4.4 对数函数-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

6. 计算:lg 4 + lg 5 2 - ( 1 2 ) -1 = (　 　 ) A. 0 B. 6 C. - 1 D. 10 3 7. 2log510 - log54 = . 8. 计算:log153 - log64 + log155 - 2log63 = . 9. 若log5x = 2,logy8 = 3,则 x + y = . 10. 若log8[log4(log2x)] = 0,则 x = . 4. 4　 对 数 函 数 !"#$ 1. 了解对数函数的定义; 2. 了解对数函数的图象与性质; 3. 初步掌握从实际情境中抽象出对数函数模型解决简单实际问题的方法. 1.对数函数的概念 一般地,形如 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) 的函数称为对数函数. 对数函数的定义域为(0, + ∞ ),值域为 ( - ∞ , + ∞ ) . 2.对数函数的图象与性质 函数 y = logax(a > 0 且 a ≠ 1) a > 1 0 < a < 1 图象 性质 定义域是(0, + ∞ ),值域是 R 过定点(1,0),即当 x = 1 时,y = 0 当 x > 1 时,y > 0;当 0 < x < 1 时,y < 0 当 x > 1 时,y < 0;当 0 < x < 1 时,y > 0 在(0, + ∞ ) 上是增函数 在(0, + ∞ ) 上是减函数 35 3.对数函数模型及其用法 (1) 对数函数模型 y = mlogax + n(m,n,a 为常数,a > 0,a ≠ 1,m ≠ 0) . (2) 应用对数函数模型解决简单实际问题的步骤 ① 审清题意,找出题中等量或不等关系,并判断是否符合对数函数模型; ② 若符合对数函数模型,则列出对数函数模型关系式; ③ 根据对数运算及对数函数的图象与性质进行求解. !"#$ 题型一:对数函数的概念 ! 1 已知对数函数的图象过点 M(8,3),则该对数函数的解析式为 (　 　 ) A. y = log2x B. y =log 1 2 x C. y =log 1 3 x D. y = log3x 【解析】 设对数函数的解析式为 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) . 因为对数函数的图象过点 M(8,3), 所以 3 = loga8,即 a3 = 8,解得 a = 2, 所以对数函数的解析式为 y = log2x. 【答案】 A 题型二:对数函数的图象与性质 ! 2 已知函数 y = ax + b 的图象如图所示,则在同一平面直角坐标系中,函数 y = ax 和 y = logbx 的图 象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 【解析】 由一次函数的图象经过点( - 1,0),(0,2) 得 0 = - a + b, 2 = b,{ 解得 a = 2, b = 2,{ 所以函数 y = ax 为增函数,y = logbx 为增函数, 故结合选项,C 项符合题意. 【答案】 C 45 ! 3 已知 f(x) = log3x,则 f 1 4( ) ,f 1 2( ) ,f(2) 的大小关系是 (　 　 ) A. f 1 4( ) > f 1 2( ) > f(2) B. f 1 4( ) < f 1 2( ) < f(2) C. f 1 4( ) > f(2) > f 1 2( ) D. f(2) > f 1 4( ) > f 1 2( ) 【解析】 因为 f(x) = log3x 为增函数,且 2 > 1 2 > 1 4 , 所以 f(2) > f 1 2( ) > f 1 4( ) . 【答案】 B ! 4 (2022,28) 方程 lg(2x + 4) - lg(1 - x) = 1 的解为 . 【解析】 lg(2x + 4) - lg(1 - x) = lg 2x + 4 1 - x = 1, 所以 2x + 4 1 - x = 10,即 2x + 4 = 10(1 - x), 解得 x = 1 2 . 【答案】 1 2 题型三:对数函数的实际应用 ! 5 我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬. 研究燕子的科学家发现,燕子的飞行速度可 以表示为函数 v = 5log2 O 10 (单位:m / s),其中O表示燕子的耗氧量,则当燕子静止时的耗氧量和当燕子的耗氧 量是 80 时的飞行速度分别是 (　 　 ) A. 10,15 m / s B. 10,8 m / s C. 15,15 m / s D. 50,15 m / s 【解析】 当燕子静止时,它的速度 v = 0,将其代入 v = 5log2 O 10 得 0 = 5log2 O 10 ,解得 O = 10. 当 O = 80 时,v = 5log2 80 10 = 5log28 = 15(m / s) . 【答案】 A 1. 已知对数函数 y = f(x) 的图象经过点(e,1),则 f(x) = (　 　 ) A. lg x B. ln x C. ex D. log3x 55 2. 函数 f(x) =log2(x - 1) 的定义域为 (　 　 ) A. ( - ∞ , - 1) B. [ - 1, + ∞ ) C. ( - 1, + ∞ ) D. (1, + ∞ ) 3. 若 a =log33,b =0. 32,c =log34,则 (　 　 ) A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. c < b < a 4. 已知 a > 0 且 a ≠ 1,则函数 y = x + a 与 y =logax 的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 5. 函数 f(x) =log 1 2 x,x ∈ 1 16 , 1 2 é ë êê ù û úú 的最大值为 (　 　 ) A. 4 B. 8 C. - 4 D. - 8 6. 函数 f(x) = 1 ln x 的定义域是 (　 　 ) A. (0, + ∞ ) B. (0,1) ∪ (1, + ∞ ) C. [0, + ∞ ) D. R 7. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时,f(x) = log3x,则 f( - 3) = (　 　 ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 8. 设函数 f(x) = ex(x ≤ 0), ln x(x > 0),{ 则 f[ f( - 1)] = . 9. 函数 f(x) =log2x + x(x ∈ [1,4]) 的值域是 . 10. 已知函数 f(x) =logax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象过点(4,2) . (1) 求 a 的值; (2) 求不等式 f(1 + x) < f(3) 的解集. 65 4. 3　 对 　 　 数 1. B　 【解析】 log28 = log223 = 3. 2. D　 【解析】 lg 6 = lg(2 × 3) = lg 2 + lg 3 = a + b. 3. A　 【解析】 由 lg x = 2 可得 x = 102 = 100. 4. B　 【解析】( 1 2 ) 3 = 1 8 化为对数式为log 1 2 1 8 = 3. 5. D　 【解析】 lg 10 + lg 2 = lg 20,A 错误;lg 5 + lg 2 = lg 10 = 1,B 错误;lg 50 - lg 2 = lg 25,C 错误;lg 60 - lg 5 = lg 12, D正确. 6. C　 【解析】 lg 4 + lg 5 2 - ( 1 2 ) -1 = lg(4 × 5 2 ) - 2 = lg 10 - 2 = 1 - 2 = - 1. 7. 2　 【解析】2log510 - log54 = log5100 - log54 = log5 100 4 = log525 = 2. 8. - 1　 【解析】 原式 = log15(3 × 5) - log6(4 × 32 ) = 1 - 2 = - 1. 9. 27　 【解析】∵ log5x = 2,∴ x = 52 = 25. ∵ logy8 = 3,∴ y3 = 8,∴ y = 2,∴ x + y = 27. 10. 16　 【解析】 因为log8 [log4(log2x)] = 0,所以log4(log2x) = 80 = 1,所以log2x = 4,所以 x = 16. 4. 4　 对 数 函 数 1. B　 【解析】 设对数函数 f(x) = logax(a > 0 且 a ≠ 1) . 因为对数函数 f(x) 的图象经过点(e,1),所以 f(e) = logae = 1,解 得 a = e,所以 f(x) = ln x. 2. D　 【解析】 由题意知,x - 1 > 0,解得 x > 1,所以函数 f(x) 的定义域为(1, + ∞ ) . 3. C　 【解析】 因为 a = log33 = 1,b = 0. 32 = 0. 09 < 1,c = log34 > log33 = 1,所以 b < a < c. 4. C　 【解析】 当 a > 1 时,函数 y = logax为增函数,且直线 y = x + a与 y轴的交点的纵坐标大于 1;当 0 < a < 1 时,函数 y = logax 为减函数,且直线 y = x + a 与 y 轴的交点的纵坐标在 0 到 1 之间,只有 C 符合. 5. A　 【解析】 易知 f(x) = log 1 2 x,x ∈ 1 16 , 1 2[ ] 为减函数,∴ f(x) max = f( 1 16 ) = log 1 2 1 16 = 4. 6. B　 【解析】 由函数 f(x) = 1 ln x 有意义得 x > 0, ln x ≠ 0,{ 解得 x > 0 且 x ≠ 1, 故函数 f(x) = 1 ln x 的定义域是(0,1) ∪ (1, + ∞ ) . 7. A　 【解析】 因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时,f(x) = log3x,所以 f( - 3) = - f(3) = - log33 = - 1. 8. - 1　 【解析】 由 f(x) = ex(x ≤ 0), ln x(x > 0){ 知 f( - 1) = e -1 ,则 f[ f( - 1)] = f(e -1 ) = ln e -1 = - 1. 9. [1,6]　 【解析】 因为函数 y = log2x和 y = x在[1,4] 上都单调递增,所以 f(x) = log2x + x(x ∈ [1,4]) 的最大值 f(x) max = f(4) = log24 + 4 = 6,最小值 f(x) min = log21 + 1 = 1,所以 f(x) = log2x + x(x ∈ [1,4]) 的值域为[1,6] . 10. 【解析】(1) 依题意得loga4 = 2loga2 = 2, ∴ a = 2. (2) 易知函数 f(x) = log2x 的定义域为(0, + ∞ ),且 f(x) = log2x 为增函数. ∵ f(1 + x) < f(3), 702 ∴ 1 + x < 3, 1 + x > 0,{ 解得 - 1 < x < 2, ∴ 不等式 f(1 + x) < f(3) 的解集为( - 1,2) . 第五章 　 数 　 　 列 5. 1　 数列的概念 1. A　 【解析】 由题意可知,该数列的通项公式为 an = 2n + 1 . 由 2n + 1 = 5 得 n = 12,所以 5 是这个数列的第 12 项. 2. A　 【解析】 对于 A,若 an = n2 + 1 n + 1 ,则 a1 = 1,a2 = 5 3 ,a3 = 5 2 ,满足题意;对于 B,a2 = 2 + 1 22 + 1 = 3 5 ≠ 5 3 ;对于 C,a2 = 22 2 × 2 - 1 = 4 3 ≠ 5 3 ;对于 D,a2 = 2 × 2 - 1 22 = 3 4 ≠ 5 3 . 3. C　 【解析】 因为 Sn = 2n,所以 S5 = 25 = 32,S3 = 23 = 8,所以 a4 + a5 = S5 - S3 = 32 - 8 = 24. 4. B　 【解析】 因为 - 2n2 + 29n + 3 = - 2(n2 - 29 2 n) + 3 = - 2(n - 29 4 ) 2 + 865 8 ,所以当 n = 7 时, - 2n2 + 29n + 3 取得最大 值 108. 5. C　 【解析】 因为 a1 = 1,an = 3an-1 - 1,所以 a2 = 3 × 1 - 1 = 2,a3 = 3 × 2 - 1 = 5,a4 = 3 × 5 - 1 = 14. 6. C　 【解析】 由题可知 a6 = S6 -S5 = 62 + 2 × 6 - (52 + 2 × 5) = 13. 7. 15　 【解析】 由an = 2n - 1,得a8 = 2 × 8 - 1 = 15. 8. 11　 【解析】 由an = n2 + 1 = 122,得 n = 11,所以 122 是该数列的第 11 项. 9. 【解析】(1) 因为an = n2 n2 + 1 , 所以a4 = 42 42 + 1 = 16 17 ,a7 = 72 72 + 1 = 49 50 . (2) 由 n 2 n2 + 1 = 9 10 n ∈N∗( ) 解得 n = 3. 所以 9 10 是数列{an} 的第 3 项. 由 n2 n2 + 1 = 1 10 n ∈N∗( ) 得n2 = 1 9 ,无正整数解, 所以 1 10 不是数列{an} 中的项. 5. 2　 等 差 数 列 1. A　 【解析】 由题意得 a4 = a2 + 2d,即 2 = 6 + 2d,解得 d = - 2. 2. B　 【解析】 由等差数列的性质可知,a1 + a6 = a2 + a5 = 36,所以 a6 = 36 - a1 = 24. 3. A　 【解析】 - 2 与 - 8 的等差中项是 - 2 - 8 2 = - 5. 802