2.1.1 二次函数的相关概念（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.1.1 二次函数的相关概念 【考点1列二次函数关系式】 【考点2 二次函数的判断】 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【考点4 二次函数的一般形式】 【考点5 二次函数的函数值】 考点 1 ：二次函数的概念 1. 二次函数的概念: 一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外， 还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。 【考点1列二次函数关系式】 【典例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【考点2 二次函数的判断】 【典例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列函数中是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 【变式2-1】（2023九年级上·全国·专题练习）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【典例3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知函数是关于的二次函数，则的值是(　　) A．0或4 B．0 C．2 D．4 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）若是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁大连·期末）是二次函数，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23九年级上·河南许昌·期中）若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 【考点4 二次函数的一般形式】 【典例4】把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【变式4-1】二次函数的一次项是 ． 【变式4-2】二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【变式4-3】在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是 ． 考点 2 ：二次函数的值 根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。 【考点5 二次函数的函数值】 【典例5】（2022·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【变式5-1】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 3．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．，2， B．，，1 C．3，2， D．3，2，1 5．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 7．如果是二次函数，则 ． 8．一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 9．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 10．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1 二次函数的相关概念 【考点1列二次函数关系式】 【考点2 二次函数的判断】 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【考点4 二次函数的一般形式】 【考点5 二次函数的函数值】 考点 1 ：二次函数的概念 1. 二次函数的概念: 一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外， 还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。 【考点1列二次函数关系式】 【典例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 【变式1-1】（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 【变式1-2】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、，等号右边是分式，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可． 【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【考点2 二次函数的判断】 【典例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列函数中是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、右边不是整式，不符合题意； C、，当时，不是二次函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握形如（a、b、c是常数，）的函数是二次函数是解题的关键． 【变式2-1】（2023九年级上·全国·专题练习）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数要求化简后有二次项的整式，根据二次函数的定义回答即可． 【详解】解：A、函数化简为，是二次函数，本选项不符合题意； B、是二次函数，本选项不符合题意； C、是二次函数，本选项不符合题意； D、函数化简为，没有二次项，不是二次函数，本选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．形如（a，b，c是常数，）的函数，叫作二次函数． 【变式2-2】（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】A项，是二次函数，故本项符合题意；     B项，不是二次函数，故本项不符合题意；     C项，不是二次函数，故本项不符合题意；     D项，不是二次函数，故本项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中 ． 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【典例3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知函数是关于的二次函数，则的值是(　　) A．0或4 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故选：B． 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）若是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解． 【详解】解：由题意得， 解得； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的定义，由二次函数定义建立不等式是解题的关键． 【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁大连·期末）是二次函数，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：是二次函数， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2． 【变式3-3】（22-23九年级上·河南许昌·期中）若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 【答案】A 【分析】 根据二次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键． 【考点4 二次函数的一般形式】 【典例4】把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 －16 12 【解析】略 【变式4-1】二次函数的一次项是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，在二次函数（其中a、b、c是常数，且）中，叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的一次项是， 故答案为：． 【变式4-2】二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数：b，c是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由，得它的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，，5． 【变式4-3】在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项； 由题意可得二次项系数是2，常数项是，再求和即可． 【详解】解：在二次函数中， 二次项系数为2， 一次项次数为， ∴二次项系数与一次项系数的和是：， 故答案为：． 考点 2 ：二次函数的值 根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。 【考点5 二次函数的函数值】 【典例5】（2022·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0， ∴m2-m=1， ∴-3m2+3m+2022 =-3（m2-m）+2022 =-3+2022 =2019． 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 【变式5-1】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 【答案】 【分析】分别当，时，求出()，()的值比较即可． 【详解】解：由题意得 () ， () ， ， ()()， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键． 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数叫做二次函数”进行判断即可． 【详解】解：A、右边有分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 3．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 4．在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．，2， B．，，1 C．3，2， D．3，2，1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的一般式，掌握二次函数中a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项是解题的关键． 【详解】解：函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别为，2，， 故选：A． 5．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 6．二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，所以此题可根据二次函数的一般形式“形如”进行求解即可． 【详解】解∶ 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、 、 ， 故选∶C． 7．如果是二次函数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的定义及一般表达式式，因式分解法求一元二次方程，不等式，根据二次函数一般式列式求解即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∴，且， 解一元二次方程得，， ∴， 故答案为： ． 8．一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故答案为：． 9．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 10．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$