第1章 解直角三角形（单元测试）（题型专练）数学浙教版九年级下册

第1章：《解直角三角形》章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级______________ 考号______________ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024秋•宝山区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式成立的是（　　） A．b＝acotB B．a＝csinB C． D．a＝bcosA 【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， ∴cotB，sinB，sinA，cosA， 即b，b＝csinB，c，b＝ccosA， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 2．（2023秋•海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，则cosB等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余弦定义：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA可得答案． 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝4，BC＝5， ∴cosB， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形的三角函数定义，关键是掌握cosA＝∠A的邻边：斜边． 3．（2024•武侯区模拟）已知∠A是锐角，，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先利用同角的正弦值和余弦值的关系求出∠A的余弦值，然后根据tanA来得到所求的结论． 【解答】解：∵∠A是锐角，sinA，且sin2A+cos2A＝1， ∴cosA， ∴tanA． 故选：B． 【点评】此题主要考查的是同角的三角函数关系，要熟记sin2A+cos2A＝1，tanA这两个关系式． 4．（2022•思明区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则sinB＝（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可得出答案． 【解答】解：设AC＝a，则BC＝2a， ABa， sinB． 故选：C． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义进行求解是解决本题的关键． 5．（2023秋•益阳期末）对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（　　） （1）0＜sinα＜1，0＜cosβ＜1； （2）如果α＜β，那么cosα＜cosβ； （3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β； （4）如果tanα⋅tanβ＝1，那么α+β＝90°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值；余弦值等于它的邻边与斜边的比值；正切值等于它的对边与邻边的比值．了解锐角三角函数的变化规律：正弦值和正切值随着角的增大而增大；余弦值随着角的增大而减小．即可解题． 【解答】解：（1）锐角的正弦和余弦的函数值大于0而小于1，说法正确； （2）锐角的余弦函数值随着锐角度数的增大而减小，原说法不正确； （3）锐角的正弦函数值随着锐角度数的增大而增大，反之也对，说法正确； （4）两个互余的锐角的正切值相乘得1，反之也对，说法正确， 共3个说法正确． 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数的性质．理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2024•大丰区三模）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，再计算∠ACD的正弦值即可． 【解答】解：连接AD， 由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20， ∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴∠ACD的正弦值是． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键． 7．（2024•安次区二模）如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB为60cm，桌面平放时高度DE为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角（∠ABC）的度数为α，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（　　） A．（60sinα+70）cm B．（60cosα+70）cm C．（60tanα+70）cm D．130cm 【分析】根据题意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AC⊥CB， 在Rt△ACB中，AB＝60cm，∠ABC＝α， ∴AC＝AB•sinα＝60sinα（cm）， ∵DE＝70cm， ∴桌沿（点A）处到地面的高度h＝AC+DE＝（60sinα+70）cm， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 8．（2023秋•凤山县期末）如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（　　） A． B．tanB•tanC＝1 C． D． 【分析】先设小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出AC，AB＝2，BC，进而可得△ABC为直角三角形，然后根据三角函数的定义分别求出cosC，tanB，tanC，sinB，sinC，进而可对题目中的四个选项进行判断，从而可得出答案． 【解答】解：设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AC，AB2，BC， ∵AC2＝2，AB2＝8，BC2＝10， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形，即∠A＝90°， ∴cosC， 故选项A正确，不符合题意； ∵tanB，tanC2， ∴tanB•tanC2＝1， 故选项B、C正确，不符合题意； ∵sinB， 故选项D错误，不符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 9．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【分析】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值． 【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x， ∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形， ∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x， ∴AE＝4x， ∵∠AEB＝90°， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（2022•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得BC，设EF＝x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF＝BC列出方程求得x，进而求得结果． 【解答】解：如图， 作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F， 在Rt△ABD中， BD＝AD＝AB•sinB， 在Rt△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠ACB＝30°， CD＝AD•tan30°1， ∴BC1， 在Rt△BEF中，设BF＝EF＝x， 在Rt△EFC中，∠FEC＝90°﹣∠BCE＝60°， CF＝EF•tan60°x， 由CF+BF＝BC得， ， ∴x＝1， ∴EC＝2EF＝2， 故答案为：B． 【点评】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2023秋•慈溪市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若tanA，则sinB的值是 　 　． 【分析】根据tanA设出两直角边的长，再根据勾股定理求出斜边的长，运用三角函数的定义解答． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴设BC＝3x，则AC＝4x，AB5x． ∴sinB． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单． 12．（2023秋•玉门市期末）在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足（sinA）2+|tanB|＝0，则∠C＝　 ． 【分析】根据非负数的性质求出sinA、tanB的值，然后求出A和B的度数，继而可求得∠C． 【解答】解：由题意得，sinA，tanB， 则∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 故答案为：75°． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及非负数的性质． 13．（2023秋•龙口市期中）当∠A为锐角，且cosA时，∠A的取值范围是 　 　． 【分析】根据题意先判断出cosA值在锐角范围内随着角度的增大变小，再根据特殊角的三角函数值进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ∵∠A为锐角， ∴cosA在锐角范围内，∠A的值越大，cosA的值越小， ∵cosA时， ∴30°＜∠A＜60°． 故答案为：30°＜∠A＜60°． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 14．（2024•广西三模）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场ABC进行改造，已知AC与BC的夹角为120°，AC＝10m，BC＝14m，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 　m2（结果保留根号）． 【分析】过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，先利用平角定义可得∠ACD＝60°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， ∵∠ACB＝120°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝60°， 在Rt△ACD中，AC＝10m， ∴AD＝AC•sin60°＝105（m）， ∵BC＝14m， ∴△ABC的面积BC•AD14×535（m2）， ∴需要改造的广场面积是35m2， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（2024•潍坊一模）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，点M，A，B在同一条直线上，经测量得到如下数据：AM＝5米，AB＝10米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD 为 　 米．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73） 【分析】根据题意可得：CM⊥MB，然后分别在Rt△ADM和Rt△CMB中，利用锐角三角函数的定义求出DM和CM的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：CM⊥MB， 在Rt△ADM中，AM＝5米，∠MAD＝45°， ∴DM＝AM•tan45°＝5（米）， ∵AB＝10米， ∴MB＝AM+AB＝15（米）， 在Rt△CMB中，∠CBM＝30°， ∴CM＝BM•tan30°＝155（米）， ∴CD＝CM﹣DM＝55≈3.7（米）， ∴警示牌的高CD约为3.7米， 故答案为：3.7． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 16．（2024秋•道里区校级月考）如图，在四边形ABCD中，连接，若，则AC＝ 　 　． 【分析】过点C作CE⊥BD于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，根据sin∠CBD，设CE＝3a，BC＝5a，则BE＝4a，BD＝BC＝5a，进而得DE＝a，在Rt△CDE中，由勾股定理求出a＝1，则BD＝BC＝5，CE＝3，DE＝1再根据得AD＝4，再根据∠ADB+2∠BDC＝180°可得∠FDC＝∠BDC，然后证明△CDF和△CDE全等得CF＝CE＝3，DF＝DE＝1，则AF＝5，据此在Rt△ACF中，由勾股定理即可求出AC的长． 【解答】解：过点C作CE⊥BD于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，如图所示： 则∠F＝∠CED＝∠CEB＝90°， 在Rt△BCE中，sin∠CBD， 设CE＝3a，BC＝5a， 由勾股定理得：BE4a， ∵BD＝BC＝5a， ∴DE＝BD﹣BE＝a， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2+DE2＝CD2， ∴a2+（3a）2＝（）2， 解得：a1＝1，a2＝﹣1（不符合题意，舍去）， ∴BD＝BC＝5，CE＝3，DE＝1 ∵， ∴AD＝4， ∵∠ADB+∠BDF＝180°，∠ADB+2∠BDC＝180°， ∴∠BDF＝2∠BDC， 即∠FDC+∠BDC＝2∠BDC， ∴∠FDC＝∠BDC， 在△CDF和△CDE中， ， ∴△CDF≌△CDE（AAS）， ∴CF＝CE＝3，DF＝DE＝1， ∴AF＝DF+AD＝5， 在Rt△ACF中，由勾股定理得：AC． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，正确地作出辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（（2024秋•惠山区校级月考）计算： （1）2cos230°﹣2sin60°cos45°； （2）（π﹣3.14）0+（）﹣1tan60°． 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1﹣3+3 ＝1． 【点评】本题主要考查了实数的运算即特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（8分）（（2022秋•惠山区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c， （1）a＝5，c＝2a，求b、∠A． （2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长． 【分析】（1）求出c，再根据勾股定理即可求出b，根据锐角三角函数的定义求出sinA，再求出∠A即可； （2）根据锐角三角函数的定义求出a＝2b，根据三角形的面积求出b，求出a，再根据勾股定理求出c即可． 【解答】解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10， ∴b5， ∵sinA， ∴∠A＝30°； （2）∵tanA2， ∴a＝2b， ∵S△ABC＝9， ∴9， ∴9， 解得：b＝3（负数舍去）， 即a＝6， 由勾股定理得：c3， ∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+39+3． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 19．（8分）（（2023秋•柯桥区期末）绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线BC的正上方Q处悬停，A、B、C、D、Q在同一平面内，PQ⊥BC，点B、P、C在一条直线上，P为BC的中点，BC＝60米，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为11米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） 【分析】延长BA交EF于点G，延长CD交EF于点H，根据题意可得：BG⊥EF，CH⊥EF，CH＝BG，HQ＝CP，BP＝QG，先根据线段的中点定义可得：CP＝BP＝30米，从而可得HQ＝CP＝30米，QG＝BP＝30米，然后分别在Rt△DHQ和Rt△AQG中，利用锐角三角函数的定义求出DH和AG的长，从而求出CH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：延长BA交EF于点G，延长CD交EF于点H， 由题意得：BG⊥EF，CH⊥EF，CH＝BG，HQ＝CP，BP＝QG， ∵P为BC的中点， ∴CP＝BPBC＝30（米）， ∴HQ＝CP＝30米，QG＝BP＝30米， 在Rt△DHQ中，∠DQH＝60°， ∴DH＝HQ•tan60°＝30（米）， 在Rt△AQG中，∠AQF＝37°， ∴AG＝QG•tan37°≈30×0.75＝22.5（米）， ∵CD＝11米， ∴CH＝BG＝CD+DH＝（11+30）米， ∴AB＝BG﹣AG＝11+3022.5≈40.4（米）， ∴塔高AB的值约为40.4米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 20．（8分）（2023•三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D． （1）求BD的长； （2）连接AD，求∠DAC的余弦值． 【分析】（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题； （2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示： ∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4， ∴AB2， ∵AB•ACBC•AH， ∴AH， ∴BH， ∵AH⊥BD， ∴BH＝HD， ∴BD； （2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示： 由（1）得：AH，BD，AB＝2， ∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6， ∵AH•CDDM•AC， ∴DM， 在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM， ∴cos∠DAC． 【点评】本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． 21．（8分）（2024•嘉祥县二模）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°． （1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，） 【分析】（1）过点B′E⊥AD于E，根据正弦的定义求出B′E，进而求出车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）过点C′作C′F⊥B′E于点F，根据题意求出∠C′B′F＝60°，根据余弦的定义求出B′F，再求出点C'到地面l的距离，比较大小证明结论． 【解答】解：（1）如图2，过点B′E⊥AD于E， 在Rt△AB′E中，AB′＝AB＝1m，∠B′AD＝27°， ∵sin∠B′AE， ∴B′E＝AB′•sin∠B′AE＝1×sin27°≈0.454（m）， ∴点B'到地面l的距离为：0.454+1.7＝2.154≈2.15（m）， 答：车后盖最高点B'到地面l的距离约为2.15m； （2）没有碰头的危险， 理由如下：如图2，过点C′作C′F⊥B′E于点F， 在Rt△AB′E中，∠B′AD＝27°， 则∠AB′E＝90°﹣27°＝63°， ∵∠AB′C＝∠ABC＝123°， ∴∠C′B′F＝60°， ∵B′C′＝BC＝0.6m， ∴B′F＝B′C′•cos∠C′B′F＝0.60.3（m）， ∴点C'到地面l的距离为：2.15﹣0.3＝1.85（m）， ∵1.85＞1.8， ∴没有碰头的危险． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．（10分）（2024春•青铜峡市月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠A＝90°，点B在x轴上，AO＝5，cosα． （1）求点A的坐标； （2）求∠ABO的正切值； （3）延长BA，交y轴于点C，求点C的坐标． 【分析】（1）由cosα，则ON＝3，即可求解； （2）由（1）知，tanα，而∠AOB+∠B＝90°，即可求解； （3）由tan∠ABO，即可求解． 【解答】解：（1）过点A作AN⊥OB于点N， 则cosα， 则ON＝3， 则AN4， 则点A的坐标为：（3，4）； （2）由（1）知，tanα， ∵∠AOB+∠B＝90°， 则tan∠ABO； （3）如图，延长BC交y轴于点C， 由（2）知，tan∠ABO， 在Rt△OAB中，cosα， 则OB， 则tan∠ABO， 解得：OC， 即点C（0，）． 【点评】本题考查的是解直角三角形，涉及到点的坐标和一次函数表达式的求法，有一定的综合性，难度适中． 23．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c． （1）若a＝5，b＝10，求sinA，cosA，sinB，cosB； （2）若b＝3，c＝3，求sinA，cosA，sinB，cosB； （3）通过（1）（2）我们不难发现有这样一个规律：sin2A+cos2A＝1，请你利用所学过的知识来证明这一规律 （4）由（1）（2）的计算你还发现了什么？用语言描述你的发现． （5）试解决下列问题： ①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值； ②若，求sinα•cosα的值 ③∠A为锐角，化简 【分析】（1）由勾股定理求出c，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可； （2）根据勾股定理求出a，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可； （3）根据锐角三角函数的定义进行计算即可； （4）用语言描述（1）（2）中的规律即可； （5）根据（3）的结论，进行计算即可． 【解答】解：（1）c5， ∴sinA，cosA，sinB，cosB； （2）a3， ∴sinA，cosA，sinB，cosB； （3）∵a2+b2＝c2， ∴sin2A+cos2A ＝（）2+（）2 ＝1， 即sin2A+cos2A＝1； （4）一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值； （5）①∵sinA＝cos（90°﹣A）， ∴原式＝sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21° ＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+（sin23°+cos23°）+…+sin245° ＝1+1+…+1 ＝44 ； ②∵， ∴（sinα+cosα）2， 即sin2α+cos2α+2sinαcosα， ∵sin2α+cos2α＝1， ∴2sinαcosα， ∴sinα•cosα； ③∵sin2A+cos2A＝1； ∴原式 ＝|cosA﹣1| ＝1﹣cosA． 【点评】本题考查解直角三角形，掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是正确解答的前提． 24．（12分）（2024•兴庆区模拟）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明． 尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：； 应用拓展： （2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝2，AB＝4，求DE的长； ②若BC＝m，∠C＝α，求DE的长（用含m、a的式子表示） 【分析】（1）证明△CED∽△BAD，由相似三角形的性质得出，证出CE＝CA，则可得出结论； （2）①由折叠的性质可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，由勾股定理求出BC＝2，则可求出答案； ②tan∠C＝tanα，方法同①可求出CD，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB， ∴△CED∽△BAD， ∴， ∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD， ∴∠E＝∠CAD， ∴CE＝CA， ∴； （2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE， 由（1）可知，， 又∵AC＝2，AB＝4， ∴， ∴BD＝2CD， ∵∠BAC＝90°， ∴BC2， ∴BD+CD＝2， ∴3CD＝2， ∴CD； ∴DE； ②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝α， ∴tan∠C＝tanα， 由（1）可知，， ∴tanα， ∴BD＝CD•tanα， 又∵BC＝BD+CD＝m， ∴CD•tanα+CD＝m， ∴CD， ∴DE． 【点评】本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章：《解直角三角形》章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级______________ 考号______________ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024秋•宝山区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式成立的是（　　） A．b＝acotB B．a＝csinB C． D．a＝bcosA 2．（2023秋•海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，则cosB等于（　　） A． B． C． D． 3．（2024•武侯区模拟）已知∠A是锐角，，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2022•思明区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则sinB＝（　　） A． B．2 C． D． 5．（2023秋•益阳期末）对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（　　） （1）0＜sinα＜1，0＜cosβ＜1； （2）如果α＜β，那么cosα＜cosβ； （3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β； （4）如果tanα⋅tanβ＝1，那么α+β＝90°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024•大丰区三模）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（　　） A．1 B． C． D． 7．（2024•安次区二模）如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB为60cm，桌面平放时高度DE为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角（∠ABC）的度数为α，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（　　） A．（60sinα+70）cm B．（60cosα+70）cm C．（60tanα+70）cm D．130cm 8．（2023秋•凤山县期末）如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（　　） A． B．tanB•tanC＝1 C． D． 9．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 10．（2022•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2023秋•慈溪市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若tanA，则sinB的值是 　 　． 12．（2023秋•玉门市期末）在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足（sinA）2+|tanB|＝0，则∠C＝　 　． 13．（2023秋•龙口市期中）当∠A为锐角，且cosA时，∠A的取值范围是 　 　． 14．（2024•广西三模）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场ABC进行改造，已知AC与BC的夹角为120°，AC＝10m，BC＝14m，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 　 　m2（结果保留根号）． 15．（2024•潍坊一模）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，点M，A，B在同一条直线上，经测量得到如下数据：AM＝5米，AB＝10米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 　 　米．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73） 16．（2024秋•道里区校级月考）如图，在四边形ABCD中，连接，若，则AC＝ 　 　． 三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2024秋•惠山区校级月考）计算： （1）2cos230°﹣2sin60°cos45°； （2）（π﹣3.14）0+（）﹣1tan60°． 18．（8分）（2022秋•惠山区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c， （1）a＝5，c＝2a，求b、∠A． （2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长． 19．（8分）（2023秋•柯桥区期末）绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线BC的正上方Q处悬停，A、B、C、D、Q在同一平面内，PQ⊥BC，点B、P、C在一条直线上，P为BC的中点，BC＝60米，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为11米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） 20．（8分）（2023•三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D． （1）求BD的长； （2）连接AD，求∠DAC的余弦值． 21．（8分）（2024•嘉祥县二模）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°． （1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，） 22．（10分）（2024春•青铜峡市月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠A＝90°，点B在x轴上，AO＝5，cosα． （1）求点A的坐标； （2）求∠ABO的正切值； （3）延长BA，交y轴于点C，求点C的坐标． 23．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c． （1）若a＝5，b＝10，求sinA，cosA，sinB，cosB； （2）若b＝3，c＝3，求sinA，cosA，sinB，cosB； （3）通过（1）（2）我们不难发现有这样一个规律：sin2A+cos2A＝1，请你利用所学过的知识来证明这一规律 （4）由（1）（2）的计算你还发现了什么？用语言描述你的发现． （5）试解决下列问题： ①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值； ②若，求sinα•cosα的值 ③∠A为锐角，化简 24．（12分）（2024•兴庆区模拟）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明． 尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：； 应用拓展： （2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝2，AB＝4，求DE的长； ②若BC＝m，∠C＝α，求DE的长（用含m、a的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$