专题 2.2.3 二次函数的图像和性质（4个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题 2.2.3 二次函数的图像和性质（4个考点） 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图像变换问题】 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 1．抛物线的顶点坐标和对称轴分别为（    ） A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 2．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，对称轴是直线 B．开口向下，对称轴是直线 C．开口向上，对称轴是直线 D．开口向下，对称轴是直线 3．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 4．抛物线和的对称轴分别是（    ） A．y轴，直线B．直线， C．直线，直线 D．y轴，直线 5．抛物线的对称轴是（    ） A．x =1 B．x =2 C．x =－1 D．x =－2 6．抛物线的对称轴是直线（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1 22．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 7．抛物线的对称轴是 ． 8．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 9．已知函数图像上两点，，其中，则与的大小关系是 （填“”、“”或“”） 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 10．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线 C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小 11．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线 C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小 12．已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 13．对于二次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像开口向下 B．图像的对称轴是直线 C．函数最大值为0 D．y随x的增大而增大 14．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 15．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小 16．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是 A． B． C． D． 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 17．已知，为抛物线上的两点，则下列结论一定成立的是（  ） A． B． C． D． 18．已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 19．已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 20．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2上，则下列结论正确的是（   ） A．y1<y2 B．y1≥y2 C．y1>y2 D．y1≤y2 21．若点，在抛物线上，则，的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 22．已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系 ．（按照从小到大的顺序排列） 23．若点，，在抛物线上，请将，，按从小到大的顺序用“＜”连接 ． 24．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 25．抛物线的对称轴是 ． 26．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 27．已知函数图像上两点，，其中，则与的大小关系是 （填“”、“”或“”） 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图像变换问题】 28．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 29．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 30．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 31．将抛物线向上平移3个单位，向左平移4个单位后所得到的新抛物线的对称轴是直线（    ） A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝﹣5 D．x＝4 32．抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 33．抛物线可以看成由抛物线向 平移 个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 34．将抛物线向左平移个单位后，经过点，则 ． 35．将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.2.3 二次函数的图像和性质（4个考点） 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图像变换问题】 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 1．抛物线的顶点坐标和对称轴分别为（    ） A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 【答案】B 【分析】直接利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，是解题的关键． 2．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，对称轴是直线 B．开口向下，对称轴是直线 C．开口向上，对称轴是直线 D．开口向下，对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数开口方向、对称轴等知识，熟记二次函数图像与性质和解析式的关系是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数， 由可得抛物线开口向下；对称轴是直线， 故选：D． 3．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接得到抛物线的对称轴是直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：D． 4．抛物线和的对称轴分别是（    ） A．y轴，直线B．直线， C．直线，直线 D．y轴，直线 【答案】D 【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出对称轴． 【详解】解：的对称轴为y轴； 的对称轴为直线x=-2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h得出是解题关键． 5．抛物线的对称轴是（    ） A．x =1 B．x =2 C．x =－1 D．x =－2 【答案】A 【分析】根据顶点式的对称轴为，求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的对称轴为，掌握顶点式是解题的关键． 6．抛物线的对称轴是直线（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1 【答案】C 【分析】由二次函数的顶点式可直接求得答案． 【详解】解：根据抛物线， 抛物线对称轴为直线， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，即在中对称轴为直线，顶点坐标为． 22．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式的性质．直接利用抛物线的解析式即可写出． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 7．抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【分析】利用顶点式的对称轴为：，进行作答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握顶点式的对称轴为：，是解题的关键． 8．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质写出答案即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 9．已知函数图像上两点，，其中，则与的大小关系是 （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可完成． 【详解】，且对称轴为直线， 当时，函数值随自变量的增大而减小； ∵， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是关键． 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 10．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线 C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的图象和性质，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：对于， ∵，故抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B正确； 该函数有最小值，最小值是0，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：B． 11．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线 C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的图象和性质，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：对于， ∵，故抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B正确； 该函数有最小值，最小值是0，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：B． 12．已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为， ∴在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧y随着x的增大而减小， ∵当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； 故选D． 13．对于二次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像开口向下 B．图像的对称轴是直线 C．函数最大值为0 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A正确， 图象的对称轴是直线，故选项B正确， 函数的最小值是，故选项C正确， 当时，y随x的的增大而增大，故选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，即可进行解答． 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下． 15．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据顶点式即可判断对称轴为，即可判断开口向上，由解析式可得最小值为，在对称轴的左侧，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：由二次函数， A.对称轴为，故A不正确， B.开口向上，故B不正确， C.二次函数当时，有最小值为，没有最大值，故C不正确, D.在对称轴的左侧，即时，随的增大而减小，故D正确, 故选D 【点睛】本题考查了的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 16．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，然后对各选项进行判断． 【详解】解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1， ∴抛物线y=2（x-1）2满足条件． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质． 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 17．已知，为抛物线上的两点，则下列结论一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴位置，再根据增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为：， ∴当时，y随x的增大而增大， 又∵， ∴， 故选 C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 18．已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】将，代入，求出和的值作比较即可． 【详解】解：将，代入， 得：，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质，熟记顶点式求抛物线对称轴的方法是解决问题的关键． 19．已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【答案】B 【分析】分别计算出自变量为﹣4，﹣3和3时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】把A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）分别代入y＝﹣2（x+2）2得 y1＝﹣2（－4+2）2＝﹣8，y2＝﹣2（－３+2）2＝﹣2，y3＝﹣2（３+2）2＝﹣50， 所以y2＞y1＞y3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数函数值大小的比较，实数的运算等知识，在已知函数关系式及自变量的情况下，关键是计算出函数值． 20．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2上，则下列结论正确的是（   ） A．y1<y2 B．y1≥y2 C．y1>y2 D．y1≤y2 【答案】C 【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【详解】解：当x=1时，y1=-(x+1)2= y=-(1+1)2=-4； 当x=2时，y2=-(x+1)2= y=-(2+1)2=-9， ∴y1>y2． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值．二次函数图象上的点的坐标满足其解析式． 21．若点，在抛物线上，则，的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】将点A，B坐标代入解析式求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：将，代入得，， ∴． 故答案为：． 22．已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系 ．（按照从小到大的顺序排列） 【答案】 【分析】根据解析式可得出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性，增减性，即可得出，，的大小关系． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的增减性、对称性是解此题的关键． 23．若点，，在抛物线上，请将，，按从小到大的顺序用“＜”连接 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解∶抛物线的开口向上，对称轴为直线，而离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了利用二次函数的性质比较函数值的大小.一般情况下我们可以采用两种方法：①是先判断二次函数的开口方向，然后三个点离对称轴的远近判断函数值的大小；②是将三个点的横坐标代入二次函数的解析式中比较函数值的大小. 24．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式的性质．直接利用抛物线的解析式即可写出． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 25．抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【分析】利用顶点式的对称轴为：，进行作答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握顶点式的对称轴为：，是解题的关键． 26．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质写出答案即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 27．已知函数图像上两点，，其中，则与的大小关系是 （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可完成． 【详解】，且对称轴为直线， 当时，函数值随自变量的增大而减小； ∵， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是关键． 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图像变换问题】 28．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，已知点平移前后的坐标判断平移方式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 点向右平移个单位可得到点， 将抛物线向右平移个单位可得到抛物线， 故选：． 29．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”可得平移后的解析式，即可得答案． 【详解】解：∵将抛物线向左平移1个单位， ∴平移后得到的抛物线解析式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像的平移及二次函数的性质，熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题关键． 30．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左移减，右移加，上移加，下移减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式． 【详解】解：的顶点坐标为，把点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的对应点的坐标为， 所以平移后的抛物线的解析式是． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：“左移减，右移加，上移加，下移减”是解题的关键． 31．将抛物线向上平移3个单位，向左平移4个单位后所得到的新抛物线的对称轴是直线（    ） A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝﹣5 D．x＝4 【答案】C 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律写出新抛物线的表达式，即可求得新抛物线的对称轴． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，向左平移4个单位后所得到的新抛物线，即． ∴新抛物线的对称轴是直线x＝﹣5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的规律是解答此题的关键． 32．抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】写出顶点关于y轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可确定对称后抛物线的解析式． 解：抛物线y＝−（x＋2）2顶点坐标为（−2，0），其关于y轴对称的点的坐标为（2，0）， ∵两抛物线关于y轴对称时形状不变， ∴抛物线y＝−（x＋2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝−（x−2）2． 故答案为：y＝−（x−2）2． 【点睛】本题考查了抛物线关于坐标轴对称的抛物线解析式求法．类似于点关于坐标轴对称的坐标求法，关于x轴对称，点横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y轴对称，点横坐标变为相反数，纵坐标不变． 33．抛物线可以看成由抛物线向 平移 个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【答案】 右 1 【分析】根据二次函数图像的平移及定点式的性质即可得到答案． 【详解】解：抛物线可以看成由抛物线向右平移1个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：右，1，，． 【点睛】本题考查二次函数图像的平移法则及顶点式的性质，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 34．将抛物线向左平移个单位后，经过点，则 ． 【答案】 【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后得到， 经过点， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 35．将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据“左+右-”法则得到新函数的解析式为，根据图象解题即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数： 画图如下， 由图象可知， 当时， 恰好的图象从左往右上升，而另一个函数从左往右下降， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$