5.1 数列的概念-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

5. 1　 数列的概念 !"#$ 1. 了解数列的概念; 2. 理解数列的通项公式,会求一些简单的通项公式. 1.数列的定义 按照一定次序排列的一列数叫做数列. 数列中的每一个数都叫做这个数列的项,排在第一位的数称为 这个数列的第一项,也称首项,排在第 n位的数称为这个数列的第 n项. 所以数列的一般形式可以写成 a1,a2, a3,…,an,…,简记为{an} . 2.数列的通项公式 如果一个数列{an} 的第 n 项 an 能用关于项数 n 的一个表达式来表示,那么这个表达式叫做这个数列的 通项公式. 3.数列的递推公式 如果数列{an} 的第 n 项与它前一项或前几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式称为数列的 递推公式. 设数列{an} 的首项 a1 = 3,后面各项由公式 an = 2an-1 + 1 n ≥ 2,n ∈ N∗( ) 给出,则这个数列的前五 项分别为 a1 = 3,a2 = 2a1 + 1 = 7,a3 = 2a2 + 1 = 15,a4 = 2a3 + 1 = 31,a5 = 2a4 + 1 = 63. 4.数列的前 n 项和 若数列{an} 的前 n 项和为 Sn,则 Sn = a1 + a2 + a3 + … + an,且 an = S1(n = 1), Sn - Sn-1(n ≥ 2) . { 5.数列的分类 有穷数列:项数有限的数列,如 1,3,5,7. 无穷数列:项数无限的数列,如 2,4,6,8,10,…. 常数列:所有项均为同一个数的数列,如 3,3,3,3,3,…. 75 !"#$ 题型一:根据数列的前几项写出数列的通项公式 ! 1 数列 5,2, - 3, - 10,… 的通项公式可能是 (　 　 ) A. an = 6 -n2 B. an = 6 -n3 C. an = 6 - n D. an = 8 - 3n 【解析】 对于 A,由 an = 6 -n2,可得 a1 = 5,a2 = 2,a3 = - 3,a4 = - 10,……,符合题意,所以 A 正确; 对于 B,由 an = 6 -n3,可得 a1 = 5,a2 = - 2,不符合题意,所以 B 错误; 对于 C,由 an = 6 - n,可得 a1 = 5,a2 = 4,不符合题意,所以 C 错误; 对于 D,由 an = 8 - 3n,可得 a1 = 5,a2 = 2,a3 = - 1,不符合题意,所以 D 错误. 【答案】 A ! 2 数列 1, - 1 22 , 1 32 , - 1 42 ,… 的通项公式为 . 【解析】 数列 1, - 1 22 , 1 32 , - 1 42 ,… 的通项公式为 an = ( - 1) n+1 n2 . 【答案】 an = ( - 1) n+1 n2 题型二:根据数列的通项公式或递推公式求指定的项 ! 3 若数列{an} 的通项公式为 an =n2(n - 2),其中 n ∈ N∗,则 a5 = (　 　 ) A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 【解析】 ∵ an =n2(n - 2), ∴ a5 = 52 × (5 - 2) = 75. 【答案】 C ! 4 已知数列{an} 满足 a1 = 1,an = 3an-1 + 1(n > 1),则 a3 = (　 　 ) A. 15 B. 13 C. 11 D. 4 【解析】 因为 a1 = 1,an = 3an-1 + 1(n > 1), 所以 a2 = 3 × 1 + 1 = 4,a3 = 3 × 4 + 1 = 13. 【答案】 B 题型三:已知数列某一项的值确定项数 ! 5 已知数列 3 , 8 , 13 , 18 ,…,则 7 2 是该数列的 (　 　 ) A. 第 17 项 B. 第 18 项 C. 第 19 项 D. 第 20 项 85 【解析】 由 3 , 8 , 13 , 18 可写成 5 × 1 - 2 , 5 × 2 - 2 , 5 × 3 - 2 , 5 × 4 - 2 得数列 3 , 8 , 13 , 18 ,… 的第 n 项 an = 5n - 2 . 因为 7 2 = 98 = 5 × 20 - 2 = a20, 所以 7 2 为该数列的第 20 项. 【答案】 D 题型四:由数列的前 n 项和公式求数列某一项的值 ! 6 (2020,8) 数列{an} 的前 n 项和 Sn = n2 + 3n,则 a2 = (　 　 ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【解析】 因为数列{an} 的前 n 项和Sn =n2 + 3n, 所以a2 =S2 -S1 =22 + 3 × 2 - (12 + 3 × 1) = 6. 【答案】 C 题型五:数列概念的综合应用 ! 7 已知数列{an} 满足 an = n2 - 5n - 6,n ∈N∗ . (1) 数列中有哪些项是负数? (2) 当 n 为何值时,an 取得最小值? 并求出此最小值. 【解析】 (1) 令 n2 - 5n - 6 < 0,解得 - 1 < n < 6. 又 ∵ n ∈ N∗, ∴ n = 1,2,3,4,5, ∴ a1,a2,a3,a4,a5 均为负数. (2)∵ an = n2 - 5n - 6 = n - 5 2( ) 2 - 49 4 ,a2 = a3 = - 12, ∴ 当 n = 2 或 n = 3 时,an 取得最小值,最小值为 - 12. 1. 已知数列 3 , 5 , 7 ,3, 11 ,…, 2n + 1 ,…,则 5 是这个数列的 (　 　 ) A. 第 12 项 B. 第 13 项 C. 第 14 项 D. 第 25 项 2. 数列 1, 5 3 , 5 2 ,… 的通项公式可能是 (　 　 ) A. an = n2 + 1 n + 1 B. an = n + 1 n2 + 1 C. an = n2 2n - 1 D. an = 2n - 1 n2 3. 已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn,Sn = 2n,则 a4 + a5 = (　 　 ) A. 48 B. 32 C. 24 D. 8 95 4. 数列{ - 2n2 + 29n + 3} 中最大的项是 (　 　 ) A. 107 B. 108 C. 108 1 8 D. 109 5. 数列{an} 满足 a1 = 1,an = 3an-1 - 1(n > 1),则 a4 = (　 　 ) A. 2 B. 5 C. 14 D. 41 6. 已知数列{an} 的前 n 项和Sn =n2 + 2n,则 a6 = (　 　 ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 已知数列 an{ } 的通项公式是an = 2n - 1,则a8 = 　 　 　 　 　 . 8. 已知数列 an{ } 的通项公式是an =n2 + 1,则 122 是该数列的第 项. 9. 已知数列{an} 的通项公式是an = n2 n2 + 1 . (1) 写出该数列的第 4 项和第 7 项; (2) 试判断 9 10 和 1 10 是否是该数列中的项? 若是,求出它是第几项;若不是,说明理由. 5. 2　 等 差 数 列 !"#$ 1. 了解等差数列和等差中项的概念; 2. 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能用相关知识解决问题. 1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列称为等差数列,这 个常数称为公差,记为 d,即 d = an+1 - an(n ∈ N∗) . 2.等差数列的通项公式 以 a1 为首项,d 为公差的等差数列{an} 的通项公式为 an = a1 + (n - 1)d. 06 ∴ 1 + x < 3, 1 + x > 0,{ 解得 - 1 < x < 2, ∴ 不等式 f(1 + x) < f(3) 的解集为( - 1,2) . 第五章 　 数 　 　 列 5. 1　 数列的概念 1. A　 【解析】 由题意可知,该数列的通项公式为 an = 2n + 1 . 由 2n + 1 = 5 得 n = 12,所以 5 是这个数列的第 12 项. 2. A　 【解析】 对于 A,若 an = n2 + 1 n + 1 ,则 a1 = 1,a2 = 5 3 ,a3 = 5 2 ,满足题意;对于 B,a2 = 2 + 1 22 + 1 = 3 5 ≠ 5 3 ;对于 C,a2 = 22 2 × 2 - 1 = 4 3 ≠ 5 3 ;对于 D,a2 = 2 × 2 - 1 22 = 3 4 ≠ 5 3 . 3. C　 【解析】 因为 Sn = 2n,所以 S5 = 25 = 32,S3 = 23 = 8,所以 a4 + a5 = S5 - S3 = 32 - 8 = 24. 4. B　 【解析】 因为 - 2n2 + 29n + 3 = - 2(n2 - 29 2 n) + 3 = - 2(n - 29 4 ) 2 + 865 8 ,所以当 n = 7 时, - 2n2 + 29n + 3 取得最大 值 108. 5. C　 【解析】 因为 a1 = 1,an = 3an-1 - 1,所以 a2 = 3 × 1 - 1 = 2,a3 = 3 × 2 - 1 = 5,a4 = 3 × 5 - 1 = 14. 6. C　 【解析】 由题可知 a6 = S6 -S5 = 62 + 2 × 6 - (52 + 2 × 5) = 13. 7. 15　 【解析】 由an = 2n - 1,得a8 = 2 × 8 - 1 = 15. 8. 11　 【解析】 由an = n2 + 1 = 122,得 n = 11,所以 122 是该数列的第 11 项. 9. 【解析】(1) 因为an = n2 n2 + 1 , 所以a4 = 42 42 + 1 = 16 17 ,a7 = 72 72 + 1 = 49 50 . (2) 由 n 2 n2 + 1 = 9 10 n ∈N∗( ) 解得 n = 3. 所以 9 10 是数列{an} 的第 3 项. 由 n2 n2 + 1 = 1 10 n ∈N∗( ) 得n2 = 1 9 ,无正整数解, 所以 1 10 不是数列{an} 中的项. 5. 2　 等 差 数 列 1. A　 【解析】 由题意得 a4 = a2 + 2d,即 2 = 6 + 2d,解得 d = - 2. 2. B　 【解析】 由等差数列的性质可知,a1 + a6 = a2 + a5 = 36,所以 a6 = 36 - a1 = 24. 3. A　 【解析】 - 2 与 - 8 的等差中项是 - 2 - 8 2 = - 5. 802