专题 2.1.1 二次函数的相关概念（5个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题 2.1.1 二次函数的相关概念（5个考点） 【考点1列二次函数关系式】 【考点2 二次函数的判断】 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【考点4 二次函数的一般形式】 【考点5 二次函数的函数值】 【考点1列二次函数关系式】 1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 2．在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是 （写成一般式）． 4．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ． 5．圆的半径是1cm，当半径增加xcm时，圆的面积将增加ycm2，则y与x之间的函数关系为 ． 6．在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是 ． 7．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），那么比赛总场数y与参加的球队数x之间的关系为 （列出函数关系式） 【考点2 二次函数的判断】 8．下列式子中，表示是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 9．下列属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 11．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 12．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．若是二次函数，则 ． 22．函数是二次函数，则m的取值范围是 ． 14．二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 15．二次函数的一般式为 ． 16．二次函数的一般形式是 ． 17．二次函数 中，二次项系数为 ，一次项是 ，常数项是 18．在二次函数中，二次项系数a= ，一次项系数b= ，常数项c= . 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 19．关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 20．如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 21．已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 22．已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 23．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ． 【考点4 二次函数的一般形式】 24．在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．，2， B．，，1 C．3，2， D．3，2，1 25．二次函数的一次项系数是( ) A．1 B．-1 C．2 D．-2 26．二次函数的一次项系数是（    ） A．2 B．3 C． D．4 27．已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 28．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ． 【考点5 二次函数的函数值】 29．若函数的图象经过点，则（ ） A． B．3 C． D．1 30．已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.1.1 二次函数的相关概念（5个考点） 【考点1列二次函数关系式】 【考点2 二次函数的判断】 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【考点4 二次函数的一般形式】 【考点5 二次函数的函数值】 【考点1列二次函数关系式】 1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 【答案】D 【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式． 【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定． 2．在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： y=-x2+4（0＜x＜2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 3．边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是 （写成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数关系式的知识，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．根据正方形的面积边长边长即可解答． 【详解】解：新正方形的边长是， 则面积． 所以面积与之间的函数关系式为， 故答案为：． 4．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数解析式，解题关键是利用长方形的面积公式求得答案． 根据长方形的面积公式即可获得y与x的关系式． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边， 另一边长为， ， 故答案为：． 5．圆的半径是1cm，当半径增加xcm时，圆的面积将增加ycm2，则y与x之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】圆增加的面积=新圆的面积-半径为1的圆的面积，把相关数值代入即可． 【详解】解：新圆的面积为π×（x+1）2， ∴y=π×（x+1）2-π×12=πx2+2πx． 故答案为． 【点睛】解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径增加后圆的面积的求法． 6．在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是 ． 【答案】y=(60+2x)(40+2x) 【详解】试题分析：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x，宽是：40＋2x， 由矩形的面积公式得 y＝(60＋2x)(40＋2x)． 故答案为y＝(60＋2x)(40＋2x)． 点睛：本题考查了根据实际题意列函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法． 7．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），那么比赛总场数y与参加的球队数x之间的关系为 （列出函数关系式） 【答案】 【分析】每两队之间都要赛一场，列出函数关系式即可； 【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，所以比赛总场数y与参加的球队数x之间的关系为y=， 故答案为y=． 【点睛】本题考查根据实际问题列出二次函数解析式．解题的关键是正确的找到等量关系，列出表达式． 【考点2 二次函数的判断】 8．下列式子中，表示是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如这样的式子，叫做是的二次函数，其中，、、是常数）解决此题． 【详解】解：A．，是的二次函数，故A选项符合题意； B．，是关于的一元二次方程，故B选项不符合题意； C．，不是二次函数，，故C选项不符合题意； D．，不是二次函数，故D选项不符合题意． 故选：A． 9．下列属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键． 利用二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：A、中，当时，不是二次函数，该选项不符合题意； B、，不是二次函数，该选项不符合题意； C、，不是二次函数，该选项不符合题意； D、，是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 10．下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如是常数，是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、中是分式，则A不符合题意； B、当时，不是二次函数，则B不符合题意； C、，它是二次函数，则C符合题意； D、是一次函数，则D不符合题意； 故选：C． 11．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，则A符合题意； B．中当时不是二次函数，则B不符合题意； C．不是二次函数，则C不符合题意； D．化简后是，它是一次函数，则D不符合题意． 故选：C． 12．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先把关系式整理成一般形式，再根据二次函数的定义判定即可解答． 本题考查了二次函数的定义，若两个变量x、y之间的关系可以表示成（a、b、c是常数，）的形式，则称y是x的二次函数．解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义． 【详解】解：①，是二次函数； ②，没有说，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； 故选：B． 13．若是二次函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的定义，即最高次项为2，最高次项系数不为0，根据二次函数的定义，令且即可解答． 【详解】解：当且时，为二次函数， （舍去），． 故答案为3． 22．函数是二次函数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴． 故答案为：． 14．二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 / 3 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3， 故答案为：；3． 【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 15．二次函数的一般式为 ． 【答案】 【分析】二次函数的一般形式为，据此即可获得答案． 【详解】解：二次函数的一般式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式以及完全平方公式的应用，理解并掌握二次函数的一般形式是解题关键． 16．二次函数的一般形式是 ． 【答案】 【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式． 【详解】y＝−4（1＋2x）（x−3）＝−8x2＋20x＋12， 故答案为y＝−8x2＋20x＋12． 【点睛】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键． 17．二次函数 中，二次项系数为 ，一次项是 ，常数项是 【答案】 -2x , 1 【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 ∴ 中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1. 故答案是：; -2x;1. 【点睛】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 18．在二次函数中，二次项系数a= ，一次项系数b= ，常数项c= . 【答案】 3 -2 1 【分析】二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)其特征是等式右边是含一个自变量的二次三项式,左边是因变量y.其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做常数项.将题中 已知的二次函数利用各种运算法则,先化成y=ax2+bx+c的形式,从而确 定二次项系数,一次项系数和常数项 【详解】将变形得到，故可得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=1. 【点睛】本题考查二次函数定义，解题的关键是掌握的二次函数定义，将等式进行变形.. 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 19．关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：C． 20．如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 21．已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 22．已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 【答案】 【分析】分别当，时，求出()，()的值比较即可． 【详解】解：由题意得 () ， () ， ， () ()， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键． 23．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：把代入函数解析式，得 ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键． 【考点4 二次函数的一般形式】 24．在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．，2， B．，，1 C．3，2， D．3，2，1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的一般式，掌握二次函数中a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项是解题的关键． 【详解】解：函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别为，2，， 故选：A． 25．二次函数的一次项系数是( ) A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】D 【分析】先把二次函数化为y=ax2+bx+c的形式，再找出其一次项系数． 【详解】∵原二次函数可化为 ∴其一次项系数是−2. 故选:D. 【点睛】考查二次函数的一般形式，把二次函数化为y=ax2+bx+c的形式是解题的关键. 26．二次函数的一次项系数是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】先确定二次函数的一次项，再确定一次项系数即可． 【详解】解：二次函数的一次项为，所以一次项系数为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的各项系数，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，在确定各项系数时，系数前面的符号是关键． 27．已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 【答案】 【分析】分别当，时，求出()，()的值比较即可． 【详解】解：由题意得 () ， () ， ， () ()， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键． 28．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：把代入函数解析式，得 ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键． 【考点5 二次函数的函数值】 29．若函数的图象经过点，则（ ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】把点代入解析式即可求解． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴把点代入得，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 30．已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：由题意得： 把代入得： 等号两边同除以得： 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$