专题 2.2.2 二次函数的图像和性质（4个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题 2.2.2 二次函数的图像和性质（4个考点） 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图像性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 1．拋物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在下列二次函数中，其图象的对称轴是直线的是（   ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 6．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 7．二次函数的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）． 8．的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【考点2 二次函数y=ax²+c图像性质】 9．下列各点，在二次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 10．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．当时，取得最大值 12．点在二次函数的图象上，则的值有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值5 D．最小值5 13．下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．函数有最大值为 B．函数的对称轴为轴 C．时，随的增大而增大 D．函数的顶点为 14．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝3x+2 D．y＝x2﹣3 15．与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是(    ) A．y＝－x2－1 B．y＝x2－1 C．y＝－x2＋1 D．y＝x2＋1 16．已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 17．抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（    ） A． B． C． D．无法判断 18．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 19．已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 20．若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 21．若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．若点、在二次函数的图象上，且，则（    ） A． B． C． D． 23．已知点，点，点三点都在抛物线的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 24．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 25．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 26．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 27．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.2.2 二次函数的图像和性质（4个考点） 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图像性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 1．拋物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：拋物线的对称轴是轴或直线， 故选：． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了的性质．根据二次函数的顶点为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3．在下列二次函数中，其图象的对称轴是直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得各选项的对称轴，即可求解． 【详解】解：A. ，对称轴为直线，故该选项正确，符合题意；     B. ，对称轴为直线，故该选项不正确，不符合题意；     C. 对称轴为轴，故该选项不正确，不符合题意；     D. 对称轴为轴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数的解析式可直接进行求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选B． 5．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据的顶点坐标求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 6．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知： 抛物线的对称轴是直线，即轴， 故选：． 7．二次函数的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，此时函数有最大值． 【详解】解：∵， ∴图象开口方向向上． 故答案为：向上． 8．的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 y轴 【分析】直接根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是 故答案为：y轴，． 【点睛】本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 【考点2 二次函数y=ax²+c图像性质】 9．下列各点，在二次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图像上的点满足函数解析式成为解题的关键． 直接把各选项的坐标代入二次函数看是否满足即可解答． 【详解】解：A．时；，不符合题意； B．时；，不符合题意； C．时；，不符合题意； D．时；，符合题意． 故选：D． 10．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此解答． 【详解】 化为顶点式解析式为： 二次函数的对称轴为直线，开口方向向上， 在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小， 时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， 实数a的取值范围是， 故选：B． 11．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．当时，取得最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】A、因为，，所以图象开口向下，选项A说法错误，不符合题意； B、对称轴为轴，选项B说法错误，不符合题意； C、当时，随的增大而减小，选项C说法错误，不符合题意； D、二次函数的图象的顶点坐标为，所以当时，取得最大值，选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 12．点在二次函数的图象上，则的值有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值5 D．最小值5 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，先得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值有最大值，最大值为5， 故选：C． 13．下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．函数有最大值为 B．函数的对称轴为轴 C．时，随的增大而增大 D．函数的顶点为 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，直接利用二次函数的性质分析得出答案，正确掌握二次函数的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵，则函数有最大值，即当时，的最大值为，故正确； 函数的对称轴为直线，即轴，故正确； 当时，随的增大而减小，故错误； 由可知函数的顶点坐标为，故正确； 故选：． 14．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝3x+2 D．y＝x2﹣3 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质判定即可． 【详解】解：A、y＝，x＞0时y随x的增大而减小，故本选项正确， B、y＝，y随x的增大而增大，故本选项错误， C、y＝3x+2，y随x的增大而增大，故本选项错误， D、y＝x2﹣3，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项错误. 故选A． 【点睛】本题考查了初中阶段常见的三种函数：一次函数，二次函数和反比例函数的性质，属于基本题型，熟练掌握三类常见函数的性质是关键. 15．与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是(    ) A．y＝－x2－1 B．y＝x2－1 C．y＝－x2＋1 D．y＝x2＋1 【答案】B 【分析】与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则只有二次项系数不同，即可得到答案. 【详解】解：∵与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则与抛物线y＝－x2－1只有二次项系数互为相反数， ∴y＝x2－1； 故选择：B. 【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向． 16．已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 【答案】(1)图像见解析，函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (2)当时，y的取值范围是 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用二次函数的解析式的特点和点的坐标，画出图像即可，再利用图像解决问题即可． （2）利用图像分析当时，y的取值范围，需要看图分析：当时，y取得最小值；当时，y取得最大值，且最大值为2．从而得到答案． 【详解】（1）解： 将代入得即解得：． 列表： … 0 1 2 … … 2 2 … 描点画出函数的图像，如图所示． 此函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）根据图像分析可得，若，则当时，y取得最小值，且最小值为-2， 当时，y取得最大值，且最大值为2． 所以当时，y的取值范围是． 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 17．抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．根据题意求出、的值比较即可． 【详解】解：将、代入抛物线， ， ， 故选C． 18．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．先求得函数的对称轴为轴，再判断，离对称轴距离，从而判断出的大小关系． 【详解】解：∵函数的对称轴为轴， ∴，在对称轴两侧， ∵抛物线开口向下，且， ∴． 故选：B． 19．已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且， 在第三象限，在第一象限， 由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 在第一象限， ，， ． 故选：D． 20．若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是y轴，关于y轴的对称点是， ∴时，y随x的增大而减小， 又∵ ∴， 故选：D． 21．若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为y轴，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， 而离y轴的距离最远，离y轴的距离最近， ∴． 故选：C． 22．若点、在二次函数的图象上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的增减性是解本题的关键，本题由，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选C 23．已知点，点，点三点都在抛物线的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，然后根据横坐标的大小关系得出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∴抛物线上点的对称点为， 又∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的对称轴，开口方向和增减性与系数的关系是解题的关键． 24．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴为轴，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，等于，由解析式可知开口向上，则时，随的增大而减小，即可判断，，的大小关系． 【详解】解：由二次函数可得，对称轴为轴， 即时的函数值与时的函数值相等，等于， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 25．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案． 【详解】解：由的顶点坐标为 故A，B不符合题意； 由C，D中二次函数的图象可得： 函数y＝ax－a过一，二，四象限， 故C符合题意，D不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键． 26．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；     C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；     D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；     故选D． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键． 27．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为 【答案】 【分析】由点C在抛物线y＝（x−1）2−1=x2−2x上，可设点C的坐标为(x，x2−2x)，点B在直线y＝x上，且BC∥y轴，可得点B的坐标为(x，x)，而线段BC的长就是两点纵坐标差，从而得出关于BC长与自变量x的函数关系式，根据函数的最值，即可求出BC最大值． 【详解】解：∵点C在抛物线y=（x-1）2-1=x2−2x上， ∴设点C的坐标为(x，x2−2x)． ∵点B在直线y＝x上，BC∥y轴， ∴点B的坐标为(x，x)． ∵点B在点C的上方，设BC的长为L， ∴L= x−（x2−2x）=−x2＋3x＝−(x−)2＋， ∵a＝−1＜0， ∴L有最大值， ∴线段BC长度的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、函数的最值问题，掌握二次函数的图象和性质并能根据函数关系式求出最值是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$