5.2 等差数列-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

4. 数列{ - 2n2 + 29n + 3} 中最大的项是 (　 　 ) A. 107 B. 108 C. 108 1 8 D. 109 5. 数列{an} 满足 a1 = 1,an = 3an-1 - 1(n > 1),则 a4 = (　 　 ) A. 2 B. 5 C. 14 D. 41 6. 已知数列{an} 的前 n 项和Sn =n2 + 2n,则 a6 = (　 　 ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 已知数列 an{ } 的通项公式是an = 2n - 1,则a8 = 　 　 　 　 　 . 8. 已知数列 an{ } 的通项公式是an =n2 + 1,则 122 是该数列的第 项. 9. 已知数列{an} 的通项公式是an = n2 n2 + 1 . (1) 写出该数列的第 4 项和第 7 项; (2) 试判断 9 10 和 1 10 是否是该数列中的项? 若是,求出它是第几项;若不是,说明理由. 5. 2　 等 差 数 列 !"#$ 1. 了解等差数列和等差中项的概念; 2. 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能用相关知识解决问题. 1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列称为等差数列,这 个常数称为公差,记为 d,即 d = an+1 - an(n ∈ N∗) . 2.等差数列的通项公式 以 a1 为首项,d 为公差的等差数列{an} 的通项公式为 an = a1 + (n - 1)d. 06 3.等差中项 若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A = a + b 2 或 2A = a + b. 4.等差数列的前 n 项和公式 首项为 a1,末项为 an,项数为 n 的等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn = n(a1 + an) 2 或 Sn = na1 + n(n - 1) 2 d. 在 a1,d,n,an,Sn 五个量中,已知其中任意三个量可求出另外两个量. 5.等差数列的性质 公差为 d 的等差数列{an} 具有如下性质: (1)am - an = (m - n)d,d = am - an m - n (m,n ∈ N∗,m ≠ n) . 在公差为 d 的等差数列{an} 中,由 a3 = a1 + 2d, a5 = a1 + 4d { 得 a5 - a3 = (4 - 2)d = 2d,所以 d = a5 - a35 - 3 . (2) 若 m + n = p + q 且 m,n,p,q ∈ N∗,则 am + an = ap + aq . 在公差为 d 的等差数列{an} 中,由 a3 = a1 + 2d,a5 = a1 + 4d 得 a3 + a5 = 2a1 + 6d,由 a2 = a1 + d,a6 = a1 + 5d 得 a2 + a6 = 2a1 + 6d,所以 a3 + a5 = a2 + a6 . !"#$ 题型一:等差数列的判定 ! 1 已知数列{an} 的通项公式为an = - 1 + 2n,证明:数列{an} 是等差数列. 【解析】 因为an = - 1 + 2n, 所以an+1 = - 1 + 2(n + 1) = 1 + 2n,且 a1 = 1, 所以an+1 -an = (1 + 2n) - ( - 1 + 2n) = 2, 所以数列{an} 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. 题型二:等差数列基本量的计算 ! 2 在等差数列{an} 中,若 a3 = 7,a5 + a8 = 42,则公差 d = (　 　 ) A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 【解析】 由题意得 a3 = a1 + 2d = 7,a5 + a8 = a1 + 4d + a1 + 7d = 2a1 + 11d = 42, 由 a1 + 2d = 7, 2a1 + 11d = 42 { 得 a1 = - 1, d = 4.{ 【答案】 B 16 ! 3 (2023,10) 已知{an} 为等差数列,a5 = 2m + 1,a4 = m,a3 = m - 2,则 an 的通项公式为 (　 　 ) A. an = 2n + 5 B. an = 2n - 5 C. an = 2n - 7 D. an = 2n + 7 【解析】 因为{an} 为等差数列,a5 = 2m + 1,a4 = m,a3 = m - 2, 所以 2a4 = a5 + a3,即 2m = 2m + 1 + m - 2,解得 m = 1, 所以 a5 = 2m + 1 = 3,a4 = m = 1,则公差 d = a5 - a4 = 2, 所以 an = a4 + (n - 4)d = 2n - 7. 【答案】 C ! 4 (2022,8) 已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,且 a1 + a2 = 7,a5 + a6 = 31,则 S6 = (　 　 ) A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d. 因为a1 +a2 = 7,a5 +a6 = 31, 所以 2a1 + d = 7,2a1 + 9d = 31, 所以 d = 3,a1 = 2, 所以a6 =a1 + 5d = 17, 所以S6 = 6(a1 +a6) 2 = 57. 【答案】 C ! 5 设 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和,已知 a3 = 3,S8 = 48,则 a5 = (　 　 ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d. 由题意可得 a1 + 2d = 3, 8a1 + 8 × (8 - 1) 2 d = 48, ì î í ï ï ïï 解得 a1 = - 1, d = 2,{ ∴ an = - 1 + (n - 1) × 2 = 2n - 3, ∴ a5 = 2 × 5 - 3 = 7. 【答案】 C 题型三:等差数列性质的应用 ! 6 在等差数列{an} 中,若 a1 + a2 + a3 + a4 = 14,则 a2 + a3 = . 【解析】 因为数列{an} 是等差数列, 所以 a1 + a4 = a2 + a3 . 又 a1 + a2 + a3 + a4 = 14, 所以 a2 + a3 = 7. 【答案】 7 26 题型四:等差数列的综合 ! 7 在等差数列{an} 中,a10 = 30,a20 = 50. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若 Sn = 242,求 n. 【解析】 (1) 设等差数列{an} 的公差为 d. 由 a10 = 30,a20 = 50,可得 a1 + 9d = 30, a1 + 19d = 50, { 解得 a1 = 12, d = 2,{ 所以 an = a1 + (n - 1)d = 12 + 2(n - 1) = 10 + 2n(n ∈ N∗) . (2) 由(1) 可知 Sn = n(a1 + an) 2 = n(12 + 10 + 2n) 2 = 11n + n2 . 由 Sn = 242 得 n2 + 11n - 242 = (n - 11)(n + 22) = 0(n ∈ N∗),解得 n = 11. 1. 已知等差数列{an} 中,a2 = 6,a4 = 2,则公差 d = (　 　 ) A. - 2 B. 2 C. 3 D. - 4 2. 在等差数列{an} 中,若 a1 = 12,a2 + a5 = 36,则 a6 = (　 　 ) A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 3. - 2 与 - 8 的等差中项是 (　 　 ) A. - 5 B. - 4 C. 4 D. 5 4. 在等差数列{an} 中,a1 = - 2 ,公差 d = 2 ,则{an} 的前 10 项和S10 = (　 　 ) A. 25 2 B. 30 2 C. 35 2 D. 40 2 5. 小方计划从 4 月 1 日开始存储零钱,4 月 1 日到 4 月 4 日每天都存储 1 元,从 4 月 5 日开始,每天存储的零 钱比前一天多 1 元,则小方存钱 203 天(4 月 1 日为第 1 天) 的储蓄总额为 (　 　 ) A. 19 903 元 B. 19 913 元 C. 20 103 元 D. 20 113 元 6. 已知等差数列{an} 的前 n 项和为Sn,若 a2 = 3,S4 = 10,则 a5 = . 7. 已知等差数列{an} 的通项公式是 an = 3n,则该数列的公差是 . 8. 设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,a1 = 1,S5 = 15,则 a8 = . 9. (2021,23) 在等差数列{an} 中,若 a6 + a11 = 2,则前 16 项和 S16 = . 10. 已知Sn 是等差数列{an} 的前 n 项和,a6 = 0,a3 + a7 = 6. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若Sn < 0,求 n 的最小值. 36 ∴ 1 + x < 3, 1 + x > 0,{ 解得 - 1 < x < 2, ∴ 不等式 f(1 + x) < f(3) 的解集为( - 1,2) . 第五章 　 数 　 　 列 5. 1　 数列的概念 1. A　 【解析】 由题意可知,该数列的通项公式为 an = 2n + 1 . 由 2n + 1 = 5 得 n = 12,所以 5 是这个数列的第 12 项. 2. A　 【解析】 对于 A,若 an = n2 + 1 n + 1 ,则 a1 = 1,a2 = 5 3 ,a3 = 5 2 ,满足题意;对于 B,a2 = 2 + 1 22 + 1 = 3 5 ≠ 5 3 ;对于 C,a2 = 22 2 × 2 - 1 = 4 3 ≠ 5 3 ;对于 D,a2 = 2 × 2 - 1 22 = 3 4 ≠ 5 3 . 3. C　 【解析】 因为 Sn = 2n,所以 S5 = 25 = 32,S3 = 23 = 8,所以 a4 + a5 = S5 - S3 = 32 - 8 = 24. 4. B　 【解析】 因为 - 2n2 + 29n + 3 = - 2(n2 - 29 2 n) + 3 = - 2(n - 29 4 ) 2 + 865 8 ,所以当 n = 7 时, - 2n2 + 29n + 3 取得最大 值 108. 5. C　 【解析】 因为 a1 = 1,an = 3an-1 - 1,所以 a2 = 3 × 1 - 1 = 2,a3 = 3 × 2 - 1 = 5,a4 = 3 × 5 - 1 = 14. 6. C　 【解析】 由题可知 a6 = S6 -S5 = 62 + 2 × 6 - (52 + 2 × 5) = 13. 7. 15　 【解析】 由an = 2n - 1,得a8 = 2 × 8 - 1 = 15. 8. 11　 【解析】 由an = n2 + 1 = 122,得 n = 11,所以 122 是该数列的第 11 项. 9. 【解析】(1) 因为an = n2 n2 + 1 , 所以a4 = 42 42 + 1 = 16 17 ,a7 = 72 72 + 1 = 49 50 . (2) 由 n 2 n2 + 1 = 9 10 n ∈N∗( ) 解得 n = 3. 所以 9 10 是数列{an} 的第 3 项. 由 n2 n2 + 1 = 1 10 n ∈N∗( ) 得n2 = 1 9 ,无正整数解, 所以 1 10 不是数列{an} 中的项. 5. 2　 等 差 数 列 1. A　 【解析】 由题意得 a4 = a2 + 2d,即 2 = 6 + 2d,解得 d = - 2. 2. B　 【解析】 由等差数列的性质可知,a1 + a6 = a2 + a5 = 36,所以 a6 = 36 - a1 = 24. 3. A　 【解析】 - 2 与 - 8 的等差中项是 - 2 - 8 2 = - 5. 802 4. C　 【解析】∵ a1 = - 2 ,d = 2 ,等差数列{an} 的前 n项和 Sn = na1 + n(n - 1) 2 d,∴ S10 = - 2 × 10 + 10 × 9 2 × 2 = 35 2. 5. C　 【解析】 设小方第 n天存钱 an 元,则数列{an} 从第 4 项起成等差数列,且该等差数列的首项为 1,公差为 1,所以小方存钱 203 天的储蓄总额为 1 + 1 + 1 + 200 × 1 + 200 × 199 2 × 1 = 203 + 19 900 = 20 103(元) . 6. 0　 【解析】 设数列{an} 的公差为 d. 由题意可得 a2 = a1 + d = 3, S4 = 4a1 + 6d = 10, { 解得 a1 = 4, d = - 1,{ 所以 a5 = a1 + 4d = 4 - 4 = 0. 7. 3　 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d,则 d = an+1 - an = 3(n + 1) - 3n = 3. 8. 8　 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d. 由题知 S5 = 5a1 + 5 × 4 2 d = 15,又 a1 = 1,所以 d = 1,所以 a8 = a1 + 7d = 1 + 7 × 1 = 8. 9. 16　 【解析】 因为 a6 + a11 = 2,所以 a1 + 5d + a1 + 10d = 2,则 2a1 + 15d = 2,所以 S16 = 16a1 + 16 × 15 2 d = 16a1 + 120d = 8 × (2a1 + 15d) = 8 × 2 = 16. 10. 【解析】(1) 设数列{an} 的公差为 d. 因为 a6 = 0,a3 + a7 = 6, 所以 a1 + 5d = 0, a1 + 2d + a1 + 6d = 6, { 解得 a1 = 15, d = - 3,{ 所以 an = a1 + n - 1( ) d = - 3n + 18. (2) 由(1) 可知 a1 = 15,an = - 3n + 18, 所以Sn = a1 + an 2 ·n = 15 + ( - 3n + 18) 2 ·n = - 3 2 n2 + 33 2 n. 令Sn < 0,得 - 3 2 n2 + 33 2 n < 0,解得 n > 11(n < 0 舍去) . 因为 n ∈ N∗ , 所以 n 的最小值是 12. 11. 【解析】(1) 设等差数列{an} 的公差为 d. 因为 a2 = 2,a1 + a5 = 6, 所以 a1 + d = 2, 2a1 + 4d = 6, { 解得 a1 = d = 1, 所以 an = 1 + (n - 1) = n. (2) 由(1) 可得 an = n, 所以 bn = 2an - 1 = 2n - 1, 所以 b1 + b2 + b3 + … + b8 = 1 + 3 + 5 + … + 15 = 8 × (1 + 15) 2 = 64,即数列{an} 的前 8 项和为 64. 5. 3　 等 比 数 列 1. B　 【解析】 由题意得 a5 = a1q4 = 2 × 24 = 32. 2. C　 【解析】 因为数列{an} 满足 an+1 = 1 2 an,所以该数列是以 1 2 为公比的等比数列. 又 a4 = a1·q3 = a1 1 2( ) 3 = 8,所以 a1 = 64. 902