4.2 指数函数-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

7. 【解析】(1) 25 9( ) 0. 5 +0. 1 -2 -π0 + 1 3 = 25 9( ) 1 2 + 1 10( ) -2 - 1 + 1 3 = 5 3 + 100 - 1 + 1 3 = 101. (2) 2 × 10 ÷ 5 = 2 × 10 5 = 4 = 2. (3) ( 3 - 2) 2 + ( 3 - 1) 2 = | 3 - 2 | +| 3 - 1 | = 2 - 3 + 3 - 1 = 1. 4. 2　 指 数 函 数 1. A　 【解析】 由题意设 f(x) = ax(a > 0 且 a ≠ 1) . 因为 f(2) = 2,所以a2 = 2,解得 a = 2 ,所以f(x) = ( 2 ) x . 2. C　 【解析】 由题意得3x - 27 ≥ 0,即3x ≥33 ,因为指数函数 y = 3x 在 R上单调递增,所以 x ≥ 3,故 y = 3x - 27 的定义域 为[3, + ∞ ) . 3. D　 【解析】 因为函数 y = 2x + x 2 (1 ≤ x ≤ 2) 为增函数,所以函数 y = 2x + x 2 (1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为22 + 2 2 = 5. 4. C　 【解析】 因为 c = 20 = 1,指数函数 y = 2x 在 R 上单调递增,且 0. 2 > 0 > - 1,所以20. 2 > 20 > 2 -1 ,即 a > c > b. 5. A　 【解析】 由题意知函数 f(x) 在 R 上单调递减,所以 0 < a - 2 < 1,解得 2 < a < 3. 6. A　 【解析】 因为 a > 1,所以 f(x) = ax 是增函数,g(0) = a > 1,故只有 A 项正确. 7. C　 【解析】∵ 当 x ≤ 2 时,f(x) = 2x + 2,∴ f(1) = 21 + 2 = 4. 8. ( - ∞ , - 1]　 【解析】 易知指数函数 y = 1 2( ) x 在定义域内单调递减. 要使 f(x) = 1 2( ) x - 2 有意义,须 1 2( ) x - 2 ≥ 0,即 1 2( ) x ≥ 1 2( ) -1 ,解得 x ≤- 1,故函数 f(x) 的定义域为( - ∞ , - 1] . 9. (2, + ∞ )　 【解析】 由函数 y = 4x 的值域为(0, + ∞ ),得函数 y = 4x + 2 的值域为(2, + ∞ ) . 10. 2 或 1 2 　 【解析】 若 a > 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递增,故当 x = 1 时,f(x) 取得最大值 a1 = 2,得 a = 2. 若 0 < a < 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递减,所以当 x = - 1 时,f(x) 取得最大值 a -1 = 2,得 a = 1 2 . 综上 a = 2 或 a = 1 2 . 11. e - 2　 【解析】 函数 f(x) = ex - 2 在[1,e] 上单调递增,所以在[1,e] 上,当 x = 1 时,f(x) 取得最小值,f(x) min = f(1) = e - 2. 12. 【解析】(1)∵ 指数函数 f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9), ∴ f( - 2) = a -2 = 1 a2 = 9,解得 a = 1 3 , ∴ 函数 f(x) 的解析式为 f(x) = 1 3( ) x . (2)∵ f(2m - 1) - f(m + 3) > 0, ∴ f(2m - 1) > f(m + 3), ∴ 1 3( ) 2m-1 > 1 3( ) m+3 . 又指数函数 f(x) = 1 3( ) x 在 R 上单调递减, ∴ 2m - 1 < m + 3,解得 m < 4, ∴ 实数 m 的取值范围是( - ∞ ,4) . 602 1. 设 a > 0,则下列等式恒成立的是 (　 　 ) A. am +an =am+n B. am·an =amn C. (am) n =am+n D. am·an =am+n 2. 已知2m = 3,2n = 5,则2m+n = (　 　 ) A. 5 3 B. 2 C. 8 D. 15 3. a 2 3 a 3 4 ÷a 5 6 = (　 　 ) A. a 4 3 B. a 12 7 C. a 7 12 D. a 3 4 4. 已知 x < 1,则 (x - 1) 2 = (　 　 ) A. x - 1 B. 1 - x C. - x - 1 D. x + 1 5. 计算:( - 27) 2 3 × 9 - 32 = . 6. 计算: ( - 3) 2 +(π - 3) 0 -27 2 3 = . 7. 求值: (1) 25 9( ) 0. 5 +0. 1 -2 -π 0 + 1 3 ; (2) 2 × 10 ÷ 5 ; (3) ( 3 - 2) 2 + ( 3 - 1) 2 . 4. 2　 指 数 函 数 !"#$ 1. 了解指数函数的定义; 2. 理解指数函数的图象与性质; 3. 初步掌握从实际情境中抽象出指数函数模型解决简单实际问题的方法. 64 1.指数函数的概念 函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 是指数函数的底数. 2.指数函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象与性质 解析式 y = ax(0 < a < 1) y = ax(a > 1) 图象 定义域 R 值域 (0, + ∞ ) 性质 当 x = 0 时,y = 1,即图象过定点(0,1) 当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1 当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 3.指数函数模型及其用法 (1) 指数函数模型 y = bax + c(a,b,c 为常数,b ≠ 0,a > 0,a ≠ 1) . (2) 应用指数函数模型解决简单实际问题的步骤 ① 审清题意,找出题中等量或不等关系,并判断是否符合指数函数模型; ② 若符合指数函数模型,列出指数函数模型关系式; ③ 根据指数运算及指数函数的图象与性质进行求解. !"#$ 题型一:指数函数的概念 ! 1 若指数函数 f(x) 的图象经过点(2,9),则 f( - 1) = (　 　 ) A. 1 3 B. - 1 3 C. 2 D. - 2 【解析】 设指数函数 f(x) =ax(a > 0 且 a ≠ 1) . 因为 f(x) 的图象经过点(2,9), 所以a2 = 9 = 32,解得 a = 3,即 f(x) =3x, 所以 f( - 1) =3 -1 = 1 3 . 【答案】 A 74 题型二:指数函数的图象与性质 ! 2 (2021,7) 若函数 y = ax + b(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象经过第二、三、四象限,则 (　 　 ) A. a > 1 且 b > 1 B. a > 1 且 b < - 1 C. 0 < a < 1 且 b > 1 D. 0 < a < 1 且 b < - 1 【解析】 函数 y =ax + b(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象是由函数 y =ax 的图象经过上下平移得到的. 因为函数 y =ax + b 的图象经过第二、三、四象限, 所以由指数函数的图象及性质知函数 y =ax + b 的图象从左往右呈下降趋势,与 y 轴的交点(0,1 + b) 位 于 y 轴负半轴,则 0 < a < 1,1 + b < 0, 所以 0 < a < 1 且 b < - 1. 【答案】 D ! 3 函数 y =2 | x| 的大致图象是 (　 　 ) A. B. C. D. 【解析】 易得 y =2 | x| = 2x,x ≥ 0, 1 2( ) x ,x < 0. ì î í ï ï ïï 因为函数 y =2 | x| 为偶函数,且图象过(0,1),y = 2x 在[0, + ∞ ) 上单调递增, 所以 y =2 | x| > 0,函数 y = 2 | x| 在( - ∞ ,0) 上单调递减,在(0, + ∞ ) 上单调递增,故 B 符合题意. 【答案】 B ! 4 函数 f(x) =3x + 2x,x ∈ [ - 1,1] 的值域是 (　 　 ) A. 1, 5 3 é ë êê ù û úú B. [ - 1,5] C. - 5 3 ,5é ë êê ù û úú D. [0,1] 【解析】 因为函数 y =3x + 2x 在[ - 1,1] 上单调递增, 所以当 x ∈ [ - 1,1] 时,3 -1 - 2 ≤3x + 2x ≤ 3 + 2,即 - 5 3 ≤ f(x) ≤ 5, 所以函数 f(x) =3x + 2x,x ∈ [ - 1,1] 的值域是 - 5 3 ,5é ë êê ù û úú . 【答案】 C 84 ! 5 若指数函数 f(x) =(m - 1) x 在 R 上单调递减,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m < 2 B. m > 2 C. 1 < m < 2 D. 0 < m < 1 【解析】 因为指数函数 f(x) =(m - 1) x 在 R 上单调递减, 所以 0 < m - 1 < 1,解得 1 < m < 2. 【答案】 C ! 6 (2021,19) 不等式 5 | x-1| ≤ 1 的解集为 . 【解析】 由5 | x-1| ≤ 1 得5 | x-1| ≤50 . 因为函数 y =5x 为增函数,所以 | x - 1 | ≤ 0. 因为任何数的绝对值都大于等于 0, 所以 | x - 1 | = 0,解得 x = 1,所以不等式5 | x-1| ≤ 1 的解集为{1} . 【答案】 {1} 题型三:指数函数的实际应用 ! 7 为改善环境,某城市对污水处理系统进行改造. 三年后,城市污水排放量由原来每年排放 125 万 吨降到 27 万吨,那么污水排放量平均每年降低的百分率是 (　 　 ) A. 50% B. 40% C. 30% D. 20% 【解析】 设污水排放量平均每年降低的百分率为 p. 由题意得 125(1 - p) 3 = 27,即(1 - p) 3 = 27 125 ,得 1 - p = 3 5 , 所以 p = 2 5 = 0. 4 = 40%. 【答案】 B 1. 若函数 f(x) 是指数函数,且 f(2) = 2,则 f(x) = (　 　 ) A. ( 2 ) x B. 2x C. 1 2( ) x D. 2 2( ) x 2. 函数 y = 3x - 27 的定义域为 (　 　 ) A. ( - ∞ , 3 ] B. ( - ∞ , 3 ) C. [3, + ∞ ) D. (3, + ∞ ) 3. 函数 y =2x + x 2 (1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为 (　 　 ) A. 1 7 B. 1 5 C. 1 3 D. 5 94 4. 已知 a =20. 2,b =2 -1,c = 1,则 a,b,c 的大小关系是 (　 　 ) A. c > a > b B. b > a > c C. a > c > b D. a > b > c 5. 已知指数函数 f(x) =(a - 2) x,且 f(2 023) > f(2 024),则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. (2,3) B. (0,1) C. (1, + ∞ ) D. (3, + ∞ ) 6. 若 a > 1,则函数 f(x) = ax 与 g(x) = - x + a 的图象大致是 (　 　 ) A. B. C. D. 7. 已知函数 f(x) = x - 2,x > 2, 2x + 2,x ≤ 2,{ 则 f(1) = (　 　 ) A. - 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 函数 f(x) = 1 2( ) x - 2 的定义域为 . 9. 函数 y = 4x + 2 的值域是 . 10. 若指数函数 f(x) = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 在[ - 1,1] 上的最大值为 2,则 a = . 11. 函数 f(x) = ex - 2 在[1,e] 上的最小值为 . 12. 已知指数函数 f(x) =ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9) . (1) 求函数 f(x) 的解析式; (2) 若 f(2m - 1) - f(m + 3) > 0,求实数 m 的取值范围. 4. 3　 对 　 　 数 !"#$ 1. 了解对数的概念及性质; 2. 了解常用对数和自然对数的表示方法; 3. 了解指数与对数的关系; 4. 了解积、商、幂的对数及运算法则. 05