6. 2　平行四边形的判定 同步练 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

三十七　平行四边形的判定(第3课时) 【A层 基础夯实】 知识点1平行线间的距离 1.已知直线m∥n,点A在m上,点B,C,D在n上,且AB=4 cm,AC=5 cm,AD=6 cm,则m与n之间的距离 ( ) A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm 2.如图,直线l1∥l2,△ABC的面积为10,则△DBC的面积 ( ) A.大于10 B.小于10 C.等于10 D.不确定 3.如图,在▱ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH的交点O在BD上,则图中面积相等的平行四边形有 ( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 4.如图,直线a∥b,定点A,B在直线a上,动点C在直线b上从左向右运动,在此运动过程中: (1)∠ACB的大小是如何变化的? (2)△ABC的面积有没有变化?为什么? 知识点2平行四边形的判定与性质的综合应用 5.(2023·重庆质检)下列说法正确的是 ( ) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.平行四边形的对角互补 C.有两组对角相等的四边形是平行四边形 D.平行四边形的对角线平分每一组对角 6.如图,△ABC平移得到△DEF,连接AD,若∠B=75°,∠EDF=80°,BC=5,CF=3,则下列说法错误的是( ) A.∠F=25° B.DF=5 C.四边形ACFD是平行四边形 D.平移距离为3 7.(2023·太原质检)如图,点E,F分别是▱ABCD的边AD,BC的中点,连接BE,DF.求证:BE=DF. 【B层 能力进阶】 8.(2023·合肥质检)如图,在五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=∠D=120°,且AB=2,BC=4,CD=3,下列结论:①AB∥DE;②AE=DE;③五边形ABCDE的面积为17,其中正确的是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 9.如图,已知AB∥CD,AO平分∠BAC,CO平分∠ACD,OE⊥AC于点E,且OE=2,则两平行线间的距离为 .  10.在同一平面内,设a,b,c是三条互相平行的直线,a与b之间的距离为8,b与c之间的距离为3,则a与c之间的距离为 .  11.已知:如图,在▱ABCD中,E,F分别是BC和AD上的点,且AE∥FC.求证:EF过BD的中点O. 12.(2023·乌海质检)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD, DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证: (1)△BFC≌△DFC; (2)BC=CE+AD. 13.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于点O,AB=DC,AD=3,BC=7,求AD和BC两平行线间的距离. 【C层 创新挑战】(选做) 14.(2023·重庆中考A卷)学习了平行四边形后,小虹进行了拓展性研究.她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空: 用直尺和圆规,作AC的垂直平分线交DC于点E,交AB于点F,垂足为点O.(只保留作图痕迹) 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线,EF垂直平分AC,垂足为点O. 求证:OE=OF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB. ∴∠ECO= .  ∵EF垂直平分AC, ∴ .  又∠EOC= ,  ∴△COE≌△AOF(ASA). ∴OE=OF. 小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题: 过平行四边形对角线中点的直线 .  学科网（北京）股份有限公司 $$ 三十五　平行四边形的判定(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形 1.(2023·济南质检)如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,B为圆心,以BC,AC的长为半径画弧,两弧交于点D,连接AC,AD,BD,则判定四边形ADBC是平行四边形的根据是( ) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2.如图,AD∥BC,AB∥DC,AC与BD相交于点O,EF经过点O,且与边AD,BC分别交于E,F两点,若BF=DE,则图中的全等三角形有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 3.如图,在△ABC中,AB=AC=8.点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是 ( ) A.32 B.24 C.16 D.8 4.如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE,等边△BCF. 求证:四边形DAEF是平行四边形. 知识点2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 5.(2023·长沙质检)在四边形ABCD中,下列不能判断它是平行四边形的是 ( ) A.AB∥CD,AD∥BC B.AB=CD,AD=BC C.AB∥CD,AB=CD D.AB∥CD,AD=BC 6. (2023·威海期末)在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,点F是DE延长线上一点,连接CF.添加下列条件后,不能判断四边形BCFD是平行四边形的是 ( ) A.BD∥CF B.DF=BC C.BD=CF D.∠B=∠F 7.(2024·内江中考)如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF. 求证:(1)△ABE≌△CDF; (2)四边形AECF是平行四边形. 【B层 能力进阶】 8.已知四边形ABCD,有①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数,共有 ( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 9.以不共线的三点A,B,C为顶点的平行四边形共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 10. (2023·合肥质检)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,AC为一条对角线,且∠BAC=90°,E为BC的中点,连接AE,下列结论不正确的是( ) A.AE=BE B.AE∥DC C.AB=DC D.AE=DC 11.如果把平行四边形纸片ABCD沿EF折起,如图所示,当折痕EF满足 条件时,折起后由A,B,C,D四点组成的四边形仍是平行四边形.  12.(2024·鞍山中考)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且BE=DF,∠ABD=∠BDC.求证:四边形ABCD是平行四边形. 【C层 创新挑战】(选做) 13.如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°),分别交线段BC,AD于点E,F,连接BF. (1)如图1,在旋转的过程中,求证:OE=OF; (2)如图2,当旋转至90°时,判断四边形ABEF的形状,并证明你的结论; (3)若AB=1,BC=,且BF=DF,求旋转角度α的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三十五　平行四边形的判定(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形 1.(2023·济南质检)如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,B为圆心,以BC,AC的长为半径画弧,两弧交于点D,连接AC,AD,BD,则判定四边形ADBC是平行四边形的根据是(B) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2.如图,AD∥BC,AB∥DC,AC与BD相交于点O,EF经过点O,且与边AD,BC分别交于E,F两点,若BF=DE,则图中的全等三角形有(D) A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 3.如图,在△ABC中,AB=AC=8.点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是 (C) A.32 B.24 C.16 D.8 4.如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE,等边△BCF. 求证:四边形DAEF是平行四边形. 【证明】∵△ABD和△FBC都是等边三角形, ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°, ∴∠DBF=∠ABC. 又∵BD=BA,BF=BC, ∴△DBF≌△ABC,∴AC=DF=AE, 同理可证△ABC≌△EFC,∴AB=EF=AD, ∴四边形DAEF是平行四边形. 知识点2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 5.(2023·长沙质检)在四边形ABCD中,下列不能判断它是平行四边形的是 (D) A.AB∥CD,AD∥BC B.AB=CD,AD=BC C.AB∥CD,AB=CD D.AB∥CD,AD=BC 6. (2023·威海期末)在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,点F是DE延长线上一点,连接CF.添加下列条件后,不能判断四边形BCFD是平行四边形的是 (C) A.BD∥CF B.DF=BC C.BD=CF D.∠B=∠F 7.(2024·内江中考)如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF. 求证:(1)△ABE≌△CDF; (2)四边形AECF是平行四边形. 【证明】(1)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB, 在△ABE和△CDF中,, ∴△ABE≌△CDF(SAS); (2)由(1)可知,△ABE≌△CDF, ∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴180°-∠AEB=180°-∠CFD,即∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF, ∵AE=CF,AE∥CF, ∴四边形AECF是平行四边形. 【B层 能力进阶】 8.已知四边形ABCD,有①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数,共有 (B) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 9.以不共线的三点A,B,C为顶点的平行四边形共有 (C) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 10. (2023·合肥质检)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,AC为一条对角线,且∠BAC=90°,E为BC的中点,连接AE,下列结论不正确的是(C) A.AE=BE B.AE∥DC C.AB=DC D.AE=DC 11.如果把平行四边形纸片ABCD沿EF折起,如图所示,当折痕EF满足　EF∥AB(或EF∥CD)　条件时,折起后由A,B,C,D四点组成的四边形仍是平行四边形.  12.(2024·鞍山中考)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且BE=DF,∠ABD=∠BDC.求证:四边形ABCD是平行四边形. 【证明】∵∠ABD=∠BDC, ∴AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF. 在△ABE与△CDF中,, ∴△ABE≌△CDF(AAS), ∴AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 【C层 创新挑战】(选做) 13.如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°),分别交线段BC,AD于点E,F,连接BF. (1)如图1,在旋转的过程中,求证:OE=OF; (2)如图2,当旋转至90°时,判断四边形ABEF的形状,并证明你的结论; (3)若AB=1,BC=,且BF=DF,求旋转角度α的大小. 【解析】(1)在▱ABCD中,AD∥BC, ∴∠OAF=∠OCE, ∵OA=OC,∠AOF=∠COE, ∴△AOF≌△COE(ASA), ∴OE=OF; (2)当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形,理由: ∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°, ∵∠AOF=90°,∴∠BAC=∠AOF, ∴AB∥EF, ∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形; (3)在Rt△ABC中,AB=1,BC=, ∴AC==2,∴OA=1=AB, ∴△ABO是等腰直角三角形, ∴∠AOB=45°, ∵BF=DF,∴△BFD是等腰三角形, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD, ∴OF⊥BD(等腰三角形底边上的中线是底边上的高), ∴∠BOF=90°, ∴∠α=∠AOF=∠BOF-∠AOB=45°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三十六　平行四边形的判定(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1两组对角分别相等的四边形是平行四边形 1.四边形的四个相邻内角度数的比值依次如下,那么是平行四边形的为 ( ) A.1∶2∶2∶1 B.1∶3∶1∶3 C.1∶1∶4∶4 D.1∶2∶3∶4 2.如图,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C,再添加一个条件 ,则四边形ABCD是平行四边形(图中不再添加辅助线).  知识点2对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是( ) A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9 4.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件 (只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.  5.如图,当AO=OC,BD=6 cm,那么OB= cm时,四边形ABCD是平行四边形.  6.要做一个平行四边形框架,只要将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,这样四边形ABCD就是平行四边形,这样做法的依据是 .  7.学习完四边形的知识后,小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法,下面是具体过程. 已知:△ABC. 求作:BC边上的中线AD. 作法:如图, ①分别以点B,C为圆心,AC,AB长为半径在BC的下方作弧,两弧相交于P点; ②作直线AP,AP与BC交于D点,所以线段AD就是所求作的中线. 根据小明设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:连接PB,PC. ∵PB=AC, ,  ∴四边形ABPC是平行四边形( )(填推理的依据).  ∴ ( )(填推理的依据).  ∴AD是BC边上的中线. 8.如图,点A,E,F,C在一条直线上,若将△DEC的边EC沿AC方向平移,平移过程中始终满足下列条件:AE=CF,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,且AB=CD.则当点E,F不重合时,证明四边形DEBF是平行四边形. 【B层 能力进阶】 9.已知四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,如果AB∥CD,还需增加下列哪个条件才能使四边形ABCD一定是平行四边形 ( ) A.BD=AD B.∠DAB=∠DBA C.AO=CO D.∠DBA=∠CAB 10.(2023·兰州期末)在四边形ABCD中,下列说法正确的是 ( ) A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形 B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形 C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是平行四边形 D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是平行四边形 11.已知四边形ABCD中,AC与BD交于点O,若AC=10,BD=8,那么当AO= ,DO= 时,四边形ABCD是平行四边形.  12.在①AO=CO,②BO=OD,③∠BAD=∠BCD这三个条件选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB∥CD,若 .(选择①②③中的一项)  求证:四边形ABCD是平行四边形. 13.如图,△ABC中,D是AB边上任意一点,F是AC中点,过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD. (1)求证:四边形ADCE是平行四边形; (2)若∠B=30°,∠CAB=45°,AC=,求AB的长. 【C层 创新挑战】(选做) 14.如图,有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形 MNPQ,连接EF,GH得到四边形EFGH,设S四边形ABCD=S1,S四边形EFGH=S2, S四边形MNPQ=S3,若S1+S2+S3=10,则S2= .  学科网（北京）股份有限公司 $$ 三十七　平行四边形的判定(第3课时) 【A层 基础夯实】 知识点1平行线间的距离 1.已知直线m∥n,点A在m上,点B,C,D在n上,且AB=4 cm,AC=5 cm,AD=6 cm,则m与n之间的距离 (D) A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm 2.如图,直线l1∥l2,△ABC的面积为10,则△DBC的面积 (C) A.大于10 B.小于10 C.等于10 D.不确定 3.如图,在▱ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH的交点O在BD上,则图中面积相等的平行四边形有 (C) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 4.如图,直线a∥b,定点A,B在直线a上,动点C在直线b上从左向右运动,在此运动过程中: (1)∠ACB的大小是如何变化的? (2)△ABC的面积有没有变化?为什么? 【解析】(1)∠ACB随动点C在直线b上从左向右运动,在此运动过程中:∠ACB先增大后减小; (2)△ABC的面积没有变化, 理由:∵直线a∥b, ∴点C到AB的距离不变, ∴△ABC的面积没有变化. 知识点2平行四边形的判定与性质的综合应用 5.(2023·重庆质检)下列说法正确的是 (C) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.平行四边形的对角互补 C.有两组对角相等的四边形是平行四边形 D.平行四边形的对角线平分每一组对角 6.如图,△ABC平移得到△DEF,连接AD,若∠B=75°,∠EDF=80°,BC=5,CF=3,则下列说法错误的是(B) A.∠F=25° B.DF=5 C.四边形ACFD是平行四边形 D.平移距离为3 7.(2023·太原质检)如图,点E,F分别是▱ABCD的边AD,BC的中点,连接BE,DF.求证:BE=DF. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∵点E,F分别是▱ABCD的边AD,BC的中点, ∴ED=AD,BF=BC, ∴ED=BF, ∴四边形BEDF是平行四边形, ∴BE=DF. 【B层 能力进阶】 8.(2023·合肥质检)如图,在五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=∠D=120°,且AB=2,BC=4,CD=3,下列结论:①AB∥DE;②AE=DE;③五边形ABCDE的面积为17,其中正确的是 (B) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 9.如图,已知AB∥CD,AO平分∠BAC,CO平分∠ACD,OE⊥AC于点E,且OE=2,则两平行线间的距离为　4　.  10.在同一平面内,设a,b,c是三条互相平行的直线,a与b之间的距离为8,b与c之间的距离为3,则a与c之间的距离为　11或5　.  11.已知:如图,在▱ABCD中,E,F分别是BC和AD上的点,且AE∥FC.求证:EF过BD的中点O. 【证明】如图,连接BF,DE, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∵AE∥FC,∴四边形AECF是平行四边形, ∴AF=EC,∴AD-AF=BC-CE, 即DF=BE, ∴四边形BEDF是平行四边形, ∴BD与EF互相平分, ∴O是BD的中点, ∴EF过BD的中点O. 12.(2023·乌海质检)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD, DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证: (1)△BFC≌△DFC; (2)BC=CE+AD. 【证明】(1)∵CF平分∠BCD, ∴∠BCF=∠DCF, 在△DCF和△BCF中, , ∴△BFC≌△DFC(SAS); (2)如图所示,延长DF交BC于G, ∵△BFC≌△DFC, ∴BF=DF,∠CBF=∠CDF, 在△BFG和△DFE中, , ∴△BFG≌△DFE(ASA), ∴BG=DE, ∵AD∥BC,DG∥AB, ∴四边形ABGD是平行四边形, ∴AD=BG, ∴AD=DE, ∴BC=CD=CE+DE=CE+AD. 13.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于点O,AB=DC,AD=3,BC=7,求AD和BC两平行线间的距离. 【解析】如图,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E, ∵AD∥BC,∴四边形ACED是平行四边形, ∴CE=AD,AC=DE, ∵AD=3,BC=7, ∴BE=BC+CE=7+3=10, ∵AC⊥BD于点O,∴BD⊥DE, 又∵AD∥BC,AB=DC, ∴梯形ABCD是等腰梯形, ∴AC=DB,∴DB=DE, 即Rt△BDE是等腰直角三角形, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∴点D到BE的距离为BE=×10=5. 【C层 创新挑战】(选做) 14.(2023·重庆中考A卷)学习了平行四边形后,小虹进行了拓展性研究.她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空: 用直尺和圆规,作AC的垂直平分线交DC于点E,交AB于点F,垂足为点O.(只保留作图痕迹) 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线,EF垂直平分AC,垂足为点O. 求证:OE=OF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB. ∴∠ECO=　　　　.  ∵EF垂直平分AC, ∴　　　　　　.  又∠EOC=　　　　,  ∴△COE≌△AOF(ASA). ∴OE=OF. 小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题: 过平行四边形对角线中点的直线　　　　　　.  【解析】证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB.∴∠ECO=∠FAO. ∵EF垂直平分AC,∴OA=OC. 又∠EOC=∠FOA, ∴△COE≌△AOF(ASA). ∴OE=OF; 过平行四边形对角线中点的直线被平分. 答案:∠FAO　OA=OC　∠FOA　被平分 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三十六　平行四边形的判定(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1两组对角分别相等的四边形是平行四边形 1.四边形的四个相邻内角度数的比值依次如下,那么是平行四边形的为 (B) A.1∶2∶2∶1 B.1∶3∶1∶3 C.1∶1∶4∶4 D.1∶2∶3∶4 2.如图,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C,再添加一个条件　∠B=∠D(答案不唯一)　,则四边形ABCD是平行四边形(图中不再添加辅助线).  知识点2对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是(B) A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9 4.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件　BO=DO　(只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.  5.如图,当AO=OC,BD=6 cm,那么OB=　3　cm时,四边形ABCD是平行四边形.  6.要做一个平行四边形框架,只要将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,这样四边形ABCD就是平行四边形,这样做法的依据是　对角线互相平分的四边形是平行四边形　.  7.学习完四边形的知识后,小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法,下面是具体过程. 已知:△ABC. 求作:BC边上的中线AD. 作法:如图, ①分别以点B,C为圆心,AC,AB长为半径在BC的下方作弧,两弧相交于P点; ②作直线AP,AP与BC交于D点,所以线段AD就是所求作的中线. 根据小明设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:连接PB,PC. ∵PB=AC,　　　　　,  ∴四边形ABPC是平行四边形(　　　　　　)(填推理的依据).  ∴　　　　(　　　　　　)(填推理的依据).  ∴AD是BC边上的中线. 【解析】略 8.如图,点A,E,F,C在一条直线上,若将△DEC的边EC沿AC方向平移,平移过程中始终满足下列条件:AE=CF,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,且AB=CD.则当点E,F不重合时,证明四边形DEBF是平行四边形. 【证明】略 【B层 能力进阶】 9.已知四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,如果AB∥CD,还需增加下列哪个条件才能使四边形ABCD一定是平行四边形 (C) A.BD=AD B.∠DAB=∠DBA C.AO=CO D.∠DBA=∠CAB 10.(2023·兰州期末)在四边形ABCD中,下列说法正确的是 (B) A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形 B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形 C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是平行四边形 D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是平行四边形 11.已知四边形ABCD中,AC与BD交于点O,若AC=10,BD=8,那么当AO=　5　,DO=　4　时,四边形ABCD是平行四边形.  12.在①AO=CO,②BO=OD,③∠BAD=∠BCD这三个条件选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB∥CD,若　　　　　.(选择①②③中的一项)  求证:四边形ABCD是平行四边形. 【证明】①添加AO=CO, ∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO, 在△AOB与△COD中,, ∴△AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ②添加BO=OD,同理可证明四边形ABCD是平行四边形. ③添加∠BAD=∠BCD, ∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°, ∴∠BCD+∠ADC=180°,∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 13.如图,△ABC中,D是AB边上任意一点,F是AC中点,过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD. (1)求证:四边形ADCE是平行四边形; (2)若∠B=30°,∠CAB=45°,AC=,求AB的长. 【解析】(1)∵AB∥CE,∴∠CAD=∠ACE,∠ADE=∠CED. ∵F是AC的中点,∴AF=CF. 在△AFD与△CFE中,. ∴△AFD≌△CFE(AAS),∴DF=EF, ∴四边形ADCE是平行四边形; (2)略 【C层 创新挑战】(选做) 14.如图,有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形 MNPQ,连接EF,GH得到四边形EFGH,设S四边形ABCD=S1,S四边形EFGH=S2, S四边形MNPQ=S3,若S1+S2+S3=10,则S2= 　.  学科网（北京）股份有限公司 $$