精品解析：云南省大理白族自治州下关第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

云南省下关第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 （试卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集和补集的含义即可得到答案. 【详解】由题意，得，所以. 故选：C. 2. 已知、，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】令，其中，分析函数的单调性与奇偶性，将不等式变形为，结合函数的单调性判断可得出结论. 【详解】令，其中，该函数的定义域关于原点对称， 因为，即函数为奇函数， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，即， 则，即， 所以，“”“”， 所以，是的充要条件. 故选：A. 3. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程可得，结合同角三角关系运算求解. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 则，可得，且， 又因为，可得， 由可知，所以. 故选：C. 4. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意可得，， ，然后根据离心率公式即可求解. 【详解】解：由题可知：，，， 离心率. 故选：B. 5. 正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，求得其外接圆的半径，求得的值，进而求得球的半径，即可求解球的表面积，得到答案． 【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形， 设其外接圆的半径为，则，即， 由，得， 所以正方体的外接球的半径为， 所以正方体的外接球的表面积为，故选C． 【点睛】本题主要考查了求得表面积与体积的计算问题，同时考查了组合体及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，利用球的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题． 6. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案. 【详解】因为在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 所以当时，， 当时，. 所以由可得：或或, 解得或或，即或. 所以满足的取值范围是. 故选：D. 7. 若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法求解得，再根据点斜式求解即可得答案. 【详解】设，则 所以，整理得， 因为为弦的中点， 所以， 所以， 所以弦所在直线的方程为，即. 故选：A. 8. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 详解：直线分别与轴，轴交于，两点 ,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A. 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 过点作圆的切线，所得切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据函数解析式作出其图象，利用图象特征进行逐一判断，即得A,B项，对于C,D项，则必须结合图象分类考虑，并求解不等式即得. 【详解】 如图，依题意作出函数的图象， 因在上单调递增，在上单调递减，观察图形易判断A，B项正确； 对于C，D项，当时，若，则成立； 若，则由，即， 故得：，则成立，故C项正确，D项错误. 故选：ABC. 11. 已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ） A. B. C. 以AF为直径的圆与y轴相切 D. l上存在点E，使得为等边三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得直线经过抛物线焦点，设，联立直线与抛物线，可得的值，从而求解焦点弦，即可判断A；根据抛物线的定义过作，垂足为，从而可得的关系，即可判断B；结合抛物线的定义以及直线与圆的位置关系，即可判断C；根据抛物线的定义结合正三角形的几何性质，即可判断D. . 【详解】易知，准线的方程为，则直线经过焦点. 设， 由整理得，则， 根据抛物线的定义可知，，故A错误； 如图，过作，垂足为， 则，又， 所以，所以，故B正确； 以为直径的圆的半径为， 易知四边形为直角梯形，其中位线长为， 所以为直径的圆与相切，故C正确； 当为等边三角形时，， 由抛物线的定义可知，所以，这与为等边三角形矛盾， 所以上不存在点，使得为等边三角形，故D错误. 故选：BC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的特征，列不等式即可求解. 【详解】由题意可得解得，故实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标及双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】抛物线，即的焦点为，双曲线的渐近线方程为， 所以点到直线的距离． 故答案为： 14. 把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于两点，则半椭圆方程为_________（），的周长的取值范围是_______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由椭圆的焦点坐标以及，可得椭圆的标准方程和圆的方程，从而得到半椭圆方程；易知是椭圆的左焦点，过椭圆的右焦点的直线与曲圆可得，，在直线转动的过程中由，的位置可得三角形的周长的取值范围． 【详解】解：由，令，可得以及， 再由椭圆的方程及题意可得，，， 由，可得， 由可得， 所以， 所以半椭圆及圆弧的方程分别为，， 所以， 可得相当于椭圆的左焦点， 的周长为， 当从（不包括向运动时，， 当在轴右侧时，，所以这时三角形的周长为8， 当从向运动时，在第四象限，则，， 这时三角形的周长小于8， 当运动到时，在处，不构成三角形，三角形的周长接近， 由曲圆的对称性可得运动到轴下方时，与前面的一样， 综上所述，的周长的取值范围为，． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）当的面积为，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将条件转化为角的关系，利用二倍角公式化简可得，结合角的范围可得结论； （2）由条件结合三角形面积公式可求，结合，求，再由余弦定理求. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，， 又，所以，得到， 又，所以， 又，所以，得到， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又，得到， 代入，得到， 解得，所以， 由余弦定理得，， 所以. 16. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程； （2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得. 【小问1详解】 因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. 【小问2详解】 由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为. 17. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数   （2）求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率． 【答案】（1） （2）平均数为，方差 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，的值； （2）直接根据平均数及方差的定义求解即可； （3）先求得抽样比例，可得在区间和内抽取的人数，从而利用古典概型公式求解即可． 【小问1详解】 因为个体在区间内的频率是， 所以频数； 在内的频率是， 所以频数. 【小问2详解】 平均数为， 方差. 【小问3详解】 由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则抽样比例为， 所以在区间和内抽取的人数各为和， 分别记这人为、、、、和、，则事件的总体是 ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， 其中共有个基本事件， 记所求的事件为，则中包含的基本事件为： ，，，，，，，，，共个， 所以． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． （1）若是的中点，求证：直线平面； （2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 【答案】（1） 证明：取的中点，连，， 为的中点，且， 又，且， ，， 所以四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 故直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先取的中点，连接，再由平行四边形即可证明线线平行，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量由二面角的平面角的余弦值求出的位置，即可由体积公式求解． 【小问1详解】 略 小问2详解】 以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 设，则，， 在棱上，可设， 故，解得，即， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量，，， ，即， 即， 取，则，， 故， 因为二面角的平面角的余弦值为， 所以，即， 即， ，解得， 故是的中点， 因此 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于 A、B两点. ①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值； ②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①;② 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【小问1详解】 由双曲线. 的渐近线方程为， 再由椭圆的右焦点分别为到渐近线的距离为可得： ，因为，所以解得， 再由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由， 即椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 ①直线过椭圆右焦点F₂可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有 所以， 又椭圆左焦点到直线距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点， 且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得， 设两交点，中点，则有 所以， 即，整理得， 又因为，所以，则. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省下关第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 （试卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知、，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为 A. B. C. D. 6. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 过点作圆的切线，所得切线方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ） A. B. C. 以AF为直径的圆与y轴相切 D. l上存在点E，使得为等边三角形 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 13. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为_________． 14. 把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于两点，则半椭圆方程为_________（），的周长的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）当的面积为，，求的值． 16. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 17. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数   （2）求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． （1）若是的中点，求证：直线平面； （2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于 A、B两点. ①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值； ②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $