4.3 对数-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

4. 3　 对 　 　 数 1. B　 【解析】 log28 = log223 = 3. 2. D　 【解析】 lg 6 = lg(2 × 3) = lg 2 + lg 3 = a + b. 3. A　 【解析】 由 lg x = 2 可得 x = 102 = 100. 4. B　 【解析】( 1 2 ) 3 = 1 8 化为对数式为log 1 2 1 8 = 3. 5. D　 【解析】 lg 10 + lg 2 = lg 20,A 错误;lg 5 + lg 2 = lg 10 = 1,B 错误;lg 50 - lg 2 = lg 25,C 错误;lg 60 - lg 5 = lg 12, D正确. 6. C　 【解析】 lg 4 + lg 5 2 - ( 1 2 ) -1 = lg(4 × 5 2 ) - 2 = lg 10 - 2 = 1 - 2 = - 1. 7. 2　 【解析】2log510 - log54 = log5100 - log54 = log5 100 4 = log525 = 2. 8. - 1　 【解析】 原式 = log15(3 × 5) - log6(4 × 32 ) = 1 - 2 = - 1. 9. 27　 【解析】∵ log5x = 2,∴ x = 52 = 25. ∵ logy8 = 3,∴ y3 = 8,∴ y = 2,∴ x + y = 27. 10. 16　 【解析】 因为log8 [log4(log2x)] = 0,所以log4(log2x) = 80 = 1,所以log2x = 4,所以 x = 16. 4. 4　 对 数 函 数 1. B　 【解析】 设对数函数 f(x) = logax(a > 0 且 a ≠ 1) . 因为对数函数 f(x) 的图象经过点(e,1),所以 f(e) = logae = 1,解 得 a = e,所以 f(x) = ln x. 2. D　 【解析】 由题意知,x - 1 > 0,解得 x > 1,所以函数 f(x) 的定义域为(1, + ∞ ) . 3. C　 【解析】 因为 a = log33 = 1,b = 0. 32 = 0. 09 < 1,c = log34 > log33 = 1,所以 b < a < c. 4. C　 【解析】 当 a > 1 时,函数 y = logax为增函数,且直线 y = x + a与 y轴的交点的纵坐标大于 1;当 0 < a < 1 时,函数 y = logax 为减函数,且直线 y = x + a 与 y 轴的交点的纵坐标在 0 到 1 之间,只有 C 符合. 5. A　 【解析】 易知 f(x) = log 1 2 x,x ∈ 1 16 , 1 2[ ] 为减函数,∴ f(x) max = f( 1 16 ) = log 1 2 1 16 = 4. 6. B　 【解析】 由函数 f(x) = 1 ln x 有意义得 x > 0, ln x ≠ 0,{ 解得 x > 0 且 x ≠ 1, 故函数 f(x) = 1 ln x 的定义域是(0,1) ∪ (1, + ∞ ) . 7. A　 【解析】 因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时,f(x) = log3x,所以 f( - 3) = - f(3) = - log33 = - 1. 8. - 1　 【解析】 由 f(x) = ex(x ≤ 0), ln x(x > 0){ 知 f( - 1) = e -1 ,则 f[ f( - 1)] = f(e -1 ) = ln e -1 = - 1. 9. [1,6]　 【解析】 因为函数 y = log2x和 y = x在[1,4] 上都单调递增,所以 f(x) = log2x + x(x ∈ [1,4]) 的最大值 f(x) max = f(4) = log24 + 4 = 6,最小值 f(x) min = log21 + 1 = 1,所以 f(x) = log2x + x(x ∈ [1,4]) 的值域为[1,6] . 10. 【解析】(1) 依题意得loga4 = 2loga2 = 2, ∴ a = 2. (2) 易知函数 f(x) = log2x 的定义域为(0, + ∞ ),且 f(x) = log2x 为增函数. ∵ f(1 + x) < f(3), 702 4. 已知 a =20. 2,b =2 -1,c = 1,则 a,b,c 的大小关系是 (　 　 ) A. c > a > b B. b > a > c C. a > c > b D. a > b > c 5. 已知指数函数 f(x) =(a - 2) x,且 f(2 023) > f(2 024),则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. (2,3) B. (0,1) C. (1, + ∞ ) D. (3, + ∞ ) 6. 若 a > 1,则函数 f(x) = ax 与 g(x) = - x + a 的图象大致是 (　 　 ) A. B. C. D. 7. 已知函数 f(x) = x - 2,x > 2, 2x + 2,x ≤ 2,{ 则 f(1) = (　 　 ) A. - 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 函数 f(x) = 1 2( ) x - 2 的定义域为 . 9. 函数 y = 4x + 2 的值域是 . 10. 若指数函数 f(x) = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 在[ - 1,1] 上的最大值为 2,则 a = . 11. 函数 f(x) = ex - 2 在[1,e] 上的最小值为 . 12. 已知指数函数 f(x) =ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9) . (1) 求函数 f(x) 的解析式; (2) 若 f(2m - 1) - f(m + 3) > 0,求实数 m 的取值范围. 4. 3　 对 　 　 数 !"#$ 1. 了解对数的概念及性质; 2. 了解常用对数和自然对数的表示方法; 3. 了解指数与对数的关系; 4. 了解积、商、幂的对数及运算法则. 05 1.对数的概念 一般地,如果 ab = N(a > 0,且 a ≠ 1),那么 b 叫做以 a 为底 N的对数,记作 logaN = b,其中 a 叫做底数, N 叫做真数. 当 a > 0,且 a ≠ 1 时,ab = N⇔b = logaN. 2.两种特殊的对数 以 10 为底的对数叫做常用对数,log10N 可简记为 lg N. 以无理数 e = 2. 718 28… 为底的对数叫做自然对数,logeN 可记为 ln N. 3.对数的基本性质 (1)1 的对数等于零,即 loga1 = 0; (2) 底数的对数等于 1,即 logaa = 1; (3) 零和负数没有对数,即当 N ≤ 0 时,logaN 没有意义; (4)alogaN = N(a > 0,且 a ≠ 1,N > 0) . 4.积、商、幂的对数 如果 a > 0,且 a ≠ 1,M > 0,N > 0,那么: (1)loga(M·N) = logaM + logaN; (2)loga M N = logaM - logaN; (3)logaMn = nlogaM. !"#$ 题型一:指数与对数的互化 ! 1 (1) 已知2x = 3,则 x = (　 　 ) A. log23 B. log32 C. 3 D. 3 2 (2) 将 lg a = b(a > 0) 化成指数式为 (　 　 ) A. 10b = a B. eb = a C. ab = 10 D. 10a = b 【解析】 (1) 由2x = 3,得 x =log23. (2) 由 lg a = b(a > 0),得 10b = a. 【答案】 (1)A　 (2)A 题型二:对数基本性质的应用 ! 2 已知log2(log4x) = 0,那么 x = (　 　 ) A. 2 B. - 2 C. 4 D. - 4 15 【解析】 由log2( log4x) = 0 得log4x = 1, 所以 x = 4. 【答案】 C 题型三:对数的运算 ! 3 计算:ln 3 + ln 1 3 = (　 　 ) A. - 1 B. 0 C. 2 D. 3 【解析】 ln 3 + ln 1 3 = ln 3 + ln 3 -1 = ln 3 - ln 3 = 0. 【答案】 B ! 4 下列等式成立的是 (　 　 ) A. log223 = 3 B. log2(8 + 4) =log28 + log24 C. log2(8 - 4) =log28 - log24 D. 2 log22 = 1 【解析】 log223 = 3log22 = 3,故 A 正确; log2(8 + 4) =log212,log28 + log24 = log223 + log222 = 3 + 2 = 5,log2(8 + 4) ≠ log28 + log24,故 B 错误; log2(8 - 4) =log24 =log222 = 2log22 = 2,log28 - log24 = log2 8 4 = log22 = 1,log2(8 - 4) ≠ log28 - log24, 故 C 错误; 2log22 = 2 ≠ 1,故 D 错误. 【答案】 A 1. log28 = (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 1 D. - 3 2. 已知 lg 2 = a,lg 3 = b,则 lg 6 = (　 　 ) A. a b B. ab C. a - b D. a + b 3. 若 lg x = 2,则 x = (　 　 ) A. 100 B. 10 C. 210 D. 2 4. 将( 1 2 ) 3 = 1 8 化为对数式正确的是 (　 　 ) A. log 1 2 3 = 1 8 B. log 1 2 1 8 = 3 C. log 1 8 1 2 = 3 D. log3 1 2 = 1 8 5. 下列等式成立的是 (　 　 ) A. lg 10 + lg 2 = lg 12 B. lg 5 + lg 2 = 10 C. lg 50 - lg 2 = lg 48 D. lg 60 - lg 5 = lg 12 25 6. 计算:lg 4 + lg 5 2 - ( 1 2 ) -1 = (　 　 ) A. 0 B. 6 C. - 1 D. 10 3 7. 2log510 - log54 = . 8. 计算:log153 - log64 + log155 - 2log63 = . 9. 若log5x = 2,logy8 = 3,则 x + y = . 10. 若log8[log4(log2x)] = 0,则 x = . 4. 4　 对 数 函 数 !"#$ 1. 了解对数函数的定义; 2. 了解对数函数的图象与性质; 3. 初步掌握从实际情境中抽象出对数函数模型解决简单实际问题的方法. 1.对数函数的概念 一般地,形如 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) 的函数称为对数函数. 对数函数的定义域为(0, + ∞ ),值域为 ( - ∞ , + ∞ ) . 2.对数函数的图象与性质 函数 y = logax(a > 0 且 a ≠ 1) a > 1 0 < a < 1 图象 性质 定义域是(0, + ∞ ),值域是 R 过定点(1,0),即当 x = 1 时,y = 0 当 x > 1 时,y > 0;当 0 < x < 1 时,y < 0 当 x > 1 时,y < 0;当 0 < x < 1 时,y > 0 在(0, + ∞ ) 上是增函数 在(0, + ∞ ) 上是减函数 35