， 则， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）取中点，连，因为，所以， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设为平面的法向量， 则，可取， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19．（23-24高一下·广东广州·期末）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．    (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【详解】（1）连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； （2）由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； （3）设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$